ilin1 (947407), страница 113

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 113)

е. точка не является предельной для замкнутого множества. Иными словами, Х содержит все свои предельные * Это утверждение остается справедливым, а доказательство полностью сохраняется и для топ ологических пространств, которые будут рассмотрены в сзедукяпем разделе. Заметим также, что предельная тачка множества Л может оказаться злементом множества А. Гл. 12. Функции нескольких переменных точки; так как А~Х, то Х содержит и все предельные точки множества А.

Таким образом, замыкание А содержит точкимнсь жества А- и точки, предельные для А. Обратно, пусть хенХ, покажем, что тогда либо х — предельная для А, либо хеиА. Действительно, если хенХ и хенА, то все доказано. Если же хенХ, но х~А, то х — предельная для А. В самом деле, допустим противное, тогда существует окрестность точки х — Х„, свободная от точек множества А. Ее дополнение — замкнутое множество, содержащее А н не содержащее х, т. е. точка х~Х, что невозможно. 5) В метрическом пространстве (Х, р) можно построить открытый шар 0(х, т) =(у: р(х, у) <т) и замкнутый шар К(х, т) =(у:р(х, у)(т) с общим центром и равными радиусами такие, что б(х, т)ФК(х, т). Действительно, пусть Х вЂ” множество, состоящее более чем из одной точки, и пусть ~ 1, если х~у, ( О, если х=у, тогда К(х, 1) =Х, 0(х, 1) =х, д(х, 1) =ЯК(х, 1).

Свойства метрических пространств В предыдущем разделе были изложены основные свойства метрических пространств, базирующиеся на понятии открытого и замкнутого множеств. Следует подчеркнуть, что фактически все утверждения предыдущего раздела используют только свойства открытых множеств — то, что сумма любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть множествооткрытое, все пространство и пустое множество открыты, и не используют такие понятия, как шар, расстояние. Все это наводит на мысль, что можно строить пространства, в которых открытые (замкнутые) множества определяются аксиоматически с сохранением свойств, сформулированных в лемме 1. Тогда надобность в определениях 1 и 2 отпадает, а утверждение леммы 1 станет аксиомой.

Именно так мы и поступим в следующем разделе, когда будем изучать топологические пространства. Ясно, что при этом будет достигнуто полное единообразие в изучении основных свойств метрических и тояологических пространств. Такой подход к изучению свойств метрических пространств (формулировки и доказательства, использующие только свойства открытых (замкнутых) множеств) обладает, конечно, рядом преимуществ — например, допускает обобщения на классы более общих пространств. Вместе с тем, поскольку в структуру метрического пространства введена функция расстояния, эти пространства должны обладать и своими, присущими' только Дояоляеяяе 2 нм свойствами.

Более того, чаще всего именно эти свойства н изучаются при рассмотрении метрических пространств. В настоящем разделе мы и изложим эти фундаментальные свойства метрических пространств. Все они используют понятие полноты пространства. О п р е дел е ни е 1. Последовательность (х„) элементов метрического пространства 1'Х, р) называется фундаментальнойой, если для любого числа е>0 существует такое натуральное число Л/, что для любых п, т>й/ выполняется неравенство р(х, х, ) <в.

Определение 2. Метрическое пространство (Х, р) называется полн ым, если в нем всякая фундаментальная последовительносгь сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом этого пространства. Заметим, что, как мы уже говорили, если последовательность (х„) сходится к элементу х, то р(х, х )- 0 при и- Т е о р е м а (и р и н ц и п в л о ж е н и ы х ш а р о в). Для того чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение. Доказательство. Необходимость.

Пусть (Х, р) — полное метрическое пространство, а К~ (хц г~) ~Кв(хь гт) ~.-— вложенные друг в друга замкнутые шары. Последовательность их центров фундаментальна, так как р(х„, х )<г„, т>п, а г„— ь0, п-ьоо. Поскольку пространство Х полное„ то существует элемент х пространства Х такой, что х = 1пп х,. Очевидно, что хан П К„.

и о пчп Действительно, х — предельная точка для каждого К„(см. определение 4 п. 1) ввиду того, что при т>п х аК сК„, а так как ʄ— замкнутое множество, то хыК (см. пример 4 с. 549). Достаточность. Пусть выполнены условия теоремы относительно шаров. Докажем, что пространство Х полное. Мы должны показать, что если (х„) — фундаментальная последовательность, то она имеет предел х~Х. Выберем точку ха, такую, что р(х„,х„,) < 1/2, и >пт. Примем х,, за центр замкнутого шара радиуса 1, который обозначим через К(хео1). Выберем, далее„точку х„, из последовательности (х„), удовлетворяющую следующим условиям: р (х.е х„,) < 1/2' для любого п>пь пя>пь Примем точку х„, за центр шара К(хло 1/2) радиуса 1/2.

Пусть х „х,„...,х„» (п,<пь ... <пь) уже выбраны, * Ояевидяо, что любая сходящаяся последовательность является фувдамевтальяой, Гл. 12. Функции нескольких переменных тогда х,„, выберем так, чтобы выполнялись условия. Р(х,х,»+,) < 1/2+к длЯ любого п>п»+г, п»+г>п». Как и выше, примем х„„, за центр замкнутого шара К(х,»+,, 1/2') ра. диуса 1/2» и т.

д. Мы получили-последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю. По предположению существует точка х, общая для всех шаров. Ясно, что р(х„„,х)«.О«п» вЂ” ео, т. е. фундаментальная последовательность (хе) содержит последовательность (х„), сходящуюся к некоторой точке х пространства. Тогда и сама последовательность сходится к этому же пределу. Действительно, применяя свойство треугольника для функции расстояния (см.

определение 1 и. 1), имеем Р (Хе, х) ~( 1«(хег, х) + 1«(Хе,хе )-«О, и», и-~ ео. Таким образом, 1ггпх„=-хеиХ. Теорема доказана. е *« 3 а меч а н ие. В условиях теоремы все условия являются существенными: полнота пространства, замкнутость шаров, условие того, что они вложены, стремление их радиусов к нулю. Наименее очевидным является необходимость последнего условия. Вот пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров, имеющих пустое пересечение.

Пусть Х=(/у, р), где /г/ — множество натуральных чисел, а 11+ —, если и ча т, 1 р(т,п) = ьг+е О, если п=т. Пусть К (гг,1+ — ) = (т:р(т,п) <1 + 1/2п), и = 1,2, ! 2п 1 Тогда очевидно, что К ~я,1 + — ) замкнуты и вложены друг 2» / в друга, а пространство полно, поскольку каждая фундаментальная последовательность сходится в пространстве (она является, как говорят, «стационарной»). Однако пересечение указанных шаров, очевидно, пусто.

О и р е д е л е н и е 3. Множество М, расположенное в метрическом пространстве Х, называется множеством первой кат е г о р и и, если его можно ггредставить в виде объединения счетного числа нигде не плотных в Х множеств. Все остальные множества называются множествами второй категории. Теорема (теорема о категориях). Пусть (Х, р)— непустое полное лгетрическое пространство, тогда Х вЂ” множест- Дополнение 2 553 во второй категории, т. е.

Х нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств. Доказательство. Предположим противное, что Х=- =1) А„и каждое из множеств А„, п=1, 2, ..., нигде не плота=! но в Х. Пусть Ко — некоторый замкнутый шар радиуса единица, Поскольку множество А1 нигде не плотно, то существует замкнутый шар К~ радиуса меньше 1/2 такой, что К,с:.Ко и К1()А~ =Я.

Поскольку множество Аа нигде не плотно, то точно так же существует замкнутый шар К, радиуса меньше 1/2а„ принадлежащий Кь для которого Ка()Аа=И и т. д. В результате мы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров (Кп) ь радиусы которых стремятся к нулю. По предыдущей теореме существует х~К„для любого и, хыХ. Так как по построению К ПА =И, то хыА„для лю- О бого и. Следовательно, хин Д А„= Х Это противоречит преда=1 О положению: Х = () А„.

Теорема доказана. н=1 Определение 4. Отображение д' метрического пространства Х в это же пространство называется сжимающим, если существует такое число 0<а<1, что р(д(х), д(у))<ар(х, у).' Теорема (принцип сжимающих отображен и й. Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства (Х, р) в зто же пространство имеет и при том толысо одну неподвижную точку хенХ, т. е. такую точку х~Х, что у(х) =х. Доказательство. Пусть хо — некоторая точка из Х.

Определим последовательность (хп) =1 по правилу: х1=к(хо), ха = к ( х!), .... Последовательность (х„) фундаментальна в Х. Действительно, если т)п, то р(хпо х ) =р(й(х 1), д(х 1))~(ар(хи-ь х 1)< ~...а"р(ха, х )~а (р(ха, х,)+р(хь х,)+ + ...+р(х „ь х ))<апр(ха, х1)(1+а+ ... +а " ')< <а"р(хо, х1) (1 — а) где а<1. * Отсюда следует, что сжимаюпаее отображение е непрерывно, т. е.

(оп е(у)=-у(л). е а Гл. !2. Функции нескольких переменных Таким образом, р(х„, х )-е-О, пь, и-е-оо. В силу полноты пространства Х существует Вш х,. Пусть х = 1пп х„. Тогда л м л-~. в силу непрерывности отображения й имеем у (х) = !нп д(х„) = 1!ш х„+, = х, Итак, неподвижная точка существует. Докажем ее единствен- ность. Если д(х) =х н д(у) =у, то р(х, у)<ар(х, у), т. е, р(х, у) =0 и х=у. 3 а меч а н ие.

Если отображение у метрического простран- ства Х в себя обладает лишь тем свойством, что р(у(х), д'(у)) <р(х, у) при хчьу, то неподвижной точки может и не быть. Вот соответствующий пример: пусть Х=(Р, р), где Р= = [1, оо), а р — обычная евклидова метрика. Пусть к(х) = 1 ! 1 ! =х 1- —. Тогда р(д(х),д(у)) = [х+ — — у — — [[([х — у! ° к х е Однако неподвижной точки нет: д(х) = х+ — ~ х ни для 1 какого х~Х, Определение б.

Будем говорить, что два отображения у и д, метрического пространства (Х, р) в это же пространство комм у тир уют, если для любого х~Х справедливо равен- ство я(К! (х) ) =я! (К(х) ). Теорема (обобщение принципа сжатых отображений). Пусть у! и пе — отображения полного мет- рического пространства (Х, р) е это же пространство, Тогда, если отображение у! сжимающее и отображения у и й! комму- тируют, то уравнение у(х) =х имеет решение х~Х. Доказательство.

Характеристики

Список файлов книги