ilin1 (947407), страница 116

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 116)

Примеры. Определение 1, Множество элементов ~., содержащее хотя бы один элемент, называется л ин ей н ьсм или векторным пространством, если выссолнены следующие аксиомы. 1. Для любых двух элементов х и у множества Е однозначно определен третий элемент г этого множества, называемый их с у м м о й и обозначаемый символом х+у, причем справедливы следующие свойства: а) х+у=у+х (колсмутативность); б) (х+у),+г=х+ (у+г) (ассоциативность); в) существует такой элемент О, что х+О=х для любого элемента хенЬ; элемент О называется нулевым или нул е м пространства Ь; г) для любого элемента х~1. существует такой элемент х', что х+х'=0; элемент х' называется и р о т и в о и о л о ж н ы м к элементу х и обозначается обычно так: — х. Дополиеиие 2 2. Для любого числа а и любого элемента х пространства Е определен элемент у пространства Е, называемый п р о и з- в е д е н и е м а н а х и обозначаемый символом ах, причем справедливы следующие свойства; а) а(йх) = (ар)х (для любых чисел а и р и любого элемен- та х); б) (а+й)х=ах+рх (для любых чисел а и р и любого эле- мента х); в) а(х+у) =ах+ау (для любого числа а и любых элемен- тов х и у); г) 1 х=х для любого элемента х.

Если в аксиоме 2 используются только действительные чис- ла, пространство Ь называется действительным пра- с т р а н ство м. Если же рассмотрения ведутся с использова- нием комплексных чисел, то и пространство Ь называется к о м п л е к с н ы м. Элементы линейного пространства называют также в е к- торами.

Рассмотрим некоторые п р н м е р ы линейных пространств. При изучении метрических пространств были рассмотрены сле- дующие множества (см. раздел о метрических пространствах, примеры): множество вещественных чисел, координатное и-мер- ное пространство, множество непрерывных на сегменте функ- ций и совокупность ограниченных последовательностей. Все эти множества представляют собой и примеры линейных про- странств, если ввести операции сложения и умножения по сле- дующим правилам, 1) В совокупности А' вещественных чисел — обычные ариф- метические операции сложения и умножения. 2) В и-мерном координатном пространстве А" — по формулам «+У= (х1 хм ° -~ хп) + (У! Уе - ~ Уи) = (х1+Уь хе+Уз ° - хп+Уи) ах=а(хь хж,хп) = (ахь ах,, ..., ах„). 3) В пространстве непрерывных функций на отрезке — обыч- ные операции сложения двух функций, т.

е. 1+К=)(х)+й(х), и умножение функции на число, т. е. а)=аг(х). В множестве ограниченных последовательностей введем опе- рации сложении и умножения по формулам (х+У) = (х1 хь .-).+ (У| Ум - ) = (х~+У1 хе+Ум ...), ах= а(хь хь - ) = (ахи ахь ...). Нетрудно проверить во всех перечисленных выше примерах выполнимость аксиом, определяющих линейное пространство. За этими линейными пространствами мы сохраним те же обозначения, что и в случае, когда рассматривались метрические пространства, т. е. соответственно в случае 1) — обозначение Е', в Гл.

!2. Функции нескольких переменнмх случае 2) — Е", в случае 3) — обозначение С[а, Ь! и в случае 4) — обозначение тп, Определение 2. Линейные пространства Ь и Е' называются изоморчй ными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элемент хе=А соответствует элементу х"к=Ее, а элемент уяЕ соответствует элементу у*~Е*, то элемент х+у соответствует элементу х*+у", а элемент ах соответствует элементу ах' (а — любое число). Изоморфные пространства можно рассматривать как различные реализации одного и того же пространства, и такие пространства можно не различать. 2. Нормированные пространства.

Банаховы пространства. Примеры. Определение 3. Функция 1(х) =!!х!!, ставящая каждому элементу х линейного пространства Ь в соответствие вещественное число !!х!!, назььвается нормой в линейном пространстве 1, если она удовлетворяет следующим аксиомам: 1) 1(х) = !(х!! =О тогда и только тогда, когда х=О; 2) 1(ах) = (!ах!! = ! а ! !!х!! = ! а(1(х) для любого числа а; 3) 1(х~+хн) = !!к~+хе!!Я!х~!(+!!хх!! для любых х| и хе, при.

надлежащих Е. О п р е д е л е н и е 4, Линейное пространство Ь с введенной функцией 1(х) = (!х!! называется л и н е й н ы м н о р м и р он а и н ым про стра яством. Чтобы подчеркнуть, что пространство Е нормированное„ обозначают его обычно буквой Л~. Значение нормы на элементе х пространства У называется нормой вектора х или длиной или модулем этого, вектора. Норма вектора всегда неотрицательна и равна нулю только для нулевого вектора.

Действительно, полагая в аксиоме 3) х1= — хх с учетом 1) и 2), получаем, что О = !! О(! = !(х~ — х~ !(( ((хД+ !! — х1 !! = ((х| (!+ ! — 1 ! (! хД = 2!! хД„ т. е. г(х~) = !(хД~О. В любом нормированном пространстве может быть введена естественная метрика по правилу р(х, у) =!(х — у!!. Из аксиом, задающих норму, вытекает, что функция р(х, у) действительно задает расстояние в пространстве, т, е. удовлетворяет аксиомам расстояния.

Кроме того, поскольку М вЂ” линейное пространство, метрика р(х, у) инвариантна относительно сдвигов, т. е р (х~+х, хе+х) = !! (х~+х) — (хе+х) !! = !!х, — хД = р (хь х,), и положи тел ьно одно роди а, т. е. 667 Дополнение 2 р(ах, ау) =!!ах — ау!! ° ((а(х — у))! !а!!!х — у!!=!а!р(х, у). С появлением естественной метрики в нормированном пространстве могут быть введены все те понятия, которые мы рассматривали в метрических пространствах, например полнота и т. п, Следующее определение выделяет из всех нормированных пространств важнейший класс пространств, называемых банаховыми ".

Определение 5. Банаховым пространством называется полное линейное нормированное пространство. Приведем примеры банаховых пространств. П р и м е р ы. 1) Пространство Е' — действительная числовая ось с обычными арифметическими операциями, как мы знаем, является линейным пространством. Оно превращается в нормированное пространство, если норму числа х положить равной его абсолютной величине: !!х!! = !х!. Из свойств абсолютной величины вытекает, что выполнены все свойства нормы. Это нормированное пространство Е' является полным, т. е.

банаховым. Его полнота, т. е. полнота Е' как метрического пространства с обычным расстоянием между действительными числами (р(х, у) =!!х — у!1= !х — у!), была установлена в гл. 3. 2) Линейное пространство Е", рассмотренное нами выше, также является нормированным пространством, если норму вектора х= (хь хь ...,х ) ввести по правилу л !!х!!=(хх+хзе+... +»л)пи=(~ хз)пз. Аксиомы 1) и 2) нормы, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника превращается в неравенство л л !! +у(!=( !» +уз!')'"<(~(! !+ !у !)')" < л л ~< д~~ !хз!')пз +д, !уз(з) ~~ = !!х!!+ !!у!!, 1=! з-1 которое является частным случаем (при р=2) неравенства Минковского для сумм (см.

и 5 гл. 9). Это пространство Е" является полным, так как сходимость хл к х в Е" означает, что все координаты ха' вектора хл сходятся к соответствующим координатам вектора х. Осталось применить утверждение примера 1). л Стефан Бан໠— известный польский математик (1892 — 1948). Гл. 12. Функции нескольких переменных 3) Пространство С[а, Ь[ непрерывных функций с обычнымн операциями сложения функций и умножения функций на число, как мы уже говорили выше, является линейным пространством. Оно превращается в нормированное пространство, если положить [][[[= [пах ]1(х)[,где [(х) — непрерывная на сегменхе [аь) те [а, ([[ функция.

Используя свойства абсолютной величины и функции гпах, легко убедиться, что все аксиомы нормы здесь выполнены *. 4) Пространство ят-ограниченных последовательностей также можно сделать нормированным, положив ][х[[=пир [хь[ для х= (хь хь ...). Аксиомы нормы здесь также проверяются без труда. Можно убедиться также, что оно является полным нормированным пространством, т. е.

банаховым пространством. 3. Операторы в линейных и нормированных пространствах. Пусть Е[ и Ет — два линейных пространства и А — отображение пространства Е~ в Еь т. е. А: Š— Еа. О п р е д е л е н и е 6. Отображение А: Е[ — Е, одного линейного пространства Е| в другое Ек называется л и н е й н ы м отображением или линейным оператором, если: а) А(х[+хт) =Ах[+Ахв для любых векторов х[ и х, пространства Е[, б) А(ах) =аАх для любого вектора х~Е[ и любого числа а. Отображение А:Е[ХЕвХ ...

Характеристики

Список файлов книги