ilin1 (947407), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Поэтому правая часть неравенства, написанного выше, стремится к нулю при неограниченном измельчении разбиения сегмента [хо, х„+Лх], откуда и вытекает, что л-1 Р(х + Лх) — Р(х,) =)' [Р(х»+1) — Р(х»)] = » о л — 1 л-! =1," [Р(х»+1) — Р(х,) — Р'(х») Лх»]+ ~) Р'(х») Лх»- ь=о к,+ах -« ~ Р' (х) с(х, кд если д-«О. Формула Ньютона — Лейбница доказана. 7. Производные второго порядка. Рассмотрим дифференциРУемое отобРажение Р:гт'1-«1!!т.
Мы Уже отмечали, что пРоизводная Р'(х! этого отображения при каждом фиксированном хенЛ11 есть элемент пространства (й(1-«А!з) — пространства линейных огРаниченных опеРатоРов на гч'1, ДействУющих в Уз. Допустим, что отображение Р'(х), в свою очередь, дифференцируемо. Производная отображения Р'(х) называется второй производна й отображения Р и обозначается сил!полол! Р".
При каждом фиксированном х отображение Р" (х) является„ очевидно, элементом пространства (У1-«(гт'1- лгт) ) — пространства линейных ограниченных операторов, действующих из Л11 в (Лг!«Лгт) . Элементы этого пространства допускают и другую интер.- претацию в виде так называемых билинейных отображений. * Абстрактная функция Г(х):йгг~-й!з называется равномерно непрер ы в н о й на множестве (х! =М<=й(г, если для всякого е>0 найдется такое б>0, что 1!Р(хг! — Р(хз)1!<з для любых х! и х» из множества М, если только йх! — «П<б.
Доказательство того факта, что непрерывная абстрактная функция на компакте в й!! является равномерно непрерывной, аналогично доказательству этого факта для числовых функций на компакте (см. гл. 4, $ 6, п. 3, теорему 4.16). Дополнение 3 593 Определение. Отображение В:(Л>-э-й>г), отображающее нормированное пространство Л>> в норлшрованное пространство Л>„назь>вается билинейным, если каждой упорядоченной паре элементов (х>, у>) *> из У> поставлен в соответствие элемент В(х>, у>) из Иг так, что выполнены следующие свойства: 1. Для любых х>, у>, хг, уг из Л> и любых чисел а и (1 имеют место равенства В (ах>+ 'рхг, у>) = аВ (хь у>) + рВ (хг у>), В(хь ау>+Руг) =аВ(х>, у>)+бВ(х>, уг).
2. Существует такое положительное число М, что (!В(х, у) й~МЫ»>у1 при всех х, у, из Ль Первое из этих условий означает, что билинейное отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов. Второе условие означает ограниченность билинейного отображения В.
Так же, как и в случае линейного отображения (см. дополнение 1), показывается, что ограниченное билинейное отображение является непрерывным уже по совокупности своих аргументов. Определение. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию /(В(х, у)1( аМ(>х((1(у((, называется нормой билинейного отображения В и обозначается символом Щ!. Точно так же, как и над линейными операциями (операто. рами) (см. дополнение 1), над билинейными операциями можно определить операцию ел о же н и я двух билинейных отображений, по определению положив (В>+Вг)(х, у)=В>(х, у)+ +В,(х, у), а также операцию умножения отображения В на число а: (аВ) (х, у) =аВ(х, у). Поскольку для билинейной операции В определена и его норма, то билинейные отображения пространства Ж> в пространство Л>г сами образуют л и не йное пространство.
Обозначим его (У>г-~Л>г) (здесь индекс 2 над символом У> означает, что из пространства У> берется два элемента (х, у), которые переводятся отображением В в один элемент пространства Л>г). Так же, как и в случае линейных отображений, показывается (см. дополнение 1), что если пространство >>)г банахово (полное), то и пространство (У>г-+Л>г) будет банаховым.
' Пара элементов х и у называется упорядоченной, если указано, каппа нз ее влементов явлиется первым. Если элемент х является первым элементом пары, а элемент у — вторым. то упорядоченную пару записывают так: (х, у). Гл. 12. Функции нескольких переменных 594 Докажем следующее У т в е р ж д е н и е. Между элементами пространства (М1-«(Мь-«Мг) ) и пространства (М,г — Мг) можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейньге операции (т. е.
если элементу А~ы(М1- (М1 — Мг)), отвечает элемент В~ен(М1г — Мг), а элементу Аг~(М~- (М~-«Мг)) отвечаег элемент Вге-:(М1г — Мг), то элементу аА1+(гАг отвечает элемент, аВ1+рВг, где а и р — любые числа). Действительно, каждому элементу А~(Мг-«(М~ — Мг)у поставим в соответствие элемент В из (М г — «Мг) по правилу В(х, у) = (Ах)у. Это соответствие, очевидно, линейно.
Покажем, что это соответствие сохраняет и нормы элементов ", т. е. покажем, что !!А!1=!!В!!. Отсюда, в частности и будет следовать взаимная однозначность соответствия. Действительно, если бы два различных элемента при изометричном соответствии переходили бы в один элемент, то их разность соответствовала бы нулевому элементу. Норма этой разности равнялась бы норме нулевого элемента, т. е. нулю.
Таким образом, элементы совпадали бы, что противоречит их выбору. Итак, докажем, что если элементу А~(Мг-«(М1-«Мг)) отвечает элемент Вы(М1г-.«Мг), то |!А!)=!)В(1, причем нормы элеггентов берутся в соответствующих пространствах. Пусть в = В (х, у) = (Ах) у. Тогда !!г(! «!!Ах!! (!у(! «!!А (! !!х!! !!у!(, !(В!! «!(А(! откуда С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то, при фиксированном хи=М, отображение у- (Ах)у=В(х, у) является линейным отображением пространства М, в Мг..
Таким образом, каждому хе-=М1 ставится в соответствие элемент Ах пространства (М1 †«Мг). Очевидно, что Ах линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства (М1 — «(М1-«Мг) ) При этом отображение В восстанавливается по А при помощи формулы В (х, ь) = (Ах) у. Далее, ((Ах!! =ьпр !!(Ах) у!! = ьир !)В(х, у)!)~()(В!! !(х!!.
~вг~п ~м!«1 * Соответствие между двумя упорядоченными пространствами, сохраняющее нормы отвечающих друг другу элементов, нагывается иго метр и ч н ы м. Поде черкнем, что нормы берутся в соответствующих пространствах. 59$з дополнение 3 Таким образом, ~!А(~.з; 1(В!!. Следовательно, из соотношений ~~В9 «9А9 и (1А9 ~9В)) получаем, что ~~А~~= ~(В~1 Нами, таким образом, доказано, что соответствие между пространствами (Л~г-+.(Л'1- Лз)) и (У1'- Фз) линейно и изометрично. При этом образ пространства (Лч- (Ж,-ь.Жз)) при таком соответствии есть все пространство (Ж1з-+.Лз). Утверждение доказано.
Из доказанного утверждения следует, что если берется какой-нибудь элемент пространства (Л,-+(У1 — ьЛт)), то всегда можно указать его образ в пространстве (Л'1з-ьЛз). Более того, норма элемента в исходном пространстве и норма его образа совпадают. Сохраняютсп также линейные операции при построенном соответствии в пространствах (Ф1 — (Л',— Лз)) и (УР-+Фт). Такие пространства можно не различать; называются они и з о м о р ф н ы м и. Эти пространства отличаются только тем, что их элементы имеют различную природу, а все остальные свойства пространств (М,— (Ф1-+. -+.Мз)) и (Л', -э.Мз) одинаковы.
В частности, мы выяснили, что вторая производная Г" (х) отображения Р: Ф~-ьУт является элементом пространства (У,— (Л1 — «Лз)). В соответствии с только что сказанным мы можем считать Р" (х) элементом пространства (Л'1з-+-Л'з). 8. Отображение тп-мерного евклидова пространства в и-мерное. Важным частным случаем введенных выше отображений является случай отображения Р(х) т-мерного евклидова пространства в и-мерное.
Напомним, что в евклидовом пространстве Л~=Е'" норма элемента Ь=(Ьь Ьт, ..., Ь ) записывается в ниде (,Ь(( Д-~ Ьт~ 372 а в пространстве Мз=Ев норма элемента* Г(х) =- = (Р1(х), Рт(х), ..., Р„(х)) записывается в виде ' Мы, естественно, подразумеваем, что в пространствах Е и Еь выбраньо базисы, поэтому отображение Р(х):Š— «Е" можно рассматривать в координатной форма Конкретная реализация элементов пространств Е, Е" может быть. любой. 696 Гл. 12. Функции нескольких переменных где х — фиксированная точка из Е'"; Р1(х), Рз(х), ..., Р„(х)— координаты вектора Р(х).
В случае отображения Р(х) = (Р1(х), Рз(х), ..., Р„(х)), х= = (хь хь ..., х ) т-мерного евклидова пространства Е~ в и-мерное евклидово пространство Е' естественно считать это отображение или, что то же, эту вектор-функцию Р(х) * дифференцируемой в точке х~Ем, если каждая компонента Р1(хь хи ..., х, ), Рз(хь хз, ..., х ), ..., Р (хь хз, ..., х ) дифференцируема в точке х как функция т переменных хь х„..., х .
Отображение Р(х) можно рассматривать и с общей точки зрения (а не как векторную функцию), т. е. как отображение одного нормированного пространства Л'~=Е'" в другое нормированное пространство )из=Ел. Определение дифференцируемого отображения Р(х):г)1-е — А1з в точке х в том случае будет таким же, как и в случае общих нормированных пространств, только нормы, фигурирующие в этом определении, будут определяться формулами для норм в евклидовом пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
