ilin1 (947407), страница 118
Текст из файла (страница 118)
е. когда векторы )" и д коллинеарны. Используя это неравенство, легко проверить, что норма элемента 11Д1 и расстояние р((, у) =11) — ф1 удовлетворяют всем аксиомам, входящим в их определение. Вместе с метрикой в гнльбертовом пространстве появляют- ся понятия, связанные с предельным переходом в смысле вве- денного расстояния. Наличие скалярного произведения позволяет ввести в Н понятия у г л а м ежду в е кто р а м и (если Н вещественно). Угол (), у) между векторами 7 и,д определяется равенством Ф у)= И)11)е)1 Это понятие, в свою очередь, позволяет назвать два вектора о р т о г о н а л ь н ы м и, если они образуют угол в 90 . Другими словами, векторы 7 и я называются ортогональными, если ().
д) =О. ' (е, )) означает комплексно сопряженное к чнслу (й, 7). 574 Гл. 12. Функции нескольких переменных Если вектор 1 ортогонален векторам уь ..., дн, то он орго- . н гонален и их линейной комбинации Я а;уо ь ! Если векторы дь ..., у„, ... ортогональны вектору 1 и д'=11шд„. то вектор и' ортогонален вектору ). к Ф Из сказанного следует, что совокупность всех векторов, ортогональных векторам ~ь ..., 1„, где п фиксировано, образует замкнутое линейное многообразие, т. е. надпространство, называемое ортогональным дополнением к множеству (1' "'1) В гильбертовом пространстве Н можно ввести важное понятие сопряженного оператора. Определение 10.
Оператор А* называется сопряж ем н и м и линейному ограниченному оператору А, если для любых элементов х, уеиН выполняется равенство (Ах, у) = =(х, А*у). Ограниченный линейный оператор А, действующий в гильбертовом пространстве Н, называется сам осопряженным, если (Ах, у) =- (х, Ау) для всех х и у из Н. Примеры. 1) В и-мерном пространстве Е", элементами которого являются наборы чисел х= (хь х„' ..., х„), можно ввел сти скалярное произведение по формуле (х, у)=Я х;у;. Учи1=1 тывая, что конечномерное пространство Е" полное, заключаем, что Ее является гильбертовым пространством.
Аксиомы скалярного произведения здесь, очевидно, выполнены. 2) Операторы Е (единичный), О (нулевой) являются примерами самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Для них всегда выполнены соотношения (Ех, у) = (х, у) =(х, Еу), (Ох, у) = (О, у) =О= (х, Оу). ДОПОЛНЕННЕ 3 Дифференциальное исчисление в линейных нормированных пространствах В гл. б, 6, 7 были изучены вопросы дифференциального исчисления функции одной переменной, а также были исследованы экстремальные свойства функции одной переменной. В предыдущих параграфах настоящей главы эти же вопросы изучались уже для функций многих переменных. дополнение 3 575 Подчеркнем, что всюду в гл.
5, 6, 7 под функцией мы понимали соответствие между точками множества (М) числовой оси (или точками множества (М) т-мерного евклидова пространства) и подмножеством числовой оси. Другими словами. такие функции отображают множество (М) числовой оси или гп-мерного евклидова пространства в подмножество числовой оси. Такие функции могут быть названы ч и ел о вы м и (с к ал я р н ы м и) ф у н к ц и я м и, ибо множество значений таких функций есть числа (скаляры) вещественной оси. В дополнении 2 к этой главе мы вводили понятие функции отображающей одно абстрактное множество в другое (например, одно метрическое пространство в другое метрическое пространство, одно нормированное пространство в другое нормированное пространство и т.
д.). Такие функции называютсяо п е р а тор а м и, отображениями, функциями множеств и т. д. В частности, можно рассматривать функции, отображающие ш-мерное евклидово пространство в п-мерное евклидовопространство. Такие функции называются уже в е к т о р н ы м и ф у н к ц и я м и, поскольку значениями таких функций являются не числа, а векторы некоторого пространства. Например,. если отображение происходит в п-мерное евклидово пространство, то значениями функции, осуществляющей это отображение, являются векторы и-мерного пространства. Примером функции, осуществляющей отображение одного метрического пространства Х в то же пространство Х может- быть тождественное отображение Е, ставящее в соответствие каждой точке хяХ ту же точку хяХ. Отображение !~х!~, ставящее в соответствие точке х нормированного пространства ЛГ число йх~~ — норму элемента х, есть пример функции, заданной на нормированном пространстве М.
В этом параграфе будет построено дифференциальное исчисление функций, заданных на нормированном пространстве. В качестве элементарного следствия наших построений могут. быть получены факты, относящиеся к функциям, осуществляющим отображения т-мерного евклидова пространства в л-мерное евклидово пространство (при этом натуральное число и может как совпадать, так и не совпадать с натуральным числом т). 1. Понятие диффереицируемости. Сильная и слабая диффе-- ренцируемость в линейных нормированных пространствах. Пусть. № и Лз — два нормированных пространства и Р— отображение (функция), действующее из № в № (Р:Л',-~№) н определенное на некотором открытом множестве у пространства.
№. Напомним, что поскольку № вЂ” нормированное пространство, то оно, в частности, является и метрическим пространством; следовательно, все понятия, введенные в метрических про- отб Гл. 12. Функции нескольких переменных странствах, такие, как открытое, замкнутое, ограниченное множество, расстояние между точками и'т. д. имеют смысл. Подчеркнем, что в этом дополнении будут использоваться многие понятия, введенные в дополнении 2. Введем понятие дифференцируемого отображения. Определение.
Назовем отображение Р:№- № дифферент(ар у ем ым * в данной точке х, принадлежаи(ей открытому множеству Х:.Ль если существует такой ограниченный линейный оператор Т. ~(№-ь-Мт) **, что для любого в>0 существует б>0 такое, что если Ье=№ и ЦЬЦн, <б, то !(Р(к+ Ь) — Р(х) — 1.„Ь((н, (вЦЬЦн, или, что то же самое, ЦР(х+й) — Р(х) — Л„ЬЦнт=о(й), где о(й)))(й!(- 0 при ЦЬЦтг-+О. Здесь х+ЬенХС.Мь Индексы й(т или № у знака Ц Ц нормы означают, что норма берется соответственно в пространстве № или Мь Для простоты записи договоримся в дальнейшем о том, что там, где не будет возникать недоразумений, зти индексы опускать.
Выберем последовательность чисел и — О. Согласно сформулированному определению ей отвечает последовательность чисел б„ и для любой последовательности точек Ь„ такой, что ЦЬ,Л <б„, Цй„Ц-ьО, мы получим, что Цг (х+ й„) — Р(х) Ц ~ ЦР(х+ й„) — р(х) — Т. Ь„Ц+ ЦЕ,хй„Ц ~ ~е„ЦЬ„Ц+ ЦйхЦЦЬ„Ц вЂ” ьО, когда п-ьоо (поскольку (Ь„Ц-ьО, в„-ьО, а ЦУ. Ц~С в силу ограниченности линейного оператора Т.„). Следовательно, )ппР(к+Ь„)=Р(х) при ЦЬ„Ц-ьО, т. е. если в-~ а обозначить х+Ь„через х„, то !пп х„= — х, 1ппр(хл) == Р(х). Та- * Если, в частности, Е(х) есть скалярная функция, определенная на некотором интервале (а, Р) (Е(х) отображает подмножество числовой осн в яодмножество числовой оси Е(х):(и, Ц) Е'), то в случае ее дифференцируемости в точке хь из интервала (а, ()) можно записать: Е(хь+й) — Е(хь) — Ей=о()г), о(Ь))ь — О, если 6 — ~0, где й — некоторое число -- приращение аргумента функции, Е=! (хг) — линейный оператор, являющийся производной отображения Р(х) в точке хь принадлежит в данном случае пространству операторов (Е' Е'), т.
е. является просто оператором умножения на число. С другой стороны, если рассматривать Р(х) как обычную числовую функцию, то число Е есть, очевидно, производная функции Е(х) в точке хь т. е. Е=Е'(хг). 'ь Через (Фг — ь)чг) в дополнении 2 было обозначено пространство линейных ограниченньж операторов, отображающих одно линейное нормированное про. странство )у~ в другое линейное нормированное пространство Хт.
577 Дополнение 3 кнм образом, дифференцируемое в точке х отображение Г(х) непрерывно в этой точке. Выражение Е,й при каждом Ь~М! является элементом пространства Ь> и называется сильным дифференциалом (или диф4еренциалом Ф ренте) отображения Г в точке х (и иногда обозначается сил>волом дГ). Линейный оператор Е„называется производной или сильно й и ро изводин о й отображения Г в точке х. Будем обозначать эту производную символом Г'(х). Таким образом, можно записать, что сильный ди44еренциал отображения Г по определении> равен Е„Ь, т. е. дГ= Екй, а сильная производная Г'(х) равна Е„, т. е.
Г'(и) =Е,. Если отображение Г диффереицируемо в точке х, то соответству>ощая производная определяется единственным обр а з о м. В самом деле, пусть Г(х+Ь) — Г(х) — Е!„Ь=о(й)е и Г(х+Ь) — Г(х) — Еа,й=о(й). Тогда для любого вектора е из единичной сферы (т. е. для любого вектора, с нормой, равной единице). В силу произвольности е отсюда следует совпадение операторов Е!к н Етк всюду на единичной сфере. Поскольку операторы Е'„и Ет, линейные, то они, очевидно, совпадают н всюду, т. е. Е к=Е к. * Написаииое равенство следует поиимать таи: 11Г(х+ь) — Г(х) — А !а!1=о(а).
В рааеистве т(х+а) — Г(х) — Е !а=о(Ь), — -ьО, о о(а) !!а 11 величииы о(ь) ивлиетси числовой величиной о(!1Ы1). |З>/ зкк. 72 если 1!ь11- со, т. е. норма Е !кй — Е'„Ь = о (й) . Следовательно, для любого е>0 найдется такое б>0, что из неравенства !!Ь!!<б следует неравенство !! Е! кй — Еакй!! ~ е!1Ь!!. Разделим обе части этого неравенства на !!Ь!1~0. Тогда получим, что выполнено неравенство 11ь 11 справедливое в силу свойства нормы и линейности операторов а Е!к и Еа,. Полагая — = е, где !!е!1=1, мы получим, что 1!а 1| !!Е'ке — Ет,е!! (в 578 Гл. !2. Функции нескольких переменных Для того чтобы проиллюстрировать определение сильной дифференцируемости отображения одного нормированного пространства в другое на конкретном примере, рассмотрим случай отображения Р:Ены Е', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
