ilin1 (947407), страница 114
Текст из файла (страница 114)
По предыдущей теореме существует и притом только одна точка хенХ такая, что д!(х) =х. Приме- ним к обеим частям равенства отображение у, Воспользовав- шись тем, что отображения коммутируют, получим у(у (х)) =у(х)., а(а(х)) =а(х), а(у) =у, где у=у(х). Учитывая, что отображение й! сжимающее и неподвижная точка у этого отображения одна, получим, что х= =у=а'(х). Следовательно, и у отображения д существует неподвижная точка, а именно найденная выше точка х. 3 а м е ч а н н е, Степенью и отображения у называется отображение д'", полученное в результате и последовательных применений отображения у: у (х)-й(у(...й(х)) ...), хенХ.
Из предыдущей теоремы в силу того, что отображения у и у" коммутнруют, следует, что если отображение у таково, что не- Дополнение 2 которая степень а его — сжимающее отображение, то уравне- ние у(х) =х имеет единственное решение е, П р и меры. 1) Нахождение корней функции. Пусть «р(1)„ а(1<Ь вЂ” действительная функция, удовлетворяющая условию Лнпшица: [Р(1 ) — Р((а) [<0[1! — (в[, ОСЕС1, и отображающая сегмент [а, Ь] в себя. Если ввести метрическое пространство (Х, р), где Х= [а, Ь], а р — обычная евклидова метрика на сегменте, то отображение «р в Х сжимающее, 'н потому числовая последовательность (о, («=«р(го).
!я=«р(г!),-- сходится к единственному корню уравнения ф(1) =1 для любого 1оян [а, Ь]. Отображение «р сжимающее, если, например, [ р'(1) [<Е<1, (пн [а, Ь]. Пусть нам надо решить уравнение вида г (1) =О, причем Р(1) действительная, определенная на [а, Ь], функция, Г(а) < <О, Р(Ь) >О, 0<0«<г'(1)<еа при (а [а, Ь].
Тогда, если рас- смотреть функцию «р(1) =1 — ЛР(1), ЛыЕ! и найти корень урав- нения «р(1) =1, то мы решим исходную задачу. К этому послед- нему уравнению можно применить предыдущие рассуждения„ если, например [«р'(1) [<0<1, Имеем 1 — Лев<!р'(1)~(1 — ЛВ!. Нетрудно подобрать действительное число Л>0, чтобы было выполнено условие: 0<«р'(1)<О<1. Тогда, как нетрудно убе- диться, функция «р(1) отображает сегмент [а, Ь] в себя. Дей- ствительно, так как «р'(1) > О, то «р(1) не убывает, следователь. но, «р(а)«р(1)<«р(Ь) для любого ! нз сегмента [а, Ь]. Нсь «р(а) =а — ЛР(а) >а, «р(Ь) =Ь вЂ” Лг(Ь) <Ь, т. е.
а<«рЯ<Ь для. любого Ив [а, Ь], 2) Нахождение решений систем уравнений вида у=Ах+Ь Пусть у; =~] аих!+ Ь «=1, ..., п — отображение л-мерного про!=1 странства в себя: набор (х«, хя,...,х„) переходит в набор (уь- уж...,у )~Х, т. е, отображение д'(х)=Ах+Ь переводит набор нз и чисел в набор из а чисел. Здесь х, Ь, у(х) =у — векторы,, А — матрица, А =(ац)п«, з Если отображение у(х) будет в некотором метрическом про- странстве и при некоторых условиях сжимающим, то векторное уравнение у(х) =х будет иметь по предыдущему одно и только. одно решение. Найдем такие условия на отображении у и вве- дем метрику на множестве Х, т.
е. образуем соответствующие метрические пространства: * Единственность решения следует нв того факта, что всякая точка, неподвижная относительно отображения д, будет неподвижной и относительно отображения у". Гл. !2. Функции нескольких переменных А) Пусть р (х, у) = !пах 1х! — ус~ и х, у ен Х. Тогда !~с~л р,(у', у) ( шах '~~ (ас!(рт(х', х"), !кс~л !=1 х', х", у', у" е= Х, у' = Ах' + Ь, у" = Ах" + Ь, и условие того, что отображение у сжимающее, будет выполне- но, если ~Г 1а„1(а 1, !=1, 2, ..., и.
Б) Если ввести метрику на Х по правилу л р,(х, у)=~ (х! — ус(, с=! то, как нетрудно вычислить, условие того, что отображение сжимающее, будет иметь вид л 1а!!~ (а< 1, 1=1, 2, ..., и. В) Наконец, если метрика задана так: л р(х, у) =Д" (х! — у,(е~ ~, ю-! то отображение у сжимающее, если (ас!. (е ( а < 1. с, !=! Выписанные условия достаточны, для того чтобы уравнение у(х) =х имело н притом единственное решение или, что то же л самое, чтобы система х! =~ аых;+ йс, с=1, 2, „и, имела и у=! притом одно решение. 3) Существование и единственность решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Рассмотрим так называемую задачу Коши. Надлежит найти такую дифференцируемую функцию у(1), которая удовлетворяла бы уравнению у =1(!,у) и при !=!о имела заданное значение у((о) =уо, где уо — йекоторое число; прн этом надлежит доказать, Что при определенных условиях такое решение у(1) только одно. Лонолнение 2 Предположим, что функция 1(Г, у) непрерывна на множестве; а(ь(Ь, — оо<у<оо н удовлетворяет с константой К условию Липшица по у, т.
е. для всех точек Г~ [а, Ь] ]Ф, У) — 1(1, Уе)]~К!У вЂ” У ]. и пусть (ь — внутренняя точка сегмента [а, Ь], Легко убедиться, что решение задачи Коши эквивалентно решению интегрального УРавнениЯ У(1) = Уь+ ) 1 Я, У($)) й$ Значит, задано отобРажение множества функций (у) по правилу: Ы (У) = Уь+ +~ 1Я, уф)с($. Введем пространство С[а, Ь]. Тогда отображение У определено на этом пространстве н отображает его в себя, а задача о нахождении решения интегралыюго уравнения сводится к нахождению неподвижной точки отображения д — нахождению функции у такой, что д(у) =у.
Для того чтобы такая точка существовала и была одна, достаточно, чтобы отображение а было сжимающее. Поскольку из условия Липшица следует, что [)((, У1) [(1~ Уь) ](К]Уф Уь[((КУ(У! У2) то с р(д(у), и(г)) -< шах ~Кр(у, г) д$ <К(Ь вЂ” а)р(у, г). а<г ь Здесь р — метрика в С[а, Ь]. Следовательно, отображение сжи- мающее, если сегмент [а, Ь] достаточно мал, так что К(Ь вЂ” а) =0<1, При этих условиях мы получаем теорему существования и единственности решения задачи Коши на сегменте [а, Ь], со- держащем точку 1ь 4) Оператор Вольтерра, свойства его и-и" степени.
Покажем, что некоторая степень отображения, задаваемого интеграль- ным оператором Вольтерра, имеющим вид УВ=) ~К(1, %)ПМБ+ч (г), а где Х вЂ” некоторое число, К(1, $), ер(1) — непрерывные функции своих аргументов, представляет собой сжимающее отображение в С [а, Ь], а(1(Ь, а(с(Ь, Пусть М= шах ]К(1, Ц)[, р(~„~ь)= п1ах [1,(1) — (ь(1)[. а<сдСь ~гсь зоа Гл. 12. Функции несколыгих переменных Тогда !аУт) — а(1я)! = !д! ~ ~К(у* 5) Ч (5) — )а(4))~5~< е <!Х!М(б — ) р()ы ),).
Отсюда )О" (1т) уоУз)!<!Х!" М" Р(1ы ~а). !т !лазя(Ь и)» Всегда можно выбрать такое и, что ( 1, и, следои1 вательно, при этом и отображение йя будет сжимающим. Согласно замечанию после предыдущей теоремы интегральное уравнение вида й(Д =1' имеет при любом ). решение, и притом единственное. Топологические пространства В настоящем разделе будут рассмотрены основные свойства топологических пространств. Материал данного раздела вполне аналогичен изложенному в разделе о метрических пространствах, н поэтому мы повторим лишь основные определения, а доказательства некоторых теорем, поскольку они являются дословным повторением соответствующих доказательств в разделе о метрических пространствах, опустим. Подробнее мы остановимся лишь на специфических особенностях топологических пространств.
1. Определение топологического пространства. Хаусдорфова топологическое пространство. Примеры. Определение 1. Говорят, что на множестве Х определе.на структура топологического пространства„ если задана система (2.) его подмножеств, обладающая свойствами: 1) само множество Х и пустое множество И принадлежат (2'); 2) сумма любого числа множеств системы (Ц и пересечение любого конечного числа множеств системы (Е) принадлежат (2.). Система (л), удовлетворяющая условиям 1) — 2), называется .
топологией на множестве Х, а составляющие ее множества — о т крыт ы ми в этой топологии е. Таким образом, пара, состоящая из множества Х и топологии (Е), является топологическим пространством, которое иногда удобно обозначать через (Х, Х). ' Множество, являюптееся дополнением к открытому, называется з а м к н уты м в топологическом пространстве. Дополеенве 2 559 Определение 1 выделяет весьма общий класс пространств.
Обычно этот класс несколько сужают, добавляя к свойствам 1) и 2) так называемые аксиомы отделимости. Из этих аксиом мы рассмотрим наиболее часто 'используемые.. Аксиома Т, (Хаусдор фа): для любых различных точек х и у, принадлежащих множеству Х, существуют такое множество г„содержащее точку х, и множество лт, содержащее точку у, такие что они оба принадлежат системе (г) и не пересекаются, т. е. г.„Пг т=кЗ. Топологические пространства, удовлетворяющие аксиоме Тз (аксиоме Хаусдорфа), называются х а у с дорф о в ы м и.
А к с и о м а Ты для любых двух различных точек х и у, принадлежащих множеству Х, существует множество Х, принадлежащее системе (Ц, содержащее точку х и не содержащее точку у, а также существует множество 2'„из системы (Е), содержащее точку у и не содержащее точку х. Топологические пространства, удовлетворяющие аксиоме Ть называются Тип р о с т р а н с т в а м и. Ясно, что если выполнена аксиома Т„то аксиома Т~ выполнена, т.
е. класс топологических пространств, удовлетворяющих аксиомам 1), 2), Т,, более узкий, чем класс топологических пространств, удовлетворяющих аксиомам 1), 2), Ть П р н и е р о м пространства, удовлетворяющего аксиомам 1), 2), Т1 и не удовлетворяющего аксиомам 1), 2), Ти является следующее топологнческое пространство. Множество Х состоит из точек отрезка (О, 1), а открытыми считаются следующие множества: Х, 1с, Х„„= (О, 1)' (а„), где (а ) — произвольное, не более чем счетное множество отрезка (О, 1). Очевидно, что аксиомы 1), 2), Т~ выполнены. Однако аксиома Тз не выполняется. Не всякое топологическое пространство удовлетворяет аксиоме Т,.
Вот традиционный яр и мер. Множество Х=(а, Ь) состоит из двух точек. Топологию зададим открытыми множествами, к которым отнесем все Х, пустое множество Я и точку Ь. Аксиомы 1) и 2) выполнены, а аксиома Т1 — нет. Приведем наиболее часто встречающиеся примеры топологических пространств. П р и м е р ы. 1) Рассмотрим произвольное метрическое пространство (Х, р). Открытые множества в силу леммы 1 раздела о метрических пространствах удовлетворяют свойствам 1) и 2) определения 1 топологического пространства. Аксиома Тз (Хаусдорфа) также выполняется в метрическом пространстве: если х~у, то р(х, у) =а>0 и шары О 1х, — ), О (у, — ~ — открытые множества в (Х, р), такие что О (х, — ) П О (У вЂ” 1 = 8 Гл.
12. Функции нескольких переменных 560 Таким образом, всякое метрическое пространство (Х, р) яв- ляется и хаудорфовым топологическим пространством (Х, Х ), где (Х) — система открытых множеств в (Х, р). 2) Рассмотрим множество Х произвольной природы. Отне- сем к системе (Ц только все множество Х и пустое множество И, Аксиомы 1), 2), очевидно, выполнены. Однако аксиомы Тг и Тт не выполнены.
Такая топология называется а н т и д и с- кретной. 3) Пусть Х вЂ” произвольное множество. Отнесем к системе (т) все подмножества множества Х. Легко проверить, что (Ц вЂ” хаусдорфова топология. Такая топология называется дискретной. Дадим следующее определение. Определение 2. Окрестностью гочки х, ггринадлгжащей топологическому пространству (Х, 2), называется любое откры- тое множество, содержащее точку х. Окрестностью некоторого подмножества Х (быть может, самого Х) называется любое от- крытое множество, содержащее данное подмножество (или Х). Окрестность точки х будем обозначать 2 .
Предположим, что для каждой точки х, принадлежащей то- пологическому пространству (Х, Е) среди всех окрестностей этой точки выделены некоторые, причем так, что какова бы ни была точка х и ее произвольная окрестность Хк, существует окрестность ю'„г точки х из выделенной системы, что хе-:Х,гс: сЕ,. Определение 3. Система выделенных окрестностей (Х„г) называется определяющей системой окрестно- с т г й данного топологичгского пространства е, Справедлива следующая лемма, которая дает удобный спо- соб задания топологии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
