ilin1 (947407), страница 120
Текст из файла (страница 120)
е. 0<а<1. В силу дифференцируемости Е"(Е) и хс(Е) в точке а для достаточно малых положительных чисел Й будем иметь ЦЕ(а+ Й) — Е(а)Ц =- Ц'(а) Й+ о(Ь)Ц~(ЦЕ"' (а) ЙЦ+ Цо(Ь)Ц< «(ЦЕ' (а)Ц Ь+ — Ь (в данном случае ЦЙЦ= !Й/ =Й, поскольку Ь вЂ” положительное число, а норма элемента Й сегмента 10, 1) совпадает с модулем числа Ь). Далее, д(а+Й) — й(а) = ~п(а+Ь) — п(а) ~, Ь>0, дополнение 3 поскольку функция у(1) на интервале (О, 1) не убывает. Это следует из того, что д'(1) ) О, 0<1<1, что, в свою очередь, следует из неравенства 0~ 111"'(1) 11 ~у'((), 0<)<1.
Заметим теперь, что 1й (а+ Ь) — й (а) 1 = 1е ' (а) й+ о (й) 1) ) 1у' (а) Ь1 — 1а (й)1 > у' (а) й — ' Ь для достаточно малых й. Поэтому ЦК(а+й) — 1(а)Ц<Ц)'(а)ЦЬ+ — й<д'(а) й+ — й < 2 2 ~у(а+й) — д(а) +ей. 11)(а) — 1(0) Ц-<у(а) — д(0)+еа+е, Поскольку то ЦГ(а+й) — 1(0)Ц = Ц(а+й) — 1(а)+1(а) — 1(0)Ц < ~ Ц (а+ й) — 1 (а) Ц + Ц((а) — 1 (О) Ц ~ .ау(а+й) — -д(а) +ей+у(а) — у(0)+за+в= =д(а+й) — у(0) +е(а+й)+е. Мы видим, что а+йенА„а это противоречит выбору числа а, т. е.
число а не может быть меньшим единицы. Следовательно, а=1, и 1~А,. Формула (е) доказана. Завершим теперь доказательство теоремы. Положим )(1) =Р(хо+1~к), д(() =МЦХХхЦ(, О<(<1, где й(= Кп ЦГ(И. йе(о,п Отображение 1(1) и функция д(1) удовлетворяют, очевидно, всем условиям вспомогательного утверждения, установленного нами выше. Поэтому, подставляя эти выражения для 1(1) и д()) в формулу (*), получаем формулу Лагранжа. Теорема доказана. Следствие. Если А~()н') — )чз) — линейное непрерывное отобр жение нормированнага пространства У) в нормированное пространство Ам не зависящее от х, а Р(х) — отображение открытого мнаясества Хс:.)))) в Ум удовлетворяющее условиям теоремы, то ЦР (х) — Р (х,) — А с)хЦ< зпр ЦР' (я) — АЦ ЦЛхЦ. Ьемнн) Д е й с т в и т е л ь н о, применив теорему к отображеннк) Р(х) — АЛх, ах=х — х„ Гл.
!2. Фуккпкк кескольккк переменных- получим 11Р(х) — АЛх — Р(хе)11~( зцР 11Р'(Ц) — А(х — хе)'~х=т,НЛх!1= кеиьх> = зпр 11Р'Я) — АН 11бх)), ак(х,х) что и требовалось доказать. Можно показать, что теорема и следствие из нее верны, если всюду вместо сильной производной ЬУ(х) рассматривать слабую производную Р;(х) . 3. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью. Сильная и слабая дифференцируемость представляет собой различные понятия даже в случае т-мерного евклидова пространства при гпъ2.
Действительно, рассмотрим, например, функцию двух персы енных хз|х, „, если хе+ хе ) О, хе1 -1- х- О, если х =0 и х,=О, ) (х) =Г(х„х,) = х= (хь хе) — точка плоскости. Легко проверить, что эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (О, 0). В точке (О, 0) имеем 1пп 1(о+ ы) — 1(о) . "а(а . я,а =1пп... =-1пп с е г е е с461+РЙ2 и 0 ь2+ра~1 где Ь= (Ьь Ьк) — приращение аргу 11 Ь11 = (ЬР+ Ьек) пк-.е-О, получим, что Лу=-о(Ь) = /Ьзае а4+ а где Ь= (Ьь Ье) — точка плоскости, представляющая собой не,которое приращение аргумента х функции )(х) в точке (О, 0).
Таким образом, мы видим, что в точке (О, 0) слабый дифференциал Г(х) существует и равен нулю. С другой стороны, в -начальной точке имеем Г„(0, 0)= =)„' (О, 0)=0; это непосредственно вытекает из самого определения частных производных и из того, что ~(хь 0) =О, ) (О, хе) =О. Поэтому, записывая приращение функции в точке (О, 0) в виде ог(Ьм Ье)=)(Ьы Ье) — у(0, 0)= ~~ ' )Ь,+ ~ь ' )Ь,+о(Ь), дхь дхе мента, — -ь. 0 при 11 о (а)11 ~1ь 11 Дополненне 3 Выбирая Ьт=Ь|я, имеем о(Ь)( я=Ьт/2, что приводит к в,=ь, противоречию. Действительно, величина (Ь~ У2, поделенная на норму Ь, при /тв=Ь Я стремится к 1/2 при 11Ь)1-ч-О, а величина о(Ь), поделенная на (1Ь)1, при любых Ь1 и Ь, стремится к нулю при (~Ь|(-~-0, что следует из определения о(Ь).
Следовательно, функция 1(х) не дифференцируема в точ- ке (О, 0) в сильном смысле. Однако если отображение Е имеет сильную производную, то оно имеет и слабую производную, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно диф- ференцируемого отображения имеем г(х+ (Ь) — г (х) = р' (х) (ЕЬ) + о ((Ь) = (р' (х) Ь+ о ((Ь), о г о~ что и трсбовалось. Выясним условия, при которых из слабой дифференцируе- мости отображения Г следует его сильная дифференцнруе- мость. Докажем следуюп(ую теорему.
Теорем а. Если слабая производная Е,'(х) отображения г:Ь/1 — г)чг существует в некоторой окрестности 2'г, точки хо и представляет собой в этой окрестности функцию от х, непре- рывную в точке хо*, то в точке хо сильная производная г"'(хо) существует и совпадаег со слабой. Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию отображение Е имеет слабую производную Г,'(хо) в точке хо. Выбрав Ь так, что х +Ь ен Хк„рассмотрим выражение г(хо, Ь) =/г(хо+Ь) — Е(хо) — Ег'(хо) Ь. Элемент г(хо, Ь) принадлежит пространству Ь/т.
Пусть гр— произвольный линейный ограниченный функционал на прост- ранстве Мя. Позже мы укажем некоторые условия на его вы- бор. Тогда из формулы для г(хо, Ь) получим гР(г(хы Ь)) = гР(г (хо+ Ь) — г (хо) ) — гР(Р,'(хо) Ь) . Рассмотрим функцию ((() =<р(Р(хо+1/т) — г(хо)) числового ар- гумента (, 0«(«1. Эта функция дифференцируема по / и для нее — =,1(гп гр ( / к(хо+ ба+ /тй) Р(то+/а) т р и/ ьг.
о Л/ * г",' (я) отображает множество Уя пространства Ыг в некоторое множество пространства операторов (/у~-~.Л/в), т. е. Г,'(х) — операторная функция. Понятие непрерывной фунвцнн было нами определено даже для отображений одного метрического пространства в другое (см. дополнение 2). Гл. 12.
Функпнн нескольких переменнык (Здесь мы воспользовались непрерывностью функционала ф, поменяв местамн символы Нгп и ф, а также слабой дифференцируемостью Р(х) в окрестности Х„,.) Применив к функции 1(1) формулу конечных приращений на сегменте [О, 1], получим 1(1) =1(0)+1'(О), 0<0<1, илн ф(Р(хо+Ь) — Р(хо)) =ф(Р,'(хо+ОЬ)Ь), 0<0<1.
Таким образом, ф (г (хо, Ь) ) = ф (Е (хо+ Ь) — Р (хо) ) — ф (Роо (хо) Ь) = = ф (Р,'(хо+ ОЬ) Ь) — ф (Ро (хо) Ь) = =ф(Р '(хо+ ОЬ) Ь вЂ” Р ~ (хо) Ь) . Отметим теперь следующий факт: запись ф(х), где х~У— некоторому нормированному пространству, а ф — линейный непрерывный функционал на й1, можно рассматривать с двух точек зрения. Во-первых, можно фиксировать функционал ф н менять аргумент хе=У. В этом случае, например, как мы отмечали в дополнении 2, (1фя = зпр (ф(х)). Во-вторых, можно И~=! фиксировать элемент хеиЬГ, а менять функционалы ф Линейные непрерывные функционалы ф отображают пространство М в пространство Р действительных (нли комплексных) чисел и принадлежат тоже нормированному (даже банаховому в силу полноты Р, см, дополнение 2) пространству (ЬГ- Р).
В этом случае, например,11х()= зцр (ф(х)(, где верхняя грань уже беМ=1 рется по всем функционалам феи(И -Р); Ц!1=1, т. е. по функционалам, имеющим нормы, равные единице. Поэтому, по определению верхней грани, существует такой функционал ф 1!ф1~=1, что при фиксированном х~Ф (ф(х)() — (~х11. Вос- 1 пользуемся этим фактом и выберем функционал ф, !~ф(~=1, таким, что (ф (г (х, Ь)) ~ ) — Цг (х„Ь) Ц, где Ь, а следовательно, г(хо, Ь) фиксированы.
Отсюда и из равенства для ф(г(хо, Ь)) получаем, что ~(г(хо, Ь) ~~ 2Ьр(Р,'(х,+ОЬ)Ь вЂ” Р,'(х, Ь) ~~~ (2ПРь'(хо+ОЬ)Ь вЂ” Р,'(хо)КИф!~ < <26Р,'(хо+ОЬ) — Ес'(хо) !101~!1. Дополнение 3 581 Но по условию Г,'(х) есть непрерывная в точке хо функция от х; поэтому ! пп 11 Р; (х, + ОЬ) — Г,' (х,) 11 = О, о о так что 11(хо. Ь)11 есть величина выше первого порядка малости относительно 11Ь11, т. е. Г,'(хо)Ь, как это следует из формулы г(хо, Ь) =-Г(хо+Ь) — Г(хо) — Р;(хо)Ь есть главная, линейная по !ь, часть разности Р(хо+Ь) — Г(хо), Тем самым доказано существование сильной производной Г'(х,) и ее совпадение со слабой производной Г,'(хо).
4. Дифференцируемость функционалов. В предыдущих пунктах нами было введено понятие дифференцнруемого отображения Г:Ььь — Ььь отображающего нормированное пространство Ььь в нормированнос пространство Ль Мы уже отмечали, что производная Г'(х) такого отображения представляет собой при каждом х линейный оператор, действующий из Уь в Ььь т. е. элемент пространства операторов (ЬЬь-~Во).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
