ilin1 (947407), страница 121
Текст из файла (страница 121)
В частности. если Ьь,=Р, где Р -- числовая прямая или комплексная плоскость, то отображение Г принимает числовые значения на Ььь и называется функционалом. При этом производная функционала Г в точке хо есть линейный функционал, зависящий от хо. Для примера найдем главную линейную часть приращения функционала Г(х) =11х11о, заданного в действительном гильбсртовом пространстве Н. Имеем Р(х+Ь) — Г(х) =11х+Ь11о — 11х11о= (х+Ь, х+Ь) — (х, х)= = (х, х) +2(х, Уь) — (х, х) + (Ь, Ь) =2(х, Ь) + (Ь, Ь). Можно убедиться, что Р'(х) =2х.
(Для этого следует заметить, что всякий функционал в Н имеет вид скалярного произведения.) 5. Интеграл от абстрактных функций. В этом пункте будет изложен материал, являющийся, с одной стороны, .дополнением к изложенному в гл. 9 материалу об определенном интеграле, а с другой стороны, являющийся необходимым в теории дифференцирования в банаховых пространствах. Предположим, что отображение Г действует из банахова пространства В, в другое банахово пространство Вь причем пространство Вь есть числовая ось Е'. Таким образом, Г:Е'- в. Отображение Г, сопоставлнюьцее числу х элемент банахова пространства Вь назовем абстрактной функцией на числовой оси. Производная Г'(х) абстрактной функции при условии, что она суьцествует, представляет собой при каждом х элемент пространства В, — касательный вектор к кривой Р(х).
(ьля абстрактной функции, представляющей собой функцию числового аргумента х, очевидно, слабая дифферен- 588 Гл. 12. Функции нескольких переменных цируемость совпадает с сильной. В этом случае, используя соотношение ))Р(к+1Ь)' — Р(х) — Р,'(х) Ь1)) =о() () ), Ь~О, 1 — «О, вытекающее из слабой дифференцируемости, и полагая в нем 1Ь=Ь1, получим, что ))Р (х+ Ьх) — Р (х) — Р; (х) Ьх)) = о ~ — *' ~1 = о ( ) Ьх ) ), где число 111-«О, т. е.
Р(х) сильно дифференцируемо и сильная производная совпадает со слабой. Построим интеграл от абстрактной функции Р(х), определенной на сегменте (а, Ь). Пусть (хь) — разбиение сегмента (а, Ь). Введем интегральную сумму л а = ~ Р Я,) Лх„, йе ен (хе х„хе). Е=-1 Пусть й= п1ах Лхе — диаметр разбиения.
1Кь~л Абстрактную функцию Р(х) назовем интегрируемой на сегменте (а, Ь), если для этой функции на указанном сег. менте существует предел 1 ее интегральных сумм при стремлении диаметра д разбиений (хл) к нулю, причем этот предел берется по норме пространства В,. Таким образом, абстрактнаи функция Р(х) интегрируема, если и В1ш'~')~ Р(~ )Лхе — 1)~ =О. е=! Предел 1 называется ин тегралом от абстрактной функции по сегменту (и, Ь) и обозначается символом Очевидно, что 1 является элементом Вгь поскольку о являетси элементом В. и пространство В, полное, т.
е. и предел о при й- О принадлежит Вь Следует отметить, что построение теории интеграла от абстрактной функции мало чем отличается от построения теории интеграла от числовой функции. Подчеркнем, что интеграл от, абстрактной функции не является уже числом, как обычный интеграл, поэтому, например, всюду в доказательствах модуль интеграла от числовой функции надо заменять на норму интеграла от абстрактной функции и т. п. Дополнение 3 Отметим следующие простые свойства интеграла от абстрактных функций.
Их доказательства аналогичны доказательствам, приведенным в гл. 9 при построении интеграла Римана 1. Интеграл от абстрактной непрерывной функции Р(х) существует, т. е. такая функция интегрируема. 2. Если С вЂ” линейное отображение пространства В, в банахово пространство Вз (предполагается, что С также и непрерывно), то ') СР(х) йх=С ~ Р(х) йх. 3, Справедливо неравенство ь ь $~ Р(х)дх'[» ) 1)Р(х)1)дх, где справа стоит обычный интеграл Римана ог числовой функции, 4. Если Р(х) имеет вид 1(х)уо, где )(х) — числовая функция, а уо — фиксированный элемент из Вж то ~ Р(х)дх=уз ) г(х)йх, где справа тагсже стоит интеграл Римана от функции Г(х) па" сегменту [а, Ь) . 6. Формула Ньютона — Лейбница для абстрактных функций В проведенных выше рассмотрениях через (№ — №) мы обозначали пространство всех линейных ограниченных (непрерывных) отображений из линейного нормированного пространства № в линейное нормированное пространство Уз.
Топологию' в. пространстве (№-+№) задает, например, норма в этом пространстве. Заметим, что для задания топологии (снстемы: окрестностей каждой точки) в линейном пространстве (№-~ -з-)(1З) дОСтатОЧНО Задатъ СИСтЕМу ОКрЕСтНОСтЕй НанаЛа КООрдинат, в силу линейности пространства тем самым будут заданьи окрестности каждой точки. Рассмотрим теперь линейное пространство (№-~№), всех. непрерывных ограниченных, быть может, нелинейных, отобрав жений пространства № в Гзз.
е Напомним, что для задания топологии на некотором множестве необходимо указать систему множеств, удовлетворяющих аксиомам 1, 2 (см. дополне-- ние 2, раздел топологических пространств). Множества„удовлетворяющие зтимг аксиомам, называются открытыми. Открытые множества метрического илн нор мнрованного пространства удовлетворяют упомянутым аксиомам. Гл. 12. Функции нескольких переменных Нелинейное отображение Р: М,-«М, называется о г р а н иченным, если для всякого ограниченного множества А~М« соответствующее множество Р(А) ограничено в Ме (множество в нормированном пространстве ограничено, если его можно поместить внутрь некоторого шара с центром в начале координат). Нелинейное непрерывное отображение не обязано быть ограниченным.
Очевидно, что пространство (М«-«Ме) является подпространством (М«- Ме)ь В линейном пространстве (М« — Ме)«зададим систему окрестностей нуля (для любого натурального и и произвольного е>0): Х„,е=(Р: зпр ]1Р(х)1]( а) 1Ц~е и тем самым зададим топологию в пространстве (У« — «Уе) ы Читателю предлагается проверить, что данной системой окрестностей в пространстве (М«-«Ме)«задана топология. На подпространстве (Мг — «Уо)с:(М«-«Ме)«эта топология совпадает с обычной топологией, задаваемой операторной нормой, Рассмотрим сегмент [х,, х,+Лх] в Уы Пусть задано непрерывное отображение Р(х) этого сегмента в пространство (М«- Уо)ь т.
е. каждой точке хан[хо, хо+Лх] сопоставлено некоторое отображение Р(х)ен(М« — «Ме)«, непрерывно зависящее от точки х~Уь Определим интеграл от Р(х) по сегм ен ту [хо, хо+ +Лх], по определению полагая х«+ох « Р(х) йх= — ~ Р(х,+1Лх) (Лх) йг. к, о Здесь оператор Р(х,+ Их) применяется к элементу Лх~М« При каждом ге=[0, 1] величина Р(х,+Их] (Лх) представляет собой элемент пространства Мо — образ элемента Лх при отображении Р(х,+Их). Согласно построениям п. 5 интеграл, стоящий в правой части формулы, существует и является элементом пространства Мь Используя эти замечания, докажем формулу Ньютона Лейбница для интеграла ог абстрактной функции.
Рассмотрим отображение Р, которое действует из У«в Мг и имеет на сегменте [хо, хо+Лх] сильную производную Р'(х), непрерывную по х. Напомним, что отображение Р(х):М,— Ме непрерывно в точке х~Мь если для любого шара с центром в точке Р(х), лежащего в Мь найдется такой шар с центром в точке х, лежащий в Уь образ которого при отображении Р(х) целиком содержится в указанном шаре с центром в точке Р(х). 59! йо нен Отображение Е(х) непрерывно на сегменте [х„хо+ Лх] (т. е. на множестве точек вида (хо+гЛх), где 0~1.<1), если оно непрерывно в любой внутренней точке сегмента (т. е. когда точка отвечает параметру 1 такому, что 0<1<1) и, кроме того, непРеРывно в точке х, спРава и в точке хо+Лх слева и.
Поскольку отображение Е (х) непрерывно на сегменте к,.!-ак [х„хо+Лх], го существует интеграл ~ Е'(х) йх. к, Докажем, что илсеет место равенство к.+лк Е (х) с(х Е(!"о+ !"х) Е(хо) «, которое и называется формулой Ньютона — Ле йбница для абстрактных функций. По определению интеграла можем записать «,ч-лк Е'(х) с[х=-] Е'(х,+(Лх)(Лх)Ж= и†! и — ! =1)па ~ ' Е' (х, + уа Лх) Лх(г,+! — (а) =1)щ'~' Е' (х ) (Лха), н.
о„ где х,=хо+1«Лхы Лха=(1«+! — 1а)Лх, й — диаметр разбиения сегмента [О, 1]. С другой стороны, легко заметить, что и — ! Е(х, + Лх) — Е (х ) = ) [Е (х, + (а+! Лх) — Е (х, + га Лх)] = х=о и — 1 = — ~ [Е(ха+!) — Е(ха)]. Рассмотрим разность Е(хх+!) — Е(ха) — Е'(ха)Лха и применим к ней формулу нз следствия к теореме п. 2 Лагранжа. При А= =Е'(ха) получим ) (Е (хх+!) — Е (х„) — Е' (ха) Лха((< < енр ])Е'(ха+ В„Лх„) — Е'(ха)Ц ЦЛха)(. очах<! * Говорят, что точка хев[ка хо+Ах] стремится к точке хо справа, если х~ы !ы(««+!ах) н г-иО+О.
Аналогично определяется стремление х к точке хо+ах слева. Отображение Е(х), определенное на сегменте [хм хо+Ах], непрерывно в точке хч справа, если предельное значение Е(х) прн стремлении х к точке ха справа равно Г(х!). Аналогично определяется непрерывность Е(х) в точке хо+Ах слева. 592 Гл. 12. Функции нескольких переменных Просуммируем эти неравенства по всем й от О до и — 1 и вместо !(Лх»(] поставим !!Лх]! ~1»+1 — !»]. Получим л-1 ~~ [Р(х»+!) — Р(х») — Р'(х») Лх»]!1~ «- »-1 л — ! < ]]Лх]]~ ' (1»+! — 1») зпр ])Р' (х»+ О»Лх») — Р' (х»)|!. о<о»«! Так как производная Р'(х) непрерывна на сегменте [хо, хо+ +Лх], то она является и равномерно непрерывной* на этом сегменте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
