ilin1 (947407), страница 112

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 112)

Определен ив 16. Метрическое пространство Х называется к о м и а к т~н ы м или к о м п а к т о м, если любое его по- Фуикпия р(х, у) определена на проиаведении хкх и отображает'хкх в Е'. Функпия р(х, у) непрерывна на проиоведении метрических просграиствХкХ. Ее непреривность следует иа неравенства четырехугольника: 1Р(». х) — Р(Ы, п)(чч(Р(х, у)+Р(х. и)(, которое получается иа двух неравенств: р(», г)(р(х, у)+р(у, г)(р(х, у)+Р(у, и)+р(и, х), р(у, и) и,р(у, х)+Р(п, х)(р(у, х)+р(х, х) +Р(х, и). 18 зах. тг Гл.

12. Функции нескольких переменных 546 крытие содержит конечное подпокрытие, т. е. из всякого покрытия пространстеа Х открытыми множествами можно выделить конечную систему, содержащую все пространство (подпокрытие). Сегмент (а, Ь) числовой оси является компактом, что вытекает из того факта, что из всякого покрытия этого сегмента открытыми множествами можно .

выделить конечное подпокрытие, Можно показать, что метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда иэ всякой последовательности его точек можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из этого пространства. Определение 16. Система подмножеств (А„) множества называется 1)ентрирова иной, если любое конечное подсемейство этой системы имеет непустое пересечение. Справедливы следующие леммы. Л е м и а 5. Для того чтобы метрическое пространство Х было компактньсм, необходимо и достаточно, чтобы каждая центрированная система замкнутсчх его подмножеств имела не- пустое пересечение.

Доказательство. Пусть Х компактно, и пусть (Р„)— центрированная система замкнутых подмножеств. Множества 6„=Х'~Р„открыты, и никакая конечная система из этих множеств 6, 1(п(У<со не покрывает Х. Значит, поскольку Х компактно, (6„) не могут служить покрытием компактного пространства Х. В противном случае мы могли бы выбрать конечное подпокрытие Х из системы (6 ). Но если (6 ) не покрывает Х, то ПР„не пусто, так как ПРо= П(Х~6н) =Х'~,06 а а а а Обратно, пусть любая центрированная система замкнутых подмножеств из Х имеет непустое пересечение. Пусть (6„)— открытое покрытие Х, Выберем из этого покрытия конечное подпокрытие.

Положим Р =Х'~6„и заметим, что так как (6„) покрывает все Х, то ПР =О. Следовательно, (Рп) не ява ляется центрнрованной, т. е. существуют такие Рь Рг, ...,Рм, м М<оо, что П Рг = 8, но тогда (6г)ые 1=(х'~Ре)ыг-1 — конеч- С4М ное подпокрытие покрытия (6„), что и требовалось доказать, Л е и м а 6. Замкнутое подмножество компактного метрического пространства компактно *, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Р— замкнутое подмножество компактного метрического пространства Х и (г.„) — некоторая система открытых множеств — покрытие Р. К системе (г,а) при- ь Т.

е, иэ всякого покрытия этого подмножества открытыми в данном пространстве множествами можно выделить конечное полпокрытие. Дополиеиие 2 547 соединим открытое множество 0=Х'~Р, и полученное покрытие всего пространства обозначим через (Х ')=(Х„Щ0. Выберем в силу компактности Х из системы (Х ') конечное покрытие всего пространства — систему (Хг')нг=ь Выбрасывая, если это необходимо, из системы (Хг')не=1 множество 6, мы получим конечное покрытие множества Р, выбранное из системы (Х ). Лемма доказана. Лемма 7. Образ компактного пространства Х при непрерывном отображении — ко.нпактное множество. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть й — непрерывное отображение Х в Хо.

Пусть (Х ) — покрытие д('Х)~Хо открытыми множествами, а Чг„=й-'(Х,). Множества Ч'„открыты (см. лемму 4), и (Ч' ) — покрытие й(Х). Выберем из этого покрытия в силу компактности Х конечное подпокрытие: (Чгг)мг ~, .тогда (Хг)мг М<оо, — покРытие Хо, Хг=д(Чгг), 1= 1, ..., М, что и тРебовалось доказать. Л е м м а 8. Компактное подмножество метрического пространства Х замкнуто *. Доказательство, Пусть Р— компактное подмножество, и пусть аяХ' Р; для любого хяР существуют окрестности Х и Х точек а и х соответственно такие, что Х ПХ„=И. В качестве таких окрестностей можно, например, взять шары 0(а, г) 1 и 0(х, г), г= — р(а,х). Множество 0=- () Մ— покрытие 3 «ее множества Р, В силу компактности Р выберем из этого покрытия конечное подпокрытие: (~«г)н, Рассмотрим соответствующие .'~,т окрестности Х,', которые по построению не пересека.

ются с ~,,, и П ~„г,' = ~чр„является окрестностью точки а, г Очевидно, что ХПХ,,= 8, г'=1,...,Ф, и поэтому ХПР=Я. Следовательно„Хс Х~Р, т. е. множество Х'~Р открыто, а Р замкнуто. Л е м м а 9. Пусть д: Х- Е', где Š— действительная числовая ось. Если у — непрерывное отображение, а Х вЂ” компакт, то й ограничено и достигает своих точных верхней и нижней граней. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть д(Х) — непрерывный образ компакта (компактяого пространства). По лемме 7 подмножество д(Х) метрического пространства Е' компактно, следовательно, ограниченно и замкнуто (см. гл. 4, 5 7, п.

3). Осталось заметить, что непустое ограниченное замкнутое множество чис- * Заметим, что в отличие от множеств числовой оси (или й") в случае общего метрического пространства ограниченность и замкнутость множества еще иелостаточиа лла его компактности (ср, с гл. 4, 5 7, п. 3). 18« 548 Гл. 12. Функции нескольких переменных ловой оси содержит точные верхнюю и нижнюю грани е.

Лемма доказана. 7. Базис пространства. Введем понятие базиса. Определение 17. Система открытых множеств (г.„) метрического пространства Х называется б а з и с о м этого пространства, если всякое непустое открытое множество пространства Х может быть получено как объединение некоторых л„из множеств системы. Справедлива следующая лемма. Л е м м а 1О. Для того чтобы система (Х„) открытых множеств была базисом пространства Х, необходимо и достаточно, чтобы для всякого открытого множества 6 и всякой точки аеи ~6 нашлось бы такое множество Хч„из данной системы, что аяги,сО.

До к а з а т е л ь от во. Допустим, что система (Х„) — базис пространства. Тогда любое открытое множество 6 есть сумма некоторых из множеств (л,), Поэтому для всякой точки аеиО существует такое множество Вом что а яХ„„сО и ан. принадлежит данной системе (Х ). Обратно, пусть выполнены условия, сформулированные в лемме. Тогда всякое открытое множество 6 представимо в виде О=Ц г.„„ аев т. е.

система (Б„,) †баз пространства. Лемма доказана. Определение 18. Метрическое пространство Х называется пространством со счетным базисом, если в нем существует хотя бы один базис, состоящий не более чем из счетного числа множеств. Пространства со счетным базисом называются также пространствами со второй аксиомойй счетности. Л е м м а 11 Метрическое пространство Х является пространством со счетным базисом тогда, когда в нем имеется счетное, всюду плотное множество. Обратно, если в пространстве имеется счетный базис, то в нем есть и счетное всюду плотное множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А =(а„) „=~ — счетное, всюду плотное множество в Х. Всевозможные шары 0(а„, Ъ~т), где п, гп — всевозможные натуральные числа, образуют базис пространства, причем счетный. Обратно, если в Х имеется счетный базис (Х„) „=ь то, выбрав по точке а„вне„, мы получаем множество А=(а„) „ которое всюду плотно. Действительно, если бы ХФХ, то открытое множество О=Х' Х было бы не пустым и не содержало бы ни одной точки из А=(а„) „=ь что невозможно, так как 6— ' См. также гл. 4, й 7, п. 3. Дополнение 2 открытое множество и оно есть объединение некоторых из множеств системы (В„), а а„~Х„.

П р н м е р ы. 1) Легко построить метрическое пространство (Х, р) и замкнутые шары К1(хь г1) и Кз(хго гз) такие, что К,с: с.-Кж г1)гз. Действительно, пусть (Х, р) — метрическое пространство, состоящее из всех точек (х, у) замкнутого круга на плоскости ху: Х=(х, у: хе+уз<9) с обычной евклидовой метрикой р. Шар Кз определим так: Кт= — (Х, р).

Пусть шар Кг=Кз()(х, у: (х — 2)т+узм.16). Тогда К,с:Кз, г,=4, гз=З, г,>гя. 2) Множество А метрического пространства замкнуто тогда н только тогда, «огда оно совпадает со своим замыканием А, т, с. А=Х. Действительно, если А=Х, то, так как замыкание любого множества замкнуто (как пересечение замкнутых), А — замкнуто Обратно, А принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему А; одним из таких замкнутых множеств является в данном случае само А, т.

е. Хс А. С другой стороны, по определению замыкания Ас:.А, т. е. если А замкнуто, то А=Х. 3) Шар 0(хо, г), как уже говорилось выше, в метрическом пространстве Х вЂ” открытое множество. (Если хе=О(х, г), т. е. р(х, хо)<г, то шар 0(х, в) при 0<в<г — р(хо, х) будет принадлежать исходному множеству: 0(х, н)с:0(хо, г). Действительно, если у~О(х, е), т. е. р(х, у) <а, то р(хо, у) <р(хо, х)+р(х, у) <р(хо, х)+г — р(хо, х) =г.) Аналогично замкнутый шар — множество К(х, г) =(у: р(х, у)~ <г) — замкнутое множество в Х, Это следует нз того, что его дополнение есть множество открытое.

4) Замыкание А множества А метрического пространства состоит нз всех точек, которые являются либо предельными точками множества А, либо элементами А *. Действительно, всякое множество содержится в своем замыкании: А~Х. Докажем, что замыкание А содержит и предельные точки для А. В самом деле, замыкание множества — множество замкнутое, а если множество замкнуто, то оно содержит все свои предельные точки: если. точка не принадлежит замкнутому множеству, то она принадлежит его дополнению, которое и является окрестностью этой точки, свободной от точек замкнутого множества, т.

Характеристики

Список файлов книги