ilin1 (947407), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Так как, кроме того, зта последовательность ограничена снизу (миннмальным значением лг функции 1(х) на множестве Я), то она является сходящейся (см. теорему 3.15 из гл. 3). Обозначим предел последовательности (1"(ха)) через р. Ясно, что рант, где т — минимальное значение 1(х) на множестве О. Кроме того, поскольку все члены невозрастающей сходящейся последовательности не меньше ее предела (см. замечание 3 к теореме 3.15, гл. 3), то для всех номеров й справедливо неравенство 1(ха) ) 1х.
(12.1.41) Докажем, что для предела 1г справедливо равенство р = и = пп'п 1" (х). као ' Так как множество 0 выпукло, то оно не может иметь изолированных граничных точек. 533 Дополнение 1 Предположим, что это равенство несправедливо, т. е, предположим, что р>т. Тогда если обозначить через ч максимальное значение /(х) на множестве Щ а через Я подмножество тех точек Я, для которых справедливы неравенства (12.1.30), то в силу леммы 7 найдется строго положительная постоянная у такая, что справедливо неравенство (12.1.38), которое приводит к следующему неравенству: /(ха) — /(хе+э) )~ ( — — — ') у' > О, (12.1 42) справедливому для любого номера й.
Суммируя неравенства (12.1.42), записанное для номеров й, равных 1, 2, ..., л — 1, мы получим, что для любого номера и 1(хг) — ~(х„))~(л — !) 1 — — — ') У' 1а 2/ или, что то же самое, ~(х„) ~()(х,) — (и — 1) 1 — — — з) у'. (12.1.43) 1св 2/ Неравенства (12.1.43), справедливые для любого номера и, противоречат неравенству (12.1.41), ибо величина, стоящая в правой части (12.1.43), при достаточно большом номере и становится меньше числа р.
Полученное противоречие доказывает ошибочность предположения 1ь>т, т. е. доказывает что р=лг. Итак, доказано, что последовательность /(хе) сходится к минимальному значению гл функции !(х) на множестве 1,1. Остается доказать, что сама итерационная последовательность (хд) сходится к той точке хс, в которой это минимальное значение достигается *. Фиксируем произвольное положительное число в и обозначим через С, открытый и-мерный шар радиуса е с центром в точке хо.
Далее обозначим через 6, ту часть множества ь), которая не содержит точек шара С,, Ясно, что Ц, — замкнутое ограниченное множество, так что функция 1(х) достигает (в силу второй теоремы Вейерштрасса) своего минимального на этом множестве значения, которое мы обозначим через т,. Можно утверждать, что т,>гп, ибо в противном случае нарушалось бы условие существования у функции /(х) на множестве с/ единственной точки локального минимума. Далее, можно утверждать, что на множестве 9, имеется лишь к о н е ч н о е число точек последовательности (хд) (ибо последовательность (/(хе)), у которой имеется бесконечное чис- ч Нами уже доказано, что минимальное значение функции /(х) на множестве 0 достигаетсн в единственной точке этого множества.
Гл. !2. Функции нескольких переменных ло элементов, УдовлетвоРЯющих неРавенствУ 1(хе) ~т,>ддд, не может сходиться к числу пд). Значит, мы доказали, что для любого е)0 найдется номерду, начиная с которого все элементы последовательности (хл)- лежат в шаре С, радиуса и с центром в точке хе. Это и означает, что последовательность (хе) сходится к точке хе. Тем самым для случая о г р а н и ч е н н о г о замкнутого выпуклого множества Я основная теорема доказана. Пусть теперь Я вЂ” н е о г р а н и ч е н н о е замкнутое выпуклое множество.
Снова фиксируем произвольную точку х1 этого. множества и составим итерационную последовательность (12.1,26) при условии, что число а удовлетворяет неравенствам (12.1.25) . При доказательстве теоремы о существовании локального минимума у сильно выпуклой функции (см. и. 2) мы установили, что точка хе локального минимума сильно выпуклой функции 1(х) на неограниченном замкнутом выпуклом множестве Я лежит в той части Ял множества Я, которая содержится в шаре Сн с центром в точке хь радиус дг которого выбран из условия — дЯ вЂ” ~угад)(хд)) >О.
Там же установлено, что подмножество Ял множества дд ииляется ограниченным выпуклым замкнутым множеством и что всю- дУ вне Ян значениЯ )(х) пРевосходЯт 1(хд). Так как в силу леммы 7 (а точнее, в силу неравенства (12.1.37)) последовательность (1(хд)) является невозрастающей, а за пределами Ял все значения 1(х) превосходят 1(х1), то все точки итерационной последовательности (хе) лежат в Ян, а потому для любого номера А Ро(хе — еедгад(~(хл)) = Ро (хе — афтаб~(хе)). Значит, итерационную последовательность (12.1.26) можно заменить на хе+д = Рдл (хл — се угад() (хе)), после чего все дальнейшие рассуждения сведутся к ограниченному замкнутому выпуклому множеству Яи, т. е. к уже рассмотренному выше случаю.
Основная теорема полностью доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Особенно просто выглядит последовательность (12.1.26) для случая, когда множество Я совпадает со всем пространством Е . В этом случае для любой точки х справедливо равенство Ро(х) =х, и потому рекуррентная формула (12.1.26) принимает вид хе ы =хе — а цгад ) (хд) . Дополнение 2 ДОПОЛНЕНИЕ 2 Метрические, нормированные пространства В этом дополнении будут изложены важные понятия и факты общей топологии, которые часто употребляются в различных разделах математики. Читатель без труда обнаружит, что эти понятия и факты являются естественным обобщением ряда определений и утверждений, содержащихся в предыдущих главах.
Метрические пространства !. Определение метрического пространства, Примеры. Выше мы уже подчеркивали, что фундаментальную роль в анализе играет понятие предела. В основе этого понятии лежит определение расстояния между числами, т. е. абсолютная величина разности этих чисел. Поэтому представляется естественным ввести понятие расстояния уже не между двумя числами, а между двумя произвольными элементами некоторого абстрактного множества Х. Ясно, что при этом это расстояние должно обобщать свойства расстояния между числами числовой оси. В связи с вышесказанным дадим следующее определение. О п редел ение 1, На множестве Х определена структура метрического пространства, если задана функция р(х, у) двух произвольных элементов этого множества х и у, удовлетворяюи(ая аксиомам; 1) р(х, у) =О тогда и только тогда, когда х=у; 2) р(х, у) =р(у, х) (аксиома симметрии); 3) р(х, у) ~р(у, г) +р(г, х) (неравенство треугольника).
Функция р(х, у) называется метрикой или ф ун к ц и ей расстояния, число р(х, у) называется расстоянием между точками х и у множества Х. Таким образом, метрическое пространство образуют множество Х и функция расстояния р. Поэтому обозначается метрическое пространство обычно так: (Х, р) или просто Х, если ясно, о какой метрике идет речь. Если в аксиоме 3) положить х=у, то, учитывая 1), получается, что О~р(у, г), т. е. функция расстояния — неотрицательная функция своих аргументов.
Приведем примеры наиболее часто встречающихся метрических пространств. П р н м е р ы. 1) Множество вещественных чисел превращается в метрическое пространство,еслидлялюбыхчисел х, у положить р(х, у)= =)х — у~. Это метрическое пространство обычно обозначается Е'. 536 Гл. 1г, Функпии нескольких переменных 2) Координатное и-мерное пространство Х=А", точки которого (или элементы множества Х) — упорядоченные наборы и чисел, х= (х1, ..., х,), превращается в метрическое пространство, если положить р(х.
У) = Д" )х! — у!)2) ~1 =(х1„...,х„), у=(У1, ..., У„); обозначается оное через Ел= =(Х, р). Аксиомы !) и 2) определения метрического пространства, как легко видеть, выполняются. Справедливость аксиомы 3) вытекает из неравенства Коши — Буняковского для сумм (см. $5 гл. 9): л л р'(х,у) = Я !х! — у,!'= ~ ((х! — г;) + (г,— у!))2 =- 1=1 1=1 !л л л =- Е (х! — г,) 2 + 2 Е (х; — г;) (г, — у;) + Е (г, — у!)2< <'~~~ (х, — г!)'+ 2 Я )х, — г1! )г! — у! ! + !) (г! — у!)'< л л л л ~(~; (х,— г!)'+2(Д (х! — г !~! (Ъ )г — У!!') +~)„(г! — У!)'= 1=1 1=1 1=! 1=1 = р'(х,г) + 2р(х,г)р(г, у) + р'(г,у) =1р(х,г) + р(г,уЯ'. Таким образом, р(х, у)~р(х, г)+р(г, у), и неравенство треугольника в этом случае установлено.
Заметим, что выше мы применили неравенство Коши — Буняковского к сумме л л !х, — г1! (г; — уз! =-~), а;Ь,, где положено 1=1 а1= )х; — г;(, Ь;= )г! — у;(, 1=1, ..., и. На множестве Х, элементами которого являются упорядоченные наборы и чисел х= (х1, ..., х„), можно вводить н другие функции расстояния, например положить, что: р„(х,у)== Р '"), х,уенХ, а) 1+р(х, у) где функция р(х, у) введена выше, в примере 2); или положить р,(х,у) =шах )х! — у!); 6) !с !Кл ' Этим же символом Е мы обозначим и евклидово пространство, состоящее иэ элементов произвольной природы и имеющее размерность и. Дополнение 2 оз7 р, (х, у) = ~ [х! — у, [; в) >=! 1 1, если хчьу, ра(х,д) = ~ г) ~ О, если х=у; ( р(х, у), если р(х,у) с.
1, р (х, у) = д) [ 1, если р(х,у) ~1, где функция.р(х, у) определяется, как указано выше. Естественно, что при этом одно и то же множество Х превращается в разные метрические пространства (Х, р;), где >=О, 1, 2, 3, 4. 3) Пусть У вЂ” множество непрерывных функций, заданных на сегменте [а, Ь1 Введем метрику, полагая что р(х, у) = = шах >х(1) — у(1)[. Получившееся пространство представляач>СЬ ст собой-метрическое пространство. Оно обозначается через С[а, Ь)= (У, р).
Точно так же множество Х и раз непрерывно дифференцируемых функций на сегменте [а, Ь1 пъ1, становится метрическим пространством, если ввести метрику по правилу: р (х, у) = шах шах > х>>> (1) — у>>> (1) ~, оч>ча ас>сь где х<о>(1) = — х(1), у>о>(1) =у(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
