ilin1 (947407), страница 108
Текст из файла (страница 108)
(12.1.29) Так как х и у фиксированы, а 1 — любое число из сегмента 0«Г«1, то в силу неравенства (12.1.28) мы можем взять Г удовлетворяюшим неравенству 2(х — РЧ(х), у — Р (х)) ро(у, Ро(х)) При таком выборе 1 — 21 (х — Ро (х), у — Рч (х) ) + Рро (у, Ро (х) ) (О, и мы получим из (12.1.29), что ро(г, х) <ро(х, Ро(х) ). Последнее неравенство противоречит тому, что точка Ро(х) является проекцией точки х на множество Я: у множества (ч' нашлась точка г, удаленная от х меньше, чем Ро(х) от х. Полученное противоречие завершает доказательство леммы.
Л е м м а 5. Пусть )'(х) дифференцируема и выпукла на замкнутом выпуклом множестве Я. Если при некотором положительном а проекция Ре(хо — айтад)(хо)) точки х,— адгад((хо) на 828 Гл. !2. Функции нескольких переменных множество 1;! совпадает с точкой хо этого множества, то функ- ЦиЯ 1(х) имеет в точке хо локальный минимУм. Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя лемму 4, запишем неравенство (12.!.27) для точек х=хо — афтаб((хо) и у=хо+Ах, где Ьх — любой вектор, для которого точка у=хо+Лх принадлежит Я. В результате получим (хо — а афтаб ((хо) — Ро (хо — а йтаб ((хо) ) ~ хо+7хх — Рд(хо — а вагаб)(хо))) <О. Учитывая, что Ро(хо — афтаб((хо)) =хо, получим из последнего неравенства следующее соотношение: (огай!(хо), Ьх) > О. Это соотношение, справедливое для любого вектора Лх, для которого точка хо+Ля принадлежит Я, в силу леммы 3 устанавливает, что функция 1(х) имеет в точке хо локальный минимум Лемма 5 доказана.
Предположим, что функция 1(х) является сильно выпуклой на ограниченном замкнутом выпуклом множестве Я. Обозначим через пт минимальное значение !'(х) на множестве (г, а через 1х число, строго большее пт, так что (ь ) пт = пп1п Г (х). кее Фиксируем число ч, строго большее р, и обозначим через Я вЂ” подмножество тех точек х множества Я, для которых 1х~((х) ~т. (12.1.30) Множество 6 как подмножество ограниченного множества Я само является ограниченным. Убедимся в том, что множество Я является замкнутым. Пусть (ха) — произвольная сходящаяся последовательность точек множества 9. Требуется доказать, что предел хо * этой последовательности также принадлежит множеству Я. Так как каждая точка ха принадлежит множеству ьг, то для каждого номера ут !о~~(ха) (т.
(12.1.31) Сильно выпуклая функция 1(х) во всяком случае непрерывна на Я, а поэтому из сходимости последовательности (ха) к хо в силу определения непрерывности функции по Гейне вытекает сходимость последовательности 1(ха) к числу !(хо). Так как все элементы сходящейся числовой последовательности 1(хь) удовлетворяют неравенствам (12.1.31), то и предел !(хо) этой последовательности удовлетворяет неравенствам 1х-с((хо) ~о ' Так как исходное множество !7 является замкнутым, то предел х, во всяком случае принадлежит Я.
. дополнение 1 (12.1.33) Если же множество 9, кроме того, ограничено и точка х принадлежит подмножеству 1г тех точек Я, для которых справедливьс неравенства (12.1.30) при 1«) ппп 1'(х), то найдется строго «ео положительное число у такое, что справедливо неравенство (Лх( ~у. (12.1.34), Д о к а з в т е л ь с т в о. Докажем сначала неравенство (12.1.33). Фиксируем произвольную точку х множества Я и, привлекая лемму 4, запишем неравенство (12.1.27), взяв в нем вместо х точку х — адгад((х), а вместо у точку х.
При этом получим неравенство (х — и агаб1(х) — Ро(х — а цгаг(1(х) ), х — Ро(х — а цгаг(1(х) )) «О;. которое с учетом обозначения Ах=Рай(х — адгаг(((х)) — х перепишется в виде ( — а агад 1 (х) — Лх, — ах) «О. Из последнего неравенства и из свойств скалярного произ- ведения вытекает, что а(угад((х), ах)+(ах'1 «О, а это н приводит к неравенству (12.1.33). Остается доказать, что при дополнительном предположении о том, что 1,1 ограничено и что х принадлежит подмножеству 1г, сушествует у>0 такое, что справедливо неравенство (!2.1.34). Рассмотрим неотрицательную функцию точки х вида (ах(=(Ро(х — идгаг)1(х)) — х(.
(12.1.35) Убедимся в том, что эта функция является непрерывной на множестве Я функцией точки х. (см. гл. 3, следствие 2 из теоремы 3.13), а это и означает, что точка хь принадлежит множеству гг, Доказательство замкнутости множества гг завершено. Итак, множество 1г всех точек х нз множества 9, для которых справедливы неравенства (12.1.30), является замкнутым и ограниченным.
Докажем теперь следующую лемму. Л е м м а 6. Пусть функция 1(х) сильно выпукла на выпуклом замкнутом множестве Я, х — любая точка 1,1, а — любое положительное число, символ Ьх обозначает разность Ьх= Рд (х — а ига 6 1(х) ) — х. (12.1.32)~ Тогда справедливо неравенство (агад1(х), Ьх) «( — — ~ ах !. 1 а Гл. 12. Функции нескольких переменных Докажем сначала, что векторная функция Рд(х) является непрерывной функциеи точки х. Для этого достаточно доказать неравенство Рд(х+Ах) — Рд(х) ( -1ЛХ(, (12.1,36) справедливое для любых векторов х и Лх.
В силу леммы 4 справедливы неравенства (х — Рд (х), Рц (х+ Лх) — Рд (х) ) ~ О, (х+ Ах — Рц (х+ Лх), Рц (х) — Рц (х+ Лх) ) ч: О. Используя эти неравенства н неравенство Коши — Буняков- ского получим цепочку соотношений ~ Рд (х+Ах) — Рд (х) (~= (Рд(х+Ах) — Рд (х), Рд (х+ Ах) — Рц (х) ) = (Рц (х+ Лх) — х, Рц (х+ Ах) — Рд (х) ) + + (х — Рд (х), Рд (х+ Ах) — Рц (х) ) ~ ~ (Рц (х+ Лх) — х, Рц (х+ Лх) — Рц (х) ) = Рд (х+ Лх) — х — Лх, Рц(х+Ах) Рд(х) ) + (Лх, Рд(х+Лх) — Рц(х) ) н;. ~(ЛХ, Рц(х+Ах) — Рд(х) ) ~(ЛХ( ~Рц(х+Ах) — Рд(х) ), из которой и вытекает неравенство (!2.1.36). Итак, доказано, что Рд(х) является непрерывной векторной функцией точки х. Из сильной выпуклости 1(х) на Я вытекает, что функция айгад)(х) также является непрерывной на Я век- торной функцией точки х. Но тогда из теоремы о непрерывно- сти сложной функции и непрерывности разности непрерывных функций вытекает, что и функция Рд(х — а игам)(х) ) — х является непрерывной на множестве Я векторной функцией точ- ки х.
Модуль указанной векторной функции, т. е. скалярная функ- ция (12.1.35) тем более является непрерывной на множестве Я, а потому и на его подмножестве Я. Итак, функция (12.1.35) непрерывна и неотрицательна всюду на замкнутом ограниченном множестве Ц. В таком случае, по второй теореме Вейерштрасса (см. теорему 12.7) эта функция достигает на множестве 12 своего неотрицательного минималь- ного значения у.
Указанное минимальное значение у заведомо строго положительно, ибо если бы у равнялась нулю, то на мно- жестве 0 нашлась бы точка хо такая, что Рд(хе — а цгас)1(хо))— — х,=О, а это означало бы в силу леммы 5, что в этой точке хо множества Ц функция 1(х) имеет единственный на множестве Я локальный минимум (в то время как этот минимум по определе- нию 4 лежит вне Я).
Итак, у)0, и неравенство (12.1.34) дока- зано. Дополнение 1 531' Лемма 6 полностью доказана. Лемм а 7, Пусть функция 1(х) сильно выпукла на выпуклом замкнутом множестве гг, х — любая точка 1г, а — любое число, удовлетворяющее неравенствам (12.1.25), Лх — разность вида (12.1.32). Тогда при переходе из точки х в точку х*= =Ро(х — апгаб1(х)) значение функции 1(х) не возрастает, причем * Т(х) — 1(х') > 1 — — — ) (Лх(в. (12.1.37) 1а 2/ Если же множество 1;1, кроме того, ограничено и точка х принадлежит подмножеству гг тех точек гг, для которых справедливо неравенство (12.1.30) при р ) п11п 7'(х), то неравенство ее (12.1.37) переходит в неравенство г (х) — г'(х") ) ( — — — ') у', (12. 1.
38)' 1(х') = 7'(х) + (дгаЦ(х), Лх) "+ — двг(х+ ОЛх), (12.1.39) 2 где Лх=х* — х=-Ро(х — а пгабг(х)) — х, 0<0<1. Используя неравенство (12.1.33) и правое неравенство (12.1.14), мы получим из формулы Тейлора (12.1.39) г(х') — 1(х) < — 1 (Лх(в + в (Лх(в, а 2 так что для случая внутренней точки х неравенство (12.1,37) доказано. 1 й, ' Из (13.1,25) вытекает, что — — — ) О. а 2 где у>0 — постоянная из леммы б, Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно для любой точки х множества 1г установить неравенство (12.1.37), ибо из этого неравенства и из неравенства (12.1.34) сразу вытекает и неравенство (12.1.38) (для точек х, принадлежащих ~, при условии, что 1,1 ограничено).
Сначала докажем неравенство (12.1.37) для случая, когда; точка х является внутренней точкой множества Я. Имея в виду,. что точка х'=Ро(х — апгаг(1" (х)) принадлежит множеству 1,, на. котором функция 1(х) сильно выпукла, выразим значение 1(х*) по формуле' Тейлора с центром в точке х, взяв остаточный член Лв(х*) в форме Лагранжа. Прн этом получим ДЗ2 Гл. !2. Функции нескольких переменных Пусть теперь х является граничной точкой множества ('„1.
По определению граничной точки * найдется последовательность (хв) внутренних точек множества О, сходящихся к х. Для каждой точки х„по формуле Тейлора с центром в этой точке мы получим 1(ха) =1(х„)+ (агат(1(х„), (х* — х„) )+ + —,' (')( „+О„( * †.)), (12.1.40) где 0<0,<1. Учитывая, что правое неравенство (12.1.14) справедливо для г(а1" в любой точке множества 1'1 и что угад)(х) является непрерывной векторной функцией точки х на множестве г,з, мы получим, что в.пределе при п- +со из соотношения (12.1.40) вытекает справедливость неравенства (12.1.37) для граничной точки х множества Я. Лемма 7 доказана. Перейдем теперь непосредственно к д о к а з а т е л ь с т в у о с н о в н о й т е о р е м ы. Сначала докажем основную теорему при дополнительном предположении о том, что замкнутое выпуклое множество Я является также о г р а н и ч е н н ы м.
Возьмем произвольную точку х, множества г"т и составим итерационную последовательность (хд) точек, определяемых рекуррентным соотношением (12.1.26), .при условии, что число а удовлетворяет неравенствам (12.!.25). Из леммы 7 (а точнее, из неравенства (12.1.37)) сразу же вытекает, что 1(х ) )'(х ) > ( 1 — Ь) !ха — ха+, ! а ) О. ~ а Таким образом, последовательность (1(ха)) является невозрастающей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
