ilin1 (947407), страница 111

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 111)

Следовательно, приблизить сколь угодно близко каж4 дый из этих элементов элементами счетного множества нельзя„ так как множество шаров радиуса 1/3 с центрами в точках множества Ео имеет мощность не менее континуума и эти шары' не пересекаются. Поскольку Ес~тп, где пт=()У, р), то и все пространство пх несепарабельно. Множество А называется н и г д е и е и л о т н ы м в метрическом пространстве Х, если любое открытое множество этого пространства содержит другое открытое множество, целиком свободное от точек множества А.

Например, в пространстве С[О, 1) множество А функций вида у=пхх (и — целые числа) нигде не плотно. Другой пример нигде не плотного множества на сегменте [О, 1) (рассматриваемом как метрическое пространство) дает так называемое канторово совершенное множество.

Множество А точек метрического пространства называется совершенным, если оно замкнуто и если каждая точка множества А является его предельной точкой. Канторово совершенное множество на сегменте 1= [О, 1) строится следующим образом. Из сегмента [О, 1) удаляется интервал (1/3, 2/3) и оставшееся множество — объединение двух сегментов [О, 1/3), [2/3, 1) — обозначается через 1ь Из этих двух сегментов, в свою очередь, удаляются их трети — интервалы (1/9, 2/9), (7/9, 8/9). Объединение оставшихся сегментов обозначим через !з.

Продолжим этот процесс неограниченно. Очевидно, 1э1,э „. ~1„~ ... и 1, есть объединение 2" сегментов, длина каждого из которых 3 ". Э Множество К = П 1„и называется м нож ест во м а ни К а н т о р а. Покажем, что К совершенно. То, что оно замкнуто, следует из построения и леммы 1; остается показать, что К ие содержит изолированных точек. Пусть х~К, и пусть У., — произвольная окрестность точки х, т. е. открытое множество. Тогда по определению открытого множества найдется интервал ок (шар с центром в точке х), содержащий точку х и принадлежащий г,„. Пусть А,— тот сегмент множества 1„, который содержит точку х. Если и достаточно большое, то А,~о„.

Обозначим через а„тот конец сегмента А„, который не совпадает * На самом деле множество всевозможных последовательностей из нулей и единиц есть множество мощности континуум. дополнение 2 с х Очевидно, это следует из построения множества К, а„~К, Следовательно, произвольная окрестность точки х — множество т„— содержит точку а„чьх:а„екА„со,сВ„, т. е.

точка х— предельная для множества К, и К совершенно. Докажем теперь, что множество К нигде не плотно на сегменте [О, 1), рассматриваемом как метрическое пространство с. обычным евклидовым расстоянием. Поскольку любое открытое- множество на сегменте содержит внутри себя интервал, то достаточно показать, что любой интервал (шар) содержит внутри себя другой интервал, свободный от точек, принадлежащих К. Пусть о — произвольный интервал сегмента [О, 1).

Если он не содержит точек К, то построение в этом случае закончено. Если же имеется точка хе=К и хелло, то мы можем выбрать. столь большое т, что хе=А,„су„, и А со, т — натуральное. Найдем интервал длины 3 — ~ +О с центром в середине Аео Этот. интервал не содержит точек К и содержится в о. Таким образом, нигде не плотность множества К на сегмен-- те [О, 1) доказана.

5. Сходимость. Непрерывные отображения. Определение 11. Последовательность (а„) точек метри-. ческого пространства называется с х о д я щ е й с я к т о ч к е а этого пространства, если любая окрестность точки а содержит все элементьг этои последовательности, эа исключением конечного их числа. Если последовательность (а ) сходится к а, то. пиигут а„- а при и — ь-оо или 1пп а„ =- а. л Непосредственно из данного определения следует, что а„-~- — а, если р(а„, а)- О, и- оо, Л е и м а 3. Точка а метрического пространства Х принад-- лежит замыканию Х некоторого множества А тогда и только тогда, когда существует последовательность (а„) точек множе-- ства А, сходящаяся к а.

Доказательство. Пусть ае=Х, тогда а принадлежит каждому замкнутому множеству, содержащему А. Возьмем в качестве окрестности точки а шар 0(и, 1[п), и — натуральное. В этом шаре имеется по крайней мере одна точка а„е— = А. Если бы это было не так, то ае=А и существовала бы окрестность точки а, свободная от точек множества А, Дополнение до этой окрестности было бы замкнутым множеством, содержащим множество А, и точка а не принадлежала бы этому замкнутому множеству.

Таким образом, получилось противоречие условию" аенА, следовательно, мы построили последовательность точек а„. а при и†оо, а ~А. Заметим, что данная последовательность (а ) может оказаться стационарной, т. е. такой, что все ан=а, Верно и обратное: если а„-+а и а„еА, то аеХ. Для этого заметим, что если любая окрестность точки а пе- Гл. >2. Функции кескольккх переменных ресекается с А, то а~А, Действительно, если ае:-А, то аеиХ, Если а~А, то, допустив, что ае-:А, и взяв дополнение множества А, получим окрестность точки а — множество (А)', не пересекающееся с А, т. е. получим противоречие. Доказательство леммы теперь завершается так.

Нам дано, что а„- а н а„енА. Следовательно, любая окрестность точки а содержит точки а„множества А. По сказанному а~А, что н требовалось. Одновременно нами доказано следующее утверждение. Утверждение, Точка а принадлежит замыканию мнв; жества А в том и только том случае, если каждая окрестност>) Х, точки а пересекается с А.

В гл. 4 было подробно изучено понятие непрерывност>) функции числового аргумента. Оказывается, что это понятие допускает естественное обобщение иа случай, когда задана уже не обычная функция числового аргумента, а отображение одного метрического пространства в другое. Введем вонятне непрерывного отображения. О п р е д е л е н и е 12. Отображение я одного метрического пространства (Х, р) в другое (Хо, ро) называется н е и р е р ы вным в точке х, если для каждой окрестности Хкы> точки д(х) найдется такая окрестность Т„точки х, что д(Х„)~Вкы>. Если и непрерывно в каждой точке пространства Х, то такое отображение называется непрерывным и а Х. Справедлива следующая лемма. Л е м м а 4, Отображение а; Х- Хо одного метрического пространства Х в другое Хо непрерывно на Х тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества открыт.

Доказательство. Необходимость, Пусть я: Х-«Хо — не- ХР. и ерывное отображение Х в Хо и г.о — открытое множество в о. Если д >(Хо) =(хн:-Х:д(х) ыВо)=Я, то открытость д — >(Хо) очевидна, так как Ы открыто. Пусть Ы >(Во)ФЯ и хенХ=д' >(Хо) Так как хенк >(Во), то у(х) енто, следовательно, Во можно рассматривать как окрестность точки у(х).

Ввиду того, что д — непрерывное отображение на Х (а значит, и в точке х), найдется окрестность г,„точки х такая, что й(Х,) с:Во, т. е. Х„~й >(Во). Итак, для любой точки х~а > (Хо) найдется окрестность Т.„такая, что Х„~ ~К '(~о). Поскольку Х = — () Х„, то множество л открыто как объедихех пение открытых множеств В„. Таким образом, прообраз любого открытого множества открыт.

Достаточность. Пусть дано, что прн отображении у Х вЂ” «Хо прообраз любого открытого множества открыт. Возьмем любую точку хенХ и произвольную окрестность Вк< > ее образа в Хо. Тогда Х„=у-> (Веы>) по условию — открытое множество в Х, Дополнение 2 545 т. е. является окрестностью точки х, причем образ Х прн отображении у содержится в Еяыь Следовательно, отображение у по определению непрерывно в точке х. Поскольку эти рассуждения применимы, для любой точки х~Х, то отображение у непрерывно на Х и лемма доказана. Учитывая, что шар является открытым-.множеством и всякое открытое множество содбржнт любую свою' чочку вместе с некоторым шаром, можно определение 12 непрерывности отображения у: Х вЂ” ~.Хо в точке х~Х переформулировать следующим образом.

Определение 13. Отображение у одного метрического пространства (Х, р) в другое (Хо, ро) называется непрерывнымм в точке х, если для любого числа е)0 существует такое число 6)0, что если точка у принадлежит открьсгому шару 0(х, 6) с центром в точке х радиуса 6, то точка д(у) принадлежит открытому шару 0(у(х), е) с центром в точке д(х) ра-. диуса е, лежащему в пространстве (Хо, Ро). Последнее определение можно переформулировать также следующим образом: отображение у: Х-~Хо непрерывно в точке х, если 1ппу(у) = 6'(х), в-м Из неравенства треугольника легко заключаем, что функция расстояния р(х, у) непрерывна в точке х при фиксированном у. На самом деле она является непрерывной функцией и по двум переменным'. В случае, если метрическое пространство Х есть числовая ось с обычным расстоянием между числами, т.

е. пространство Е', а отображение у †обычн скалярная функция на Е', данное определение 13 непрерывности, очевидно, совпадает с определениями гл. 4. Введем понятие гомеоморфизма. Определение 14. Отображение у:Х-~Хо метрического пространства Х в метрическое пространство Хо называется гом вомо рф измом, если у отображает Х на Хо взаимно однозначно и у непрерывно вместе с обратным отображением 6 '. 6. Компактность, Покрытием множества А в метрическом пространстве называется любое семейство открытых множеств, объединение которых содержит А.

Характеристики

Список файлов книги