ilin1 (947407), страница 115

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 115)

Л ем м а 1. Пусть Х вЂ” произвольное множество, Для каж- дой точки х определим некоторые подмноокгства Х„, называе- мые «окрестностями» точки х и удовлетворяющие условиям: а) каждая точка имеет хотя бы одну свою «окрестность» и принадлежит любой своей «окргстности»; б) пересечение двух «окрестностей» точки содержит некото- рую «окрестность» этой же точки; в) какова бы ни была «окрестность» г, точки хяХ и точка ус=2„, существует «окрестность» юк точки у такая, что Х„с:ю,; Тогда если отнести к системе (ю) всевозможные «окрестно- сти» ю' точек хеьХ, их всевозможные объединения и пустое множество, то будет задана топология на множестве Х и (Х, Е) — топологическое пространство, в котором система всех ' Если х фиксировано, то система (ь '1 называется он редел яющей системой окрестностей данкой точнн х.

Дополнение 2 561 «окрестностей» является определяюи(ей системой. Обратно, всякое топологическое пространство может быть получено таким способом, Доказательство. Проверим выполнение аксиом 1) — 2) топологического пространства. То, что все Х принадлежит (Х),. очевидно, Ы отнесено к (Х) по условию. Аксиома 1) выполнена. Для проверки аксиомы 2) надо убедиться лишь в том, что ХДХее: — (Х), если Х~~(Х), Хея(Х). Следовательно, надо установить, что Х~ПХ» может быть получено как объединение некоторых «окрестностей», т.

е. надо убедиться, что для любой точки х~ХДХе существует «окрестность» Х„с:Х~ПХь Но Х1 и Хе принадлежат (Х), поэтому имеются «окрестности» Х,'с:Х1 и Х„с: ~Х» — их пересечение содержит по условию б) некоторую. «окрестность» Х„ точки х, которая содержится, очевидно, в.

Х1 ПХ». Обратно, если задано топологическое пространство (Х, Х),. то в качестве «окрестности» точки х, удовлетворяющей условиям а) — в), можно взять произвольное множество из системы (Х), содержащее точку х. Используя эту лемму, приведем примеры еще двух хаусдорфовых топологических пространств. П р и и е р ы.

1) В качестве Х возьмем двумерную плоскость Е'. Окрестность любой точки хенХ получим, если из любого открытого. круга с центром в х удалим все отличные от самой точки х точки, лежащие на вертикальном диаметре этого круга. Полученное топологическое пространство является хаусдорфовым. 2) Рассмотрим в качестве Х отрезок [О, 1), окрестности всех точек, кроме точки О, определим обычным образом, а окрестностями точки 0 будем считать всевозможные полуинтервалы, 1 (О, а), а>0, из которых выкинуты точки —, где и — натуральное число. Это, как легко видеть, пример хаусдорфова топологического пространства.

Пусть (Х, Х) — топологическое пространство, а У вЂ” подмножество Х, Тогда на подмножестве Л' можно рассмотреть след. системы (Х), т. е. множества вида (Хт)=(УПХ ), Х ен(Х), Легко видеть, что тем самым на У задана топология, поэтому У само превращается в топологическое пространство и (У, Хт) называется и о д п р о с т р а н с т в о м пространства (Х, Х). Тополо,гия, задаваемая системой (Хт) =(УПХ,), Х„ен(Х) называется: нндуцированной топологией.

Так же, как и в случае метрических пространств, пространство (Х, Х) называется с в я з н ы м, если его нельзя представить в виде суммы двух непустых открытых непересекающихся Гл. 12. Функции нескольких переменных подмножеств. Множество у в топологическом пространстве (Х, л,) связно, если У связно, как подпространство в (Х, Х). 2. Замечание о топологических пространствах. После того как введены открытые множества для топологических пространств, можно ввести все понятия, введенные для метрических пространств. Так, дословно сохраняются определения предельной точки множества (см.

определение 4 раздела о метрических пространствах), определение внутренней точки " (см. определение 5 раздела о метрических пространствах), определение замкнутого множества (см. определение 6 раздела о метрических пространствах), определение замыкания множества (см. определение 7 раздела о метрических пространствах), определение плотного и всюду плотного множества (см. определение 10 раздела о метрических пространствах), полностью сохраняется определение понятия нигде не плотного, совершенного множества, данные для метрических пространств.

Точно так же, как и в случае метрических пространств, в случае топологических пространств определяется важное понятие непрерывного отображения (определение 12 раздела о метрических пространствах), понятие гомеоморфного отображения (определение 14 раздела о метрических пространствах), определение компактного топологического пространства, или компакта (см. определение 15 раздела о метрических пространствах).

'1ак же, как и для метрических пространств, для топологических пространств вводится понятие центрированной системы (определение 16 раздела о метрических пространствах), определение базы топологии топологического пространства, топологического пространства со счетной базой. Топологические пространства со счетной базой называются топологическими пространствами совторой аксиомой счетности.

Читатель без труда сформулирует эти определения для случая топологических пространств, для этого в соответствующих определениях раздела о метрических пространствах выражение «метрическое пространство» следует заменить на выражение «топологическое пространство». Согласно этим определениям в случае топологического пространства остаются справедливыми основные утверждения, доказанные для метрических пространств. Это вполне естественно, поскольку доказательства этих утверждений в основном используют понятие открытого и замкнутого множества и непосредственно не зависят от введенной там метрики. Так, лемма 1, утверждающая, что объединение произвольного числа открытых множеств и пересечения конечного их чис- ' Совокупность всех внутренних точек множества У называется внутренноо стью множества У н обозначается через У. Внутренность У, очевидно„есть объединение всех открытых множеств, принадлежапгих У.

Дополнение 2 ббз. ла является множеством открытым, есть соответствующая аксиома топологического пространства; утверждение леммы 2, в. том числе и доказательства свойств операции замыкания, полностью сохраняется. На топологические пространства переносится также и понятие сходящейся последовательности (определение 11 раздела. о метрических пространствах), а именно; последовательность- (а„) точек топологического пространства называется сходящейся к точке а этого пространства, если любая окрестность точки а содержит все точки последовательности (а„) за, исключением конечного числа. Если последовательность (а„). сходится к точке а, то пишут, что а„-+а при и-+-оо или Пгп а„= а.

е-~с Однако в топологических пространствах это понятие не играет столь большой роли, как в метрических пространствах. В самом деле, лемма 3 утверждала, что в метрическом пространстве точка а принадлежит замыканию А некоторого множества А тогда и только тогда, когда существует последовательность (а„) точек множества А, сходящаяся к а. В топологическом пространстве этот факт может быть несправедлив.

(Вспомним, что при доказательстве этого утверждения в метрических пространствах мы строили последовательность шаров. 1 О(а, — ), вложенных друг в друга для любого натурально-- го и.) Можно выделить класс топологических пространств, обладающих аналогичным свойством. Назовем топологическое пространство пространством с п е р в о й а к с и о м о й с ч е т н о с т и, если для любой его точки а существует счетная система ее окрестностей (Х,") такая, что для любого открытого множества л„содержащего точку а, найдется окрестность Х'ч, обладающая свойством: Е, "~ Х,.

Такая . система окрестностей называется с ч е т н о й о п р е д ел я ющей система й окрестностей точки а. В метрическом пространстве первая аксиома счетности, очевидно, выполнена. В топологическом пространстве (Х, Х) с п е р в ой а ко и омойй с чети о ст и справедливо утверждение: точка а~Х принадлежит замыканию А некоторого множества А тогда и только тогда, когда существует последовательность (а„) точек мно-- жества А, сходящаяся к а. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству соответствующего утверждения для случая метри- 1 ческих пространств. Последовательность шаров О (а, — ) следует заменить на последовательность окрестностей из систе- Гл.

!2. Функции нескольких переиенных мы (Х,"), причем всегда можно считать, что г„иьсс:г„". В противном случае Х," надо заменить на П Хе, ь=! Утверждение на с. 544 полностью сохраняется. Сохраняется также и утверждение леммы 4 — критерий непрерывности отображения. На случай топологическнх пространств полностью переносится критерий компактности в терминах центрированной системы замкнутых подмножеств (лемма 5), утверждения лемм б, 7, 8, 9 о свойствах компакта и непрерывных функций на нем.

Заметим, что топологическое пространство может не быть пространством со счетной базой топологии даже тогда, когда оно является пространством с первой аксиомой счетности и в нем имеется счетное всюду плотное множество. Однако если в топологическом пространстве есть счетная база топологии, то топологическое пространство сепарабельно и удовлетворяет первой аксиоме счетностн (ср. с леммой 11). Точно так же, как и в случае метрических пространств (см.

определение 18), топологическое пространство называется пространством со второй аксиомой счетности, если в нем существует хотя бы одна база топологии, состоящая не более чем из счетного числа множеств. Линейньсе нормированные пространства, линейные операторы Понятие линейного пространства играет фундаментальную роль в анализе. Линейное пространство и линейные операторы в таких пространствах играют также важную роль во многих других разделах математики. 1. Определение линейного пространства.

Характеристики

Список файлов книги