ilin1 (947407), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Используя определения правого [левого] предела функции »(х) в точке а по Гейне и по Коши, мы придем к определениям непрерывности функции »(х) в точке а справа [слева] по Гейне и лто Коши. 129 $1. Понятие непрерывностн функции Определение 2 (непрерывность функции в точке а сп р а за [слева] по Гейне). Функция [(х) называется непрерывной в точке а справа [слева], если для любой сходяи!ейся к а последовательности значений аргумента (х„), все элементы которой удовлетворяют условию х„>а[х„<а], соответствующая последовательность значений функции (Т(х„)) сходится к числу [(а), Заметим, что в этом определении условие х,>а [х„<а] можно заменить менее жестким условием х„>а [х,<а], ибо добавление к последовательности ([(ха)), сходящейся к )(а), какого угодно числа новых элементов, равных !(а), не нарушит сходимости этой последовательности к [(а).
В применениях более эффективно условие х„>а [х„<а]. Определение 2" (непрерывность функции в точке а с пр а ва [слева] по Коши). Функция 1(х) называется непрерывной в точке а справа [слева], если для любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число 6 такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию а<к<а+6 [а — 6<х<а], справедливо неравенство [[(х) — ! (а) [ <е.
Заметим, что и в этом определении условие а<х<а+6 [а — 6<х<а] можно было бы заменить менее жестким условием а<х<а+6 [а — 6<х<а]. Эквивалентность определений 2 и 2* вытекает из эквивалентности соответствующих определений предела функции. Тот факт, что функция )(х) непрерывна в точке а справа [слева], записывают так: ! 1ш Т (х) = ) (а) или ) (а + О) = [ (а) а а+О [ 1ипТ(х) =Т(а) или Т(а — О) =-7(а)]. а а-О 3 а м е ч а н не 3.
Если функция !(х) непрерывна в точке а и слева, и справа, то она непрергнвна в этой точке. Действительно, в силу утверждения, доказанного в п. 2 $4 гл. 3, в этом случае существует предел функции в точке а, равный [(а). Точки, в которых функция не обладает свойством яепрерывности, называются т о ч к а м и р а з р ьс в а этой функции. рассмотрим примеры. 1) Степенная функция !(х) =х", где и — натуральное число, непрерывна в каждой точке а бесконечной прямой ( †, +со). Действительно, в гл. 3 было установлено, что предельное значение этой функции в любой точке а бесконечной прямой равно частному значению а". и зая.
7т Гл. 4. Непрерывность функцнн 2) Многочлены и рациональные дроби имеют в каждой точке области задания предельное значение, равное частному значению (см. п. 3 5 4 гл. 3). Поэтому они являются непрерывными функциями в каждой точке области задания. 3) Функция Г(х) =вднх имеет разрыв в точке х=О и непрерывна во всех остальных точках числовой оси. Действительно, в точке х=О, как было показано в гл. 3, существуют правый (равный +1) н левый (равный — 1) пределы функции зяпх. Поскольку зти односторонние пределы не равны друг другу, функция здп х в точке О разрывна (не является непрерывной). В остальных точках оси она обладает предельным значением, равным частному значению, и непрерывна. 4) Функция Дирихле Р(х) (см.
$4 гл. 3) разрывна в каждой точке числовой оси, поскольку она не имеет предельного значении ни в одной точке. Заметим, однако, что функция 1(х) =х Р(х), где Р(х) — функция Дирихле, является непрерывной в точке к=О и разрывной во всех остальных точках бесконечной прямой. Разрывность Г(х) в любой точке хоФО устанавливается точно.так же, как для функции Р(х) (для любая сходящейся к х, последовательности (х,) рациональных точек соответствующая последовательность (1(х,)) сходится к числу хоФО, а для любой сходящейся к хо последовательности (х,) иррациональных точек соответствующая последовательность (1 (х„)) сходится к нулю).
Убедимся в том, что функция 1'(х) =х Р(х) непрерывна в точке х=О. Для любой бесконечно малой последовательности значений аргумента (хл) последовательность (Р(х„)) ограничена, а потому (в силу теоремы 3.3 из гл. 3) последовательность )(х ) =к„Р(х„) является бесконечно малой, т. е. имеет предел нуль, равный частному значению )(О). Мы будем говорить, что функция н е п р е р ы в и а н а м и о ж ее т в е (х), если она непрерывна в каждой точке этого множества. Например, функция, непрерывная в каждой точке интервала, называется непрерывной на интервале. Особо договоримся называть функцию 1(х) непрерывной н а с е гм е н т е (а, Ь], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого сегмента и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь.
Выше, давая определение непрерывности функции Г(х) в точке а, мы предположили, что точка а обладает тем свойством, что в любой ее е-окрестности содержатся точки области задания, отличные от а. Формально этого предположения можно бы было и не делать и допустить, что точка а обладает в-окрестностью, свободной от точек области задания функции, а в самой точке а функция определена. В этом случае формально функцию . 1" (х) можно считать непрерывной в точке а. Однако вся содержательная часть понятия непрерывности функции относится как раз (3! Ч ц Понятие иепрерывиости фтиииии к случаю, когда а — предельная точка области определения функции.
Определение непрерывности функции можно дать и в следующей, эквивалентной форме. О п р е д е л е н и е 1'*. Функция 1(х) называется н е и р ерывн о й в точке а, если для любой окрестности точки 1(а) найдется такая окрестность точки и, что образ всех точек множества задания функции, лежащих в этой окрестности точки а, при отображении, осуществляемом функцией 1(х), целиком лежит в указанной окрестности точки 1(а). В дополнении 2 к гл. 12 будет показано (даже в более обгцей ситуации), что последнее определение непрерывности эквивалентно предыдущим, Предлагается в качестве упражнения проверить это. Используя введенное в 5 5 гл. 3 общее определение предела функции 1(х) по базе В множества ее задания, мы можем объединить в одной формулировке понятие непрерывности в точке а, в точке а справа и в точке а слева.
Пусть функция 1(х) задана на множестве (х), которое включает точку а и допускает базу В одного из видов х- а, х- а+О, х- а — О*. Функция 1(х) называется непрерывной в точке а, если ее предел по базе В множества ее задания существует и равен 1(а), 2. Арифметические операции над непрерывными функциями. Убедимся в том, что арифметические операции над непрерыв- ными функциями приводят снова к непрерывным функциям.
Справедлива следующая теорема. Основная теорема 4.1. Пусть на одном и том же мно- жестве заданы функции 1'(х) и д(х), непрерывные в точке а. Тогда функции 1(х)+д(х), 1(х) — д(х), 1(х).д(х) и — ' непрерывны 1(. ) Е (х) в точке а (в случае частного нужно дополнительно требовать д" (а) чьО) . Доказательство. Так как непрерывные в точке а функции 1(х) и д(х) имеют в точке а пределы, соответственно равны 1(а) н д(а), то в силу теоремы 3.21 из гл. 3 пределы функций 1(х)+ +у(х), ~(х) — к(х), ((х) д(х) и — существуют и равны соот- 1 (х) е (х) ветственно 1(а)+д(а), 1(а) — д(а), 1(а) у(а) и 1(о) .
Но как раз е (а) эти величины равны частным значениям перечисленных функций в тачке а. По определению эти функции непрерывны в точке а, что и требовалось доказать. * См. $ 5 гл. 3. 122 Гл. 4. Непрерыннееть функции 3. Сложная функция и ее непрерывность. Функции, полученные в результате суперпозиции двух или нескольких функций, мы будем называть сложными. Под суперпозицией двух функций мы понимаем функцию, полученную в результате наложения или последовательного применения указанных двух функций в определенном порядке. Ясно, что достаточно определить сложную функцию, полученную в результате суперпозиции только двух функций.
Указанный алгоритм можно будет применять, беря суперпозицию трех и большего конечного числа функций. Пусть функция х=ф(1) задана на множестве Я, и пусть (х)— множество ее значений. Допустим, что на множестве (х) задана функция у=с(х). Тогда говорят, что на множестве (1) задана сложная функция у=)[ср(1)] =г(1) или у=((х), где х=ср(1), Справедлива следующая теорема. Теорема 42. Пусть функция х=цсЯ непрерывна в точке а. а функция у=с(х) непрерывна в точке Ь=нс(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
