ilin1 (947407), страница 117
Текст из файла (страница 117)
ХЕ„-«Е прямого произведения линейных пространств Е[, Еь ..., Е„"* в линейное пространство Е называется п о л и л н н е й н ы м„если линейно каждое отображение Ас:Е,— Е, 1=1, 2,...,п, получаемое из А(х, у,...,г) фиксированием всех переменных, кроме переменной, стоящей на (-м месте. Здесь хепЕ[, ус=Ем ... ..., ген Е„. Если задано линейное отображение А: Е[-«Ет линейного пространства Е1 в линейное пространство Ет и пространство Ея является действительной числовой осью (или комплексной плоскостью), то оператор А называют ф ун к ц ион а л о м.
Рассмотрим некоторые примеры. П р и м е р ы. 1) Пусть Š— произвольное линейное пространство. Оператор Е ставит в соответствие каждому элементу хеи еиЕ тот же элемент х этого же пространства, т. е. Е: Е-ьЕ и Ех=х для любого хеиЕ. Такой оператор называется ед и н н чн ы м или единицей. «Можно убедиться, что вто пространство является и полным, т. е. банаковым. *» Линейные операции в ь»ХЕЬХ...ХЕ„определены равенствами [хь ..» х»]+[ус -., у ]=[х~+уо ..., х +у ], о[хо ..., х ] =[ах1, ..., пх«], где [хь ..., х ], [уь -; у ]~мЕ|Х...ХЕ, хо у,адьо [=1, 2, ..., и; а — число.
Дополнение 2 2) В трехмерном пространстве Еп зададим оператор А как линейное преобразование, состоящее в проектировании каждого вектора на ось Ох (т. е. каждому вектору в соответствие ставится его координата на оси Ох). Оператор можно задать матрицей. Например, в базисе из единичных векторов еп ем ез, направленных по осям координат Ох, Оу, Оз соответственно, указанный оператор А можно задать так: /! О О~ /х,'~ Ах = ~0 О О~ ~х ), х=.(х, х, хп) е= Е'.
~" Л,;) 3) В пространстве С(а, Ь] линейный оператор А задан по ь правилу: А)= '] 1(х)е(х. Оператор А отображает С]а, Ь] в числ ловую ось и является функционалом. 4) Модуль непрерывности а(Г, 6) (см. гл. 4) и дельта- функция б(х — а), т. е. оператор б(х — а), действующий по правилу 6(х — а) Ц(х)] =((а), также являются функционалами на С(а, Ь]. 4. Пространство операторов. Пусть Е, и (., — два линейных пространства. Рассмотрим совокупность (А) всех линейных операторов, отображающих (.~ в ).ь В множестве (А), элементами которого являются линейные операторы, отображающие ).1 в ).м можно ввести алгебраические операции.
Пусть А| и Аэ — такие операторы. Определим сложение этих операторов посредством равенства (А1+Ап) х=А~х+Апх„х~1,« Умножение линейного оператора на число определим формулой ( аА ) х = аА х. Очевидно, что при таких определениях все необходимые аксиомы, задающие линейное пространство, будут выполнены и рассматриваемое множество (А) линейных операторов будет линейным пространством.
Нулем этого пространства будет нулевой оператор О, т. е. оператор, переводящий любой вектор х в нулевой вектор: Ох=О. Пространство линейных операторов, которое мы ввели выше, обычно обозначается так: ((.,-« — «(.и). Если пространства А, и Лм кроме того, обладают некоторой топологией, например нормированы, то и пространство операторов (ь1- (.и) будет обладать определенной топологией. 5. Норма оператора. Пусть ЬГ, н № — два линейных нормированных пространства и оператор А отображает № в Жь ото Гл.
12. Функции нескольких переменных Определение 7. Линейный оператор А:№-ь№, отобран жающий линейное нормированное пространство № в линейное нормированное пространство Жь называется о г р а н и ч е ни ы м, если существует такая постоянная М, что 1~Ах11х <М1!х11х1 дли всех хинам Индекс внизУ символа ноРмы означает то пространство, в котором вычисляется норма вектора. Если это не будет вызывать недоразумений, эти индексы мы будем опускать. Справедливо следующее утверждение. Теорема. Для того чтобы линейный оператор А:№-ь№, отображающий линейное нормированное пространство № в №, был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобьг он был ограничен. (Заметим, что непрерывность оператора понимается как непрерывность соответствующего отображения.) Доказательство.
Пусть А — непрерывный оператор. Если бы он был неограничен, то нашлась бы последовательность элементов (х ) такая, что 11Ах„!1 >п11х„!1 Пусть у„= —. Тогда у„-~О, так как 11у„11= — — Опрн х„ 1 п11хнЦ и и-~ос. С другой стороны, — и 11 п1!хн~~ Заметим, что (в силу линейности оператора А) А 0=0; действительно, А О=А(х — х) =Ах — Ах=О. Итак, Ау„не стремится к А 0=0, т.
е. оператор А не является непрерывным в нулевой точке, что противоречит условию теоремы. Обратно, если А ограничен, то !!Ах~~~М!!х11. Пусть х„-~-х, т. е. !!х„— х!1-ьО при и- оо. Тогда !!Ах„— Ах!1=!1А(х„— х)1~~ (М11х„— х~1-+О при и-~-оо. Следовательно, Ах„-эАх и оператор А непрерывен в точке х. Определение 8. Пусть А — линейный ограниченный оператор. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию !!Ах1! ~МЫ, называется нормой оператора А и обозначается символом !!А 11.
Таким образом„согласно определению 8 норма оператора обладает следующими свойствами: а) для любого х~№ справедливо неравенство 1!Ах1!<!!АИх~!; Дополнение 2 571 б) для любого числа е>0 найдется такой элемент х„что ЦАхД > (ЦА Ц вЂ” е) - ЦхД. Покажем, что ЦАЦ = зпр ЦАхЦ и !и, что то же самое, ич! ЦАЦ=зпр —, Действнтельно, если ЦхЦ~1, то ЦАхЦ~ !! Ал !! Ил~чин !!х!! <!!АЦ ЦхЦ<ЦАЦ.
Значит, н енр ЦАхЦ<ЦАЦ. С другой стороны, ич!к! для любого е>0 существует элемент х, такой, что ЦАхД) (ЦАЦ вЂ” е) ЦхД. !!Ал !! Пусть $е= — '. Тогда ЦАЦеЦ= ' > — (ЦАЦ вЂ” е) Цх,Ц= и!хе!! ' !! !! !!л !! =ЦАЦ вЂ” е. Так как ф,=1, то зпр ЦАхЦ>ЦАЯ,Ц>ЦАЦ вЂ” е.
и*ию Следовательно, зпр ЦАхЦ>ЦАЦ, н потому ЦАЦ.= зпр ЦАхЦ. Шит! ил!!ч! Замечание. Из проведенных рассуждений следует, что ЦАЦ= энр ЦАхЦ. И=! Выше (см. и. 4) нами было введено пространство (1!-~1и) операторов, отображающих лннейное пространство Ь! в линейное пространство 1.и. Это пространство играет важную роль в различных разделах анализа, н мы сейчас продолжим его нзу.
ченне. Предположим теперь, что указанные выше линейные прост. ранства Ь! н 1.и являются нормированными. Переобозначнм нх через Лт! н 1ие соответственно, а соответствующее линейное пространство, элементами которого являются линейные ограннченные операторы, через ()и!!-+Ли). В пространстве (Уи-+ч)!и) можно ввести норму. Для этого норму элемента А пространства (йи-+-Уи) введем по правилу: ЦАЦ= инр ЦАхЦ. Легко видеть, !из= ! что эта норма удовлетворяет аксиомам определения нормы. Таким образом, линейное пространство (Л'! — !-)(1,), элементами которого являются линейные ограниченные операторы, есть лннейное нормированное пространство. Возникает естественный вопрос: когда это пространство является полным, т.
е, банаховым? Ответ на этот вопрос содержится в доказываемой ниже теореме. Т е о р е м а. Если линейное нормированное пространство Л!и=В! банахово, то пространство (М! -Ви) линейных ограниченньих операторов также является банаховым. В72 Гл. 12. Функции несколькик переменных Доказательство. Пусть (А ) — фундаментальная последовательность пространства операторов ()Ч1-ФВв), т. е. !!Ал — А !1- О, когда и, т — Ф о. Для любого х получим, что !!А„х — А х!1.«.:1,'˄— А !)!!х!! 0 при и, т- со.
Следовательно, если х~Н~ фиксировано, то последовательность элементов (А„х) фундаментальна в Вь т. е. в силу полноты Вг эта последовательность сходится. Обозначим у =1пп А„х. Мы получи- Л-Ф лн, таким образом, отображение Н~ в Вь Оператор, осуществляющий это отображение, обозначим через А. Из свойств предела следует, что он линеен. Докажем его ограниченность. Из того, что !!А„--Л !1-ьо при и, т-+-со, следует, что !!!А„!!— — !!А !!! -0 при и, т- со, т.
е. числовая последовательность (!!А„!!) фундаментальна в Е', а следовательно, и ограничена. Существует такая постоянная М, что !!А„!! кМ для любого натурального и. Отсюда получаем, что !!А„х!1~!!А )!!!х!! (М!!х!1, т. е. в силу того, что функция, определяющая норму (расстояние), непрерывна, имеем !!Ах)! =11ш !!А„х!! < М )!х)!. Итак, оператор А — ограничен. Оператор А был нами определен как оператор, отображающий У1 в Вв по указанному выше правилу. Покажем, что А является пределом последовательности (А„) в смысле сходимости по норме в пространстве (Н1 — ФВ,).
Зададим произвольное е>О и выберем пе так, что !!Ал+рх — А„х!!(г для пъ и, и любого х такого, что !!х!! ~ ~1, Пусть р-+.со. Тогда !!Ах — А„х!1~е для и. пь н всех х с нормой, не превосходящей единицы. Поэтому для п.л-пс получим !!А„— А!!ФФ зпр !!(А„— А)х!!< к. Следовательно, А= ИшЛл Н 1<1 Л Ф в смысле сходимостн по норме в пространстве (У1-+-Ве), т. е.
это пространство банахово, что и требовалось доказать. 6. Понятие гильбертова * пространства. Определение 9. Гильбертовым пространством называется множество Н элементов 7", я, й, ..., обладающее следующими свойствами: 1) Н представляет собой линейное пространство, т. е. в Н определены действия сложения и умножения на действительные или комплексные числа (в зависимости от этого Н навьи вается д е й с т в и т ел ь н ы м и л и к о м и л е к с и ы м пространством) . 2) Н является метрическим пространством, причем метрика вводится с помощью скалярного произведения, т. е. числовой функции (7, д) от пары аргументов ) и д, называемой их скал я р н ы м и р о и з в е д е н и ем и удовлетворяющей аксиомам: " Давид Гильаерт — немецкий математик (1В62 — 1243).
Локолненне 2 57з а) (а(, К) =а(), д) для любого числа и; б) ((+к, й) =- (), й) + ф, Ь); в) (1 к)=(о 7) г) ((, () >О при )ФО; Ц, ~) =0 при )=О. Норма 11)11 элемента ) определяется равенством 1$1 = = (), 7)'", а расстояние между элементами )' и у полагается равным р(Р в) =11) — к 11. 3) Н является полным пространством, как метрическое пространство с введенным выше расстоянием. (Конечномер- ное пространство всегда полно.) Возьмем произвольные элементы 7, д~Н, пусть Х вЂ” дей- ствительное число.
Тогда 0~(й'+л(~, д)я, )+Х(), д)я) =()) )") +211()", я) 1з+ +хз1К а)1з(а. у) и, следовательно, такой многочлен относительно Х не может иметь различных действительных корней. Отсюда вытекает, что 1У а)1' — (Р. 01() й)1'(а а) ~О. Таким образом (даже в случае (7, д) =0), 1(7, «)1'~(), ()(д, д) или 1(), я)1<)Щ111д11, Мы получилн неравенство Коши — Буняковского. Знак равенства в нем, помимо тривиального случая (=О нли я=О, достигается только тогда, когда )= — л(7, я) о при неко- тором значении Х, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
