ilin1 (947407), страница 110

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 110)

Это пространство обозначается обычно так: Со[а, Ь)=(У, р), п)1. Пространство С[а, Ь) иногда обозначается символом Со[а, Ь]. 4) Пусть )7 — множество всех ограниченных последовательностей х= (х>, ..., х„, ...) действительных чисел. Положим р(х,у) = зпр>х! — у;!. Справедливость аксиом 1) — 3) метри! ческого пространства очевидна.

Это пространство обозначается через и>= ()7, р) Заметим, что каждое подмножество Хо метрического пространства (Х, р), в свою очередь, является метрическим пространством с той же самой функцией расстояния р. Действительно, сели аксиомы, определяющие метрику р, выполнены для любых х, у, г~Х, то они выполнены и для х, у, г, принадлежащих Хо. Таким образом, каждое подмножество Е" — метрическое проста ранство с функцией р (х, у) = (~~ [х, — р>[а) ~, Точно так же >и >=! любое подмножество С„[а, Ь) — метрическое пространство, паа =0,1,2,.... 538 Гл.

12. Функции нескольких переменных Лара (Хо, р) называется подп ро стран с твом пространства (Х, р). Заметим также, что если р(х, у) — функция расстояния в некотором метрическом пространстве, то по формулам а) или гц) примера 2) мы можем получить новую функцию расстояния. 2. Открытые и замкнутые множества.

Шаром 0(а, г) в; метрическом пространстве Х (з а м к н у т ьг м ш а р о м К(а, г) ) с центром в точке а и радиусом г называется совокупность всех точек хе=Х таких, что р(х, а) <г(р(х, а) <г). О и р е д е л е н и е 2. Множество Хс-Х называется о т к р ыт ы м в пространстве Х= (Х, р), если вместе с каждой своей точкой х оно содержит и некоторый шар 0(х, «). Я также назовем откргнтымк Определение 3. Окрестностью точки хе=Хназывается любое открытое множество, содержащее х. О к р е с т н остью некоторого подмножества Х (быть может, самого Х) называется любое открытое множество, содержащее данное подмножество*.

Окрестность точки х будем обозначать через 2„. Оп редел ение 4. Пусть множество Ус:Х, тогда точка. хе=Х называется и р е д е л ь н о й т о ч к о й множества У, если каждая окрестность точки х содержит по крайней мере одну точку множества У, отличную от х. Точка у~у называется и з о л и р о в а н н о й т о ч к о й множества У, если существует окрестность точки у, в которой нет точек У, отличных от у. Определение 5. Точка у, принадлежащая множеству У вЂ” подмножеству Х, — называется в н у т р е н н е й, если она содержится в У вместе с некоторой своей окрестностью. Точки, внутренние для дополнения У в Х, называются в н е ш н и м и пгз отношению к У.

Если точка не является ни внутренней, ни внешней по отношению к У, то она называется гран и ч ной для У. Множество граничных точек для У обозначается через ду. О п р е д с л е н и е 6. Множество в метрическом пространстве называется вам к ну ты м, если его дополнение открыто. Справедливо следующее утверждение. Л е м м а 1.

Сумма любого числа открытых множеств, пересечение любого конечного числа открытых множеств есть мно- Шар 0(о, г) в метрическом пространстве, очевидно, является открытым множеством, а поэтому его также можно считать окрестностью точки а. То, что шар 0(а, г) — открытое множество, следует нз того, что этот шар содержит любую свою точку х вместе с некоторым шаром 0(х, е), где 0<е<г — р(а, х). Действительно, если ршО(х, в), то р(а, у) р(а, х)+р(х, у)<р(а, х)+«в — р(а, х) =г, т. е, ршО(п, г), поэтому любая точка ушО(х, е) принадлежит также шару 0(а, г).

Следовательно, шар 0(х, е) шО(а, г), и поэтому исходный шар 0(о, г) — открытое множество (см. также пример 3) в конце настоящего раздела). дополнение 2 жество открытое, Я и все метрическое пространство Х открыть!. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто, сумма любого конечного числа замкнуть!х множеств замкнута, Я и Х замкнуты. Дока з а тел ь ство. Пусть (В„) — семейство открытых в Х множеств. Если х е= Ц д, то существует ас такое, что а х е- =г и, следовательно, существует число г>0 такое, что 0(х,г)~В„, т. е. 0(х, г)с: ЦХ .

Следовательно, Цг.„— ото а крытое множество. я Далее, если х!, ..., д„открыты в Х, то из того, что хан П Е„ ! 1 следует, что для любого а=1, ..., и хе=я.„т. е. для любого != =1... и существует такое г;>О, что 0(х, г;) с:д!. Взяв г= ппп г,, получаем, что для любого !=1,, и жся я 0(х, г) с: 0(х, г!), 0(х, г) ~ П В!, г.

е. пересечение множеств Хь с=1, ..., п — открытое множество. Второе утверждение непосредственно следует из первого, если воспользоваться принципом двойственности для множеств. Например, пусть (г„) — семейство замкнутых в Х множеств. Для каждого а введем в рассмотрение открытое множество Ъ„=г"„'*. Тогда (Пг„)' = Цг„'= ЦХ„, т. е. (Пг"„) — открытое и о о И множество, следовательно, П г'„ замкнуто. То, что Я и Х одно.

а временно открыты и замкнуты, очевидно **. О п р ед ел е н и е 7. Замыканием У множества У называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих У. Очевидно, что У содержится в каждом замкнутом множестве, содержащем У. Следовательно, замыкание множества У есть наименьшее из всех замкнутых множеств, содержащих У. Справедлива следующая лемма. Л е м м а 2. Операция замыкания в метрическом пространстве удовлетворяет следующим свойствам: 1) У:зу, 2) У=У, 3) УЦХ=УЦЯ, 4) Я=Я, Х=Х. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Свойство 1) очевидно: если хану, то х принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему У, следовательно, х принадлежит н пересечению этих замкнутых множеств, т. е. хенУ. * Напомним, что А' обозначает дополнение множества А. Я' Мыло определению полагаем Я открытым. Так как Х, очевидно, открыто, то Я=Х' будет являться по определению 6 и замкнутым множеством.

Аналогично Х =Я' замкнуто. Гл. !2. Функции нескольких переменных Свойство 2) вытекает из того, что У, будучи пересечением замкнутых множеств, является в силу леммы 1 замкнутым множеством. Докажем свойство 3), так как Ус:УЦХ, то каждое замкнутое множество, содержащее УЦХ, содержит и У, следовательно, пересечение этих замкнутых множеств также содержит У, т. е.

У~УЦХ, но У принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему У, следовательно, Ус:УЦХ. Аналогично 2с:УЦХ Таким образом, УЦЕс:УЦХ; обратно, УЦ2 в силу леммы 1 замкнуто, следовательно, УЦЕ~УЦХ. Утверждение 4) означает, что И и Х вЂ” замкнутые множества. Лемма полностью доказана. Попутно мы показали, что если множество Ас:В, то Хс:В. Дадим следующее определение. О п р е д е л е н и е 8. Пространство (Х, р) называется с в я зн ы,и, если его нельзя представить в виде суммы двух непустых открытых непересекающихся подмножеств. Очевидно, что пространство связно тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде суммы двух непустых замкнутых непересекающихся множеств.

Множество У, принадлежащее метрическому пространству Х, связно, если У связно как подпространство в Х. 3. Прямое произведение метрических пространств. Если (Хь Р1), (Х2, р2) †д метрических пространства, то можно определить прямое произведение этих метрических пространств. Пусть Х=Х1 ХХ2 — прямое произведение множеств Х1 и Х2, т. е. множество всевозможных пар (х1, х2), где х1~Х1, ххенХ2. Метрику на множестве Х можно ввести, например, по следующему правилу: Р(х У) =!Р1 (х» У1)+Рг'(х2.

У2)1 ' где х=(х1, х2), у=(у1, у2), хсяХ1, у1евУ1, 1=1, 2. Пара (Х, Р), Х=Х1ХХ2, р — функция расстояния, введенная выше, является метрическим пространством и, по определению, называется яр я мы м произведением метрических пространств (Х„ Р1) И (Х2, Р2). Если задана счетная последовательность метрических пространств (Х1, р1), (Х2, р2), ... и через Х обозначено прямое про- Р изведение множеств Хь 1=1, 2, ..., Х = П Хс, т. е.

Х состоит 1=1 из элементов х=(х1, х2,...), хсе=-Х1, то можно дать, например, следующее определение. О п р е д е л е н и е 9. П р я м ы м и р о и з в е д е и и е м метрических пространств (Х1, р1), (Х2, Р2), ... называется пара (Х, р), где Дополнение 2 О и Х = П Х;, р (х, у) = 1пп Ъ— ,н ~ Лиг 2» 1 + р»(л», у») х,у и= Х, х», у» и=Х», х = (х„х, ...), у = у,у„...), я=1,2, .... Обозначается оно гак: (Х, р) = П (Х;, р;). ~=1 4. Всюду плотные и совершенные множества.

Определение 10. Пусть А и  — деа множества в метрическом пространстве (Х, р). Множество А называется плотным и В, если Х:зВ Множество А называется всюду плотным в пространстве Х, если А =Х. Пространства, н которых имеются счетные всюду плотные множества, называются с е п а р а б е л ь н ы м и.

Рассмотренные выше примеры метрических пространств Е', Е", С„[а, Ь], пъО, являются примерами сепарабельных метрических пространств. Так, в Е" счетным всюду плотным множеством является множество точек, у которых все координаты— рациональные числа. В пространствах С„[а, Ь], пъО, такими множествамн являются множества многочленов с рациональнымн коэффициентами. Однако пространство пт есть пример несепарабельного пространства е. Если рассмотреть множество Е, последовательно.

стей, состоящих только из нулей и единиц, то мощность такого множества есть континуум. Убедимся в этом. Рассмотрим какое-либо число хеп и=[О, 1]. Разобьем сегмент [О, 1] пополам. Возьмем в качестве первого элемента последовательности число О, если х принадлежит левой половине, т. е. сегменту [О, 1/2], и число 1 — в противном случае. Тот из двух рассматриваемых сегментов, которому принадлежит х, обозначим [аь Ь1], В качестве второго элемента последовательности возьмем О, если х принадлежит левой половине сегмента [аь Ь1], и 1 — в противном случае. Продолжая эти рассуждения далее, мы поставим в соответствие рассматриваемому числу х вполне определенную последовательность из нулей и единиц. Если х~у, то в результате описанного процесса эти точки на некотором этапе станут принад. лежать разным отрезкам, а поэтому и последовательности, нм отвечаюшие, будут разные. Следовательно, множество всевозможных последовательностей из нулей и единиц есть множе- * Си.

пример 4 из п. 1. Гл. 12. Фуннпии нескольких переменных ство мощности, не меньшей, чем континуум. Для наших целей этого и достаточно *. Взаимные расстояния в пространствептмеждудвумя различт ными элементами р и д множества Ео есть величина, равназу) единице.

Характеристики

Список файлов книги