ilin1 (947407), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

е. такое, что 1(х')<у. Но тогда из возрастания 1(х) будет вытекать, что и 1(х)<у (ибо 1(х) <[(х')). Далее, любое х, лежащее правее с, не принадлежит множеству (х), а потому для такого х справедливо неравенство [(х) >у. Теперь убедимся в том, что с является внутренней точкой сегмента [а, Ь). Я]окажем, что с<Ь.

Предположим, что это не так, т. е. допустим, что с=Ь. Возьмем любую сходящуюся к с=Ь возрастающую последовательность (х„) точек сегмента [а, Ь]. Так как все ее элементы х, лежат левее с, то ](х,)<т для всех номеров п, а поэтому (в силу теоремы 3.13 гл.

3) и !1т[(х„) <у. Но е так как функция 1(х) непрерывна в точке с=Ь, то 11щ1(хп) =Т(Ь). е Тем самым мы получаем неравенство р=[(Ь) <у, которое противоречит условию у<р. Полученное противоречие доказывает, что с<Ь. Совершенно аналогично доказывается, что а(с. Итак, доказано, что с — внутренняя точка сегмента [а, Ь]. Теперь для того, чтобы доказать, что ](с) =у, рассмотрим две й 2.

Свойства монотонных функций 137 сходящиеся к с с разных сторон последовательности точек сегмента [а, Ь] — возрастающую последовательность (х„') и убывающую последовательность (х,"). В силу того, что функция [(х) непрерывна в точке с, !!шу(х„) =1!тТ(х„) =1(с). а Ф С другой стороны, поскольку х '<с<хам для любого номера и, то 1(х„')<у, [(х,'У) >у (для любого номера и). Но тогда в силу теоремы 3.13 1пп~(х„)=[(с) < у, 1!шу(х„) =)(с) > у, Ф >Ф т.

е. )(с) =у. )]еобходимость доказана. 2) Достаточность. Пусть функция у(х) возрастает на сегменте [а, Ь], н пусть любое число у из сегмента [а, р] является значением этой функции. Докажем, что функция [(х) непрерывна на сегменте [а, Ь]. Достаточно доказать, что 1(х) непрерывна справа в любой точке с, удовлетворяющей условиям а<с<Ь, н непрерывна слева в любой точке с, удовлетворяющей условиям а<с<Ь. Мы ограничимся доказательством непрерывности справа в любой точке с, удовлетворяющей условиям а<с<Ь, нбо вторая часть утвержденна доказывается аналогично.

Предположим, что функция 1(х) не является непрерывной справа в некоторой точке с, удовлетворяющей условиям а<с<Ь. Тогда ее правый предел 1(с+О), который существует согласно доказанной выше лемме, будет отличен от значения [(с), и поэтому справедливые в силу замечания к указанной лемме неравенства (4.1) примут вид а=[(а)<[(с) <)'(с+0)«=[(х)<1'(Ь) =й (4.2') (для всех х из полуннтервала с<х(Ь). Неравенства (4,2') означают, что содержащийся в [а, р] интервал (1(с), ) (с+О)) не содержит значений функции [(х)е, а это противоречит тому, что любое число у нз сегмента [а, р] является значением этой функции.

Теорема 4.4 полностью доказана. Теорема 4.5. Пусть функция у=Я(х) возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте [а, Ь], и пусть а=[(а), р=[(Ь). Тогда на сегменте [а, й] (соответственно на сегменте [р, а]) определена обратная для у=)(х) функция х=[-'(у), которая возрастает (убывает) и непрерьсвна на указанном сегменте. Кратко можно сказать, что из строгой монотонности и непрерывности на сегменте '[а, Ь] данной функции вытекают существо- * В самом деле, для х<с значение 1(х) удовлетворяет неравенству !(х)~ «(1(с) (в силу возрастания функции), а для х с значение 1(х) удовлетворяем неравенству 1(с+0)«<)(х) (в силу (4.2')).

Гл. 4, Непрерываость функции !38 ванне, строгая монотонность н непрерывность на соответствующем сегменте обратной функции. Доказательство. Проведем все рассуждения для возрастающей функции, ибо для убывающей функции онн проводятся аналогично. Так как Г(х) возрастает н непрерывна на сегменте [а, Ь), то в силу необходимости теоремы 4.4 множеством всех значений этой функции является сегмент [а, [)). Но тогда теорема 4.3 обеспечивает существование на этом сегменте возрастающей обратной функции х ~-!(у). Остается доказать непрерывность указанной обратной функции на сегменте [а, р).

Для этого достаточно учесть, что множеством всех значений обратной функции х=~ !(у) служит сегмент [а, Ь], где а=! — '(а), Ь=[-'ф), и использовать для этой обратной функции достаточность теоремы 4.4. Доказательство теоремы 4.5 завершено. ! 3амечание 2. Можно показать, что из существования обратной функции для функции Г!х), непрерывной на сегменте [а, Ь), следует, что !!'х) строго монотонна на этом сегменте (см. п.

2 $ б настоящей главы). й 3. ПРОСТЕЙШИЕ ЗЛЕЬ4ЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Простейшими элементарными функциями, как уже отмечалось, обычно называют следующие функции: у =х", у = а", у =! оя,х, у=з(пх, у=созх, д=1ях, у=с1ях, у=агсз(пх, д=агссозх, у= =агс1пх, у=агсс1ях. Нашей основной целью является изучение вопроса об определении и непрерывности простейших элементарных функций. Следует заметить, что вопрос об определении простейших элемен. тарных функций далеко не прост. Так, например, показательная функция у=а~ легко может быть определена для рациональных значений аргумента х, вместе с тем эту функцию следует определить для произвольных вешественных значений х, т.

е. следует определить возведение вещественного числа в любую вещественную степень х. Далее, определение тригонометрических функций з(их и сов х с помощью наглядных геометрических соображений имеет логический пробел. Возможность определить эти функции для всех вещественных значений аргумента х сводится к возможности установления взаимно однозначного соответствия между точками единичной окружности и всеми вещественными числами полусегмента [О, 2п). Всеми этими вопросами мы и будем заниматься в настоящем параграфе. 1.

Показательная функция. Начнем наше рассмотрение с определения рациональных степеней положительных чисел, Для того чтобы возвести любое вещественное число х в целую положительную степень и, следует умножить это число х само на себя и раз. $3. Простейшие элементарные функции Следовательно, при целом и мы можем считать определенной степенную функцию у=ха для всех вещественных значений х. Установим некоторые простейшие свойства этой функции.

Утверждение 1. Степенная функция у=х" при х>0 и целом положительном и возрастает и непрерывна. Доказательство. Покажем, что функция у=х» возрастает. Пусть 0(х~(хэ. Тогда хэ" — х1"=(хэ — х~) (хэ" — '+хи" — ~ х1+... ...+х1" '). Оба сомножителя в праной части, в соответствии с выбором значений хэ и хь положительны. Поэтому положительна и левая часть равенства, т. е. хна>х1а, а это означает возрастание функции у=ха при х О.

Непрерывность функции у=х" в любой' точке а бесконечной прямой ( — оо, +со) была установлена в примере 1 п. 1 $ 1 настоящей главы. Утверждение 1 доказано. Рассмотрим степенную функцию у=х" иа сегменте [О, й!], где Л вЂ” любое положительное число. Так как эта функция непрерывна и возрастает на указанном сегменте, то в силу теоремы 4.5 она имеет на сегменте [О, )т'"] возрастающую и непрерывную обратную функцию, которую мы обозначим через х=уиа. Поскольку Л' можно выбрать как угодно большим, то и Жа также можно сделать сколь угодно большим. Следовательно, функция х=уиа определена для всех неотрицательных значений у.

Меняя для этой функции обозначение аргумента у на х, а обозначение функции х на у, мы получим степенную функцию у=хин, определенную для всех вещественных х>0. Теперь мы в состоянии определить любую рациональную степень т положительного числа а, Определим, прежде всего, аьа лак вещественное число Ь, равное значению функции хьа в точке а.

Далее, если и= —, где пь и и — целые положительные числа, и то мы положим а'=.. а" = (аыл)ш Кроме того, положим по определению Г а" = 1, а-' ==- ( — ~ прн и > О. Тем самым, мы определили любую рациональную степень положительного вещественного числа а. Выполняются следующие свойства рациональной степени положительных вещественных чисел: (а')'=а", а'Ь'=(а Ь)', а'.а'=а"''. (:) Докажем сначала справедливость первого свойства (е) Заметим, что при целом положительном р равенство (а )" = !40 Гл. 4.

Непрерывность функции т р и =а, в котором под т и л понимаются любые целые поло- жительные числа, заведомо справедливо, ибо как левая, так и правая части этого равенства равны произведению числа амл самого на себя и| р раз. Полагая г= —, з»т — докажем равенство (а')'=ат» т| |лв л, лв в ситуации любых положительных рациональных г и з. Полот, т, т~ т жим с,=(а"')"', се=а"'"*. Если бы с| было отлично от см то из возрастания степенной функции у=х" следовало бы, что и с,"* Фсе»*, а последнее соотношение, в силу уже доказанной т т» справедливости равенства (ал)»=а л при целом р, означало т~ т,т, бы, что (а"') *Фа "' .

Полученное соотношение противоречит уже доказанному нами для целых положительных п|ь и| и тв »|| т|»ь равенству (а"') *=а ' . Тем самым с|=с,, и первое равенство (л) доказано для любых положительных рациональных г и з. Распространение этого равенства на неположительные г н з не представляет труда в силу нашей договоренности о том, что ав=1, а = — при г>0.

1 ае Второе равенство (*) также достаточно доказать для п о л о- ж и т е л ь н о г о рационального г. Полагая это г равным и/л, где и| и и — целые положительные числа„заметим, что нам достаточно доказать равенство ап" Ь~г"= (а.Ь) и», ибо пе- ремножением и таких равенств будет доказано общее соотно- шение а' Ь' = (а. Ь) ". Для доказательства равенства ап».Ьп"=(а Ь)п" заметим, что в силу свойств взаимно обратных функций у=хм" и х=у" мы можем утверждать, что (Ьп")"=Ь, (ан»)"=а, ((аЬ)п")"= =аЬ.

ПоэтомУ, положив с|=ам» Ь~Г», св (аЬ) и" и пРедполагаЯ, что с|Фс|ь мы получили бы, что с|»~=се», что противоречит ра- венству а. Ь=аЬ. Докажем теперь последнее свойство (л), учитывая, что первые два уже доказаны. Пусть г= —, з=- — тогда г— |»| |»в л| лв т, лв тв.л| = —, з = —, н мы приходим к следующему равенству: л|.лв лв л| | | | е (»,.л,)т,.л, (»,.»,)т, л, (», ». т, »,+т„», (Последнее равенство справедливо, так как ть пв и шв я|в целые числа.) 141 $3. Простейшие элементарные функции Таким образом, ш,н»+пг»н, т,+е, а'.а' = а "'"* =- а"' "' =- а'+* \ что и требовалось. При а> 1 и рациональном г>0 справедливо неравенство а'> 1.

В самом деле, пусть г= — и а'=а ге<1. Перемножая по членно и указанных неравенств, получим а"«1. Но зто неравенство противоречит неравенству а >1, полученному почленным перемножением гп неравенств вида а>1. Отметим также, что если рациональная дробь г= — имеет нечетный знаменатель и, то определение рациональной степени можно распространить и на отрицательные числа, полагая при а>0, что ( — а)'=а', если гп четное, ( — а)'= — а', если и нечетное, Убедимся в том, что функция у=а" при а>1, определенная нами на множестве рациональных чисел, монотонно возрастает на этом множестве. Действительно, пусть г~ и гэ — два рациональных числа таких, что ге>гь Тогда (4.

Характеристики

Список файлов книги