ilin1 (947407), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Тогда сложная функция у=) [ср(1)] =г (С) непрерывна в точке а. Доказательство. Пусть (гл) — произвольная последовательность значений аргумента сложной функции, сходящаяся к а. Так как функция х=ф(1) непрерывна в точке а, то (в силу определения 1 непрерывности по Гейне) соответствующая последовательность значений функции х =ср(1 ) сходится к числу Ь=ср(а). Далее, поскольку функция у=)(х) непрерывна в точке Ь=ср(а) и для нее указанная выше последовательность (х,), сходящаяся к Ь=ср(а), является последовательностью значений аргумента, то (в силу того же определения 1 непрерывности по Гейне) соответствующая последовательность значений функции ) (х„) = =) [ср(1„)] =Р(1„) сходится к числу [(Ь) =)[ср(а)] =Р(а). Итак, для любой последовательности (1„) значений аргумента сложной функции, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений самой сложнон функции (Р(гн))=1[ср(сн)] сходится к числу Р(а) =1[ср(а)].

В силу определения 1 непрерывности по Гейне сложная функция непрерывна в точке а. Теорема доказана. $2. СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИИ 1. Монотонные функции. Введем понятие монотонной функции. Определение 1. Функция [(х) назьсвается неубывающей [невозрастаюи(ей] на множестве (х), если для любых хс и хе из этого множества таких, что хс<хь справедливо неравенство 1(хс)~()(хн) [1(хс) .1(хе)].

Неубывающие и невозрастающне функции называют монот о н н ы м и функциями. Определение 2. Функция называется возрастаюсцей [убываю щ ей] на множестве (х), если для любых х, и хс из Э х. Свойства монотонных функций ~зз етого множества таких, что х1 <хь справедливо неравенство 1(х1) <1(хх) [1(х1) >] (хн) ]. Возрастающие и убывающие функции называются с т р о г о м о н о т о н н ы м и. Приведем примеры монотонных функций. 1. Функция 1(х) =ха — строго монотонна, а именно возрастает на всей числовой осн. 2. Функция р=хт — возрастает на полуоси х)0 и убывает ива полуоси х<0. 3. Функция у=эких — неубывающая на всей числовой оси. 1 4. Функция 1(х) = — — убывает на множествах х<0 и х)0.

х 2. Понятие обратной функции. Пусть функция у=1(х) задана на сегменте [а, Ь], и пусть сегмент [а, р] является множеством значений этой функции. Пусть, кроме' того, каждому у из сегмента [а, р] соответствует только одно значение х из сегмента [а, Ь], для которого 1(х) =у. Тогда на сегменте [а, р] определена функция, которая каждому у из [а, р] ставит в соответствие то значение х из [а, Ь], для которого 1(х) =р.

Эта функция обозначается символом х=1-'(у) и называется о б р а т н о й для функции у=Ях). В проведенных выше рассуждениях вместо сегментов [а, Ь] и [а, р] можно было бы рассматривать интервалы (а, Ь) и (а, р) или, например, случай, когда один или оба из этих интервалов превращаются в бесконечную прямую или открытую полупрямую. Можно рассматривать и самый общий случай, когда задано отображение 1 одного множества (х] на другое множество (у), причем отображение ~ устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементамн этих множеств.

Тогда можно определить обратное отображение 1-' множества (у) на множество (х). В этом случае уравнение у=[(х) можно разрешить относительно х, т. е. можно однозначно определить х, зная элемент у, н мы имеем х=[ '(д). Отметим, что если х=1' — '(и) — обратная функция для у=1(х), то, очевидно, функция у=1(х) является обратной для функции х=( — '(у). Поэтому функции у=[(х) и х=~-'(у) называются взаимноо обратными.

Очевидно, что 1[[-'(у)] =у, 1 — '[1(х)] =х. Приведем примеры взаимно обратных функций. 1. Пусть на сегменте [а, Ь] задана функция у=2х. Множеством значений этой функции будет сегмент [2а, 2Ь]. Функция х=)' — х(у) = — определенная на [2а, 2Ь], будет обратной к за- Ц 2 данной функции у = 2х. 2.

Рассмотрим на сегменте [О, 2] функцию у=ха. Множество значений этой функции есть сегмент [О, 4]. На этом сегменте определена обратная к заданной функции функция х=- У у . 134 Гл. 4. Непрерывность функции 3. Рассмотрим на сегменте [О, 1) функцию х, если х — рациональное число, у =. 1 — х, если х †иррациональн число. Нетрудно убедиться, что заданная на сегменте [О, 1) функция у, если у †рациональн число, х=- [ 1 — у, если у †иррациональн число, будет обратной к заданной функции. Докажем несколько утверждений о монотонных функциях. Начнем с доказательства леммы, справедливой для любой монотонной (не обязательно строго монотонной) функции.

Лемма. Если функция 1(х) является монотонной на сегменте [а, Ь), то у нее существуют правый и левый пределы в любой внутренней точке сегмента [а, Ь) и, кроме того, существуют правый предел в точке а и левый предел в точке Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для полного доказательства леммы достаточно доказать два факта: 1) существование правого предела в любой точке с, удовлетворяющей неравенствам а«с<Ь; 2) сушествование левого предела в любой точке с, удовлетворяющей неравенствам а<с«Ь, Мы установим только первый из указанных двух фактов, ибо второй устанавливается аналогично. При этом мы проведем все рассуждения для функции )(х), неубывающей на сегменте [а, Ь) (ибо для невозрастаюшей функции они проводятся аналогично).

Итак, пусть функция 1'(х) не убывает на [а, Ь), с — любая точка, удовлетворяющая неравенствам а<с<6. Рассмотрим множество ()(х)) всех значений функции 1(х) для значений аргумента х, удовлетворяющих неравенствам с<х<Ь. Это множество (1(х)) непусто (в силу того, что с<Ь) и ограничено снизу (в силу неубывания функции 1(х) для всех х из полусегмента с<к<6 справедливо неРавенство 1(с)<)(х)г котоРое означает, что 1(с) ЯвлЯетсЯ нижней гранью рассматриваемого множества). По основной теореме 2.1 гл. 2 у рассматриваемого множества существует точная нижняя грань, которую мы обозначим символом у. Докажем, что это число у и является правым пределом функции 1(х) в точке с, т.

е, докажем, что у=[(с+О). Фиксируем произвольное е)0, По определению точной нижней грани найдется положительное число 6, не превосходящее Ь вЂ” с и'такое, что значение функции )(с+6) удовлетворяет неравенству 1(с+ 6) <у+ и. Но тогда в силу неубывания функции 1(х) для всех х из интервала с<х<с+6 н подавно 'будет справедливо неравенство 1(х) <у+е.

Так как, кроме того, для всех х из указанного интервала справедливо неравенство у<1'(х), то мы получим, что для всех х из интервала с<х<с+6 справедливы неравенства $ 2. Свойства монотонных фуниний у -)(х) <Т+е или [у — [(х) [ <е, а это и означает (в силу определения правого предела по Коши)', что число Т является правым пределом [(х) в точке с. Лемма доказана.

Замечание к лемме. В предположениях леммы при условии неубывання [(х) для любых с и х, удовлетворяющих соотношениям а«с<х«Ь, будут справедливы неравенства ~(а) «~(с) «)(с+0) «[(х) «)(Ь), (4.1) а для любых с и х, удовлетворяющих соотношениям а<х<с<Ь, будут справедливы неравенства ](а).Я(х)<[(с — 0)<[(с) <((Ь). (4.2) При условии невозрастания [(х) все,знаки в неравенствах (4.1) и (4.2) следует заменить на противоположные.

Пусть, например, [(х) не убывает на [а, Ь] и а<с(х<Ь. Тогда 1(а)<)(с)<[(х)<)(Ь). Из последних неравенств сразу же вытекает, что 1"(а)<((с)<1(с+0)<)(Ь). Для завершения доказательства неравенств (4.1) следует убедиться в том, что 1(с+0):~ =)(х)<1(Ь) для любого х из полуинтервала с<х<Ь, но это сразу вытекает из того, что число у=[(с+О) является, как доказано в лемме, точной нижней гранью множества значений 1(х) на полу. интервале с(х<Ь. Справедливость неравенств (4.2) проверяется аналогично. ' Докажем теперь три теоремы о строго монотонных функциях, Т е о р е м а 4.3.

Пусть функция у=1(х) возрастает (убывает) на сегменте [а, Ь], и пусть а=[(а), р=)(Ь). Тогда, если множеством всех значений функции у=((х) является сегмент [а, И (соответственно сегмент [р, а]), то на этом последнем сегменте определена обратная для у=Я(х) функция х=1 '(у), которая также возрастает (убывает) на указанном сегменте. Доказательство. Проведем все рассуждения в предположении, что [(х) возрастает на сегменте [а, р] (для убывающей функции рассуждения аналогичны). Убедимся в том, что функция у=[(х) устанавливает взаимно однозначное соответствие между сегментами а<х<Ь и а<у<р.

Действительно, то, что каждому х из [а, Ь] соответствует только одно значение у из [а, [1], следует из самого понятия функции у=1(х), а то, что каждому у из [а, р] соответствует только одно х из [а, Ь], вытекает из возрастания функции у =)(х). Убедимся теперь, что если у=((х) возрастает на [а, Ь], то и х=(-'(у) также возрастает на [а, и. Пусть у1<уь где у1 и уа— любые два числа из [а„Р]. Тогда х~=)-'(У1) <хт=)' '(Уа), ибо из неравенства х,)хт и из возрастания функции у=)(х) следовало бы, что у~)уь что противоречит неравенству у1<уа.

Теорема доказана. 136 Гл. 4. Непрерывность функции 3 а меч ание 1. Совершенно аналогично доказывается более общее утверждение: пусть у=«(х) задана и возрастает (убывает) на некотором множестве (х), а (у) — множество всех значений этой функции. Тогда на множестве (у) определена обратная для у=[(х) функция х=1 '(у), которая также возрастает (убывает) на указанном множестве (у).

Теорема 4.4. Пусть функция у=[(х) возрастает (или убывает) на сегменте [а, Ь], и пусть а=](а), [)=](Ь). Тогда для того, чтобы функция у=11х) являлась непрерывной на сегменте [а, Ь], неооходимо и достаточно, чтобы любое число у, заключенное между а и р, было значением этой функции. Доказательство. Все рассуждения проведем для возрастающей на сегменте [а, Ь] функции, ибо для убывающей функции они аналогичны.

1) Необходимость. Пусть функция у=](х) возрастает и непрерывна па сегменте [а, Ь]. Требуется доказать, что любое число т, удовлетворяющее условиям а(у<р, является значением функции в некоторой точке с сегмента [а, Ь]. Пусть (х) — множество всех значений х из сегмента «а, Ь], для которых ((х)<Т. Это множество (х) непусто (ему принадлежит, например, точка а, ибо 1(а) =а<у) и ограничено сверху (на.

пример, числом Ь). По основной теореме 2.1 гл. 2 у множества (х) существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через с: с==зпр(х). Остается доказать, что ](с) =у. Сначала убедимся в том, что Я(х)<у для всех х из [а, Ь], лежащих левее с, и 1('х)>у для всех х из [а, Ь], лежащих правее с. В самом деле, если х<с, то по определению точной верхней грани найдется х' из полуинтервала х<х'<с, принадлежащее множеству (х), т.

Характеристики

Список файлов книги