ilin1 (947407), страница 119
Текст из файла (страница 119)
е. отображения щ-мерного евклидова пространства в числовую ось. В этом случае* отображение Е=Е(х„хз, ..., х ) есть обычная числовая функция от гл переменных. Если обозначить приращения аргумента х1 через Йь аргумента хт через Ьт,, аргумента х„через Й, то, как это следует из формулы (12.15), условие дифференцируемости функции гп переменных Р(хг, хм ..., х ) в точке х.= = (хг, хь ..., хт), принадлежащей некоторому открытому множеству Ес Е, записывается.
в виде Е(х~+)гь ха+ Ья, ..., х + и ) — Е(хг, хт, ..., х ) = =Е(х ВЬ) — Е(х) =АА+Атйз+...+А„Й +о(р), где х + Ь = (х, + Ь„х + Й„..., хм + Ьт), А, = дР (х) хт А дг(х) А дс(х) гйз )я, Ьт~пя дхз '" дхт ' х=(х„х„..., хт). Заметим, что справедливо равенство р= кЬй, где йЙй берется в пространстве Е, как в нормированном пространстве. Поэтому если функция т переменных дифференцируема, то она, очевидно, и сально дифференцируема, как отображение нормированного пространства Е в нормированное пространство Е', причем сильная производная Е определяется из усло.
т Ът дг вия Е„Ь=хэ — Ь;, т. е. Е„Й равно скалярному произведению дхг г=! Г дг дР дР 1 вектора Рх= ( —, —, ..., — ~ на вектор Й= (Йь Ьз, ..., Ьт). (, дхт дхз дхт,) Из курса линейной алгебры мы знаем, что всякий линейный функционал из пространства (Е"- Е') имеет вид скалярного произведения. Таким образом, в случае отображения и-мерного евклидова пространства в числовую ось понятие сильной дифференцируемости функции Р(хг,«хм ..., х ), очевидно, в силу единственности производной совпадает с понятием ее дифференцируемости. Установим теперь некоторые элементарные факты, непосредственно вытекающие из определения производной. ' Выбрав базис в Е, мы всегда, независимо от природы элементов хаен"*, можем считать, что х является упорядоченной совокупностью т чисел.
579 Дополнение 3 Свойство 1. Если Р(х) =Г=сопз( (оператор Г от х не зависит — является постоянным), то Р'=— О, где Π— нуле- вой оператор. Д о к а з а т е л ь с т в о этого свойства очевидно. С в ой ство 2. Производная непрерывного (т. е. ограничен- ного) линейного отображения А есть само зто отображение: Л'(х) =А.
Действительно, Л(х+ й) — -А(х) =Л(х)+Л(й) — А(х) =Л(й). Поэтому А'(х) =А. Свойство 3 (производная сложной функции). Пусть №, Мз, Фз — три нормированных пространства, Х,, окрестность точки хое=Л'!, Р— отображение этой окрестности в Ум уо=Р(хо), Хв, — окрестность точки уз~№ и 6 — отоб- ражение этой' окрестности в №. Тогда если отображение Р дифференцируемо в точке хы а 6 дифференцируемо в точке уо, то отображение Н=- 6Р (которое определено в некоторой ок- рестности точки хо и отображает ее в Фз) дифференцируемо в точке хо и Н'(хо) = 6'(уо) Г'(хо). В самом деле, согласно условиям дифференцируемости отображений Р и 6 Р(хо+ 9) = Г(хо) + Р'(хо) П+ о! (П) И 6(уо со() 6(уо)+6 (уо)я+02(г() где П оз (П))( ППИ вЂ” величина, стремящаяся к нулю при стремлении к нулю нЦ; — — величина, стремящаяся к нулю при о .
По (ч)П Пчй стремлении к нулю Ь~~!. Операторы Р'(х,) и 6'(уо) — постоянные операторы, ограниченные по норме. Поэтому о(Р'(хо)$) =о(П) и 6(уо) о(П) = =о(П). В самом деле, По(Р'(хо)П) П (еПР'(хо) Ц, если ПР'(хо) Ц <б, т. е, По(Р'(хо) $) П«вПГ'(хо) Ц ~еПР'(хо) ПМП = =е!ПЦ, где в!=еПР'(хо) П, ПР'(х,) П вЂ” норма ограниченного оператора.Г'(хо) '".
Таким образом, для всякого е!>О существУет б!>О (а именно б!=б/ПРг(хо)П, (!Р'(хо)П-ФО) такое, что По(Г'(хо)П) П <е!ПЦ, если ПЦ~б!=б)ПР'(хо) П, т. е. если ПГ'(хо) П ПЦ <б (поскольку„если выполнено это неравенство, то тем более ПР'(хо) Ц <ПГ'(хо) ПЦИ<б.
" Мы воспользовались оценкой !!Ах)<!!А!йх), справедливой длз любого ограниченного опсратора (см. дополнение 2). ! 902" 580 Гл. 12. Функции нескольких переменных Следовательно, о(Р'(хо)а) =о($) *. Соотношение 6(уо)о($) = =о($) доказывается еще проще. Учитывая доказанные соотношения, получим Н(хо+$) =6Р(хо+5) =6 [Р(хо) +Р'(хо)$+01($)) = =6(уо+Р'(хо)5+о~(В)) =6(уо+т)) где т)=Р'(хо)$+оз($). Далее, 6(уо+Ч)=6(уо)+6 (Уо)Ч+оз(Ч) = = 6 (уо) + 6' (уо) (Г' (хо) з-т о1 (з) ) + оз (Р' (хю) $+ о1(в) ) = = 6 (уо) + 6'(уо) Р'(хо) В+ 6' (уо) о ~ (~) + оз (Р'(хо) $) + о1 (В) = = 6(уо) + 6 (Уо) Р'(хо) а+ох(Б).
Следовательно, Н(хо+У вЂ” 6(уо) =-Н(хо+У вЂ” 6(Р(хо)) =И(хо+В) — Н(хо) = 6 (Уо) Рэ (хо) хь+ оз (5) и формула для производной сложной функции полностью до- казана. Если Р, 6, Н вЂ” числовые функции, то это формула пре- вращается в известное нам правило дифференцирования слож- ной функции. Для отображений Р, 6, И это правило называется еще пра- вилом вычисления производной композиции отображений.
Свойство 4. Пусть Р и 6 — два непрерывных отображе- ния, действу1озцих из Н~ в Жз. Если Р и 6 дифференцируемы в точке хо, то и отображения Р+6 и аГ, где а — число, тоже дифференцируемы в этой точке, причем (Р+ 6) '(хо) = Р'(хо) + 6'(хо), (аР)'(х,) =аР'(х,) *а. В самом деле, из определения суммы операторов и произ- ведения оператора на число *э* получаем, что (Р+6) (хо+й) =Р(хо+ й) + 6(хо+й) = =Р(хо)+ 6(хо) +Р (х,) Ь+ 6'(хо)й+о, (й); (аР) (хо+й) =аР(хо)+аР'(хо)й+оз(й). Из этих равенств и получаем требуемые соотношения.
Рассмотрим теперь еще одно понятие, связанное с диффе- ренцируемостью отображения. Если х'(ха) =О, то ))с'(хэ)1=0 и соотношение о(т"'(хо)з) =о(з) очевидно. э' Символамр (с+ 6)'(хэ) и (ар)'(хэ) обозначены значении операторов (Р+о)' и (ар)' в точке хм "* для нелинейных операторов эти определения такие же, как и в случае линейных операторов (см. дополнение 1). 58! Дополнение 3 Определение. Слабым дифференциалом (или дифференциалом Гаго) отображения Е:й[~- Лгз называется предел ( х + 1 а ) Р ( х ) ~ ~ Е ( и ) г о х где сходимость понимается по норме в пространстве Л[з.
Слабьсй дифференциал называется егце первой вариацией й отображения Е в точке х и обозначается символом ]зр(х, й). Слабый дифференциал т)Е(х, й) может и не быть линеен по й. Если же оператор с)Е(х, гг) оказывается линейным, т. е. если 0Е(х, й) =Г,'(х)[з, где Ег'(х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гаго). 2. Формула Лагранжа конечных приращений. При изучении дифференцируемых числовых функций важную роль играла формула Лагранжа конечных приращений. Выведем такую формулу в случае дифференцнруемого отображения Е:У1-з-Уз.
Пусть Х вЂ” открытое множество в й[ь содержащее точку хо, и пусть множество точек хо+1(х — х,)* целиком содержится в Х, 0<1<1. Теорема. Пусть Р:]т'1- Хз — отображение, определенное на открытом множестве Хс:Лгь непрерывное на [хо, х) и имеюзцее сильную производную Г' в каждой точке интервала (хо, х). Тогда ]]Р(х) — Е(хо)Ц~< Я1Р ЦЕ'(9)Ц ЦЛхЦ = Хеглпх1 = зпр ЦЕ'(х,+ОЛх)Ц ЦЛхЦ, Лх=х — х,. а«о«~ До к а з а те л ь ство. Рассмотрим сначала непрерывное отображение 1(1), заданное на сегменте [О, 1] и отображающее его в пространство Л/„1' [О, 1)- Уз и непрерывную функцию д(1), заданную на сегменте 10, 1), принимающую числовые значения.
Покажем, что если 1" (1) и д(1) сильно дифференцируемы на интервале (О, 1) (1(1) как отображение одного нормированного пространства, а именно интервала (О, 1), в другое нормированное пространство Лгз, а д(1) дифференцнруе- * Множество точек вика ха+1(х — ха), где 0<1~<1, называется от реек о и илн сегментом н обозначается символом [хм х] в Уь При 1=0 получаем точку хм а при 1=1 — точку х; если 0<1<1, то множество точек хз+Г(х — хз) называется и н т е р в а л о м (хч, х).
19 зал м 582 Гл. 12. Функции нескольких переменных ма как числовая функция, определенная на интервале (О, 1)), и если 11(Е) Ц (д" (Е), 0<Е<1, (е) Из этой формулы утверждение теоремы уже будет следовать легко. Д о к а ж е м э т у ф о р м у л у. Прн каждом фиксированном а>0 обозначим через Л. множество точек сегмента [О, 1), в которых выполнено неравенство ЦЕ(Е) — 1(0) Ц<д(Е) — я(0)+еЕ+а.
(ее~ Покажем, что при любом е>0 число 1 принадлежит множеству А.. Тогда при 1=1 и и О получим доказываемую формулу. В силу непрерывности отображения Е(Е) и функции п(Е) множество А, замкнуто на сегменте 10, 11. Действительно, если Е„~А, и Е„-ьЕе, то в неравенстве (1Е(Е„) — 1(О) Ц<п(Е„) — д(О)+еЕ„+в. пользуясь непрерывностью функции нормы (или, что то же самое, непрерывностью функции расстояния): (~х(~=р(х, 0), непрерывностью отображения 1(Е) и непрерывностью функции ее(Е), можно перейти к пределу при Е„- Ее и заключить, что ЦЧ(Еа) — К(0) Ц.<й'(Ее) — Йс(0) +вЕо+а, 'т. е.
Ее~А„а следовательно, множество Л, замкнуто. Множество А, непусто; поскольку (е*), очевидно, выполнено при достаточно малых Е (левая часть неравенства (е*) прн малых Е в силу непрерывности 1(Е) мала, а правая имеет положительный член е в качестве слагаемого, который не зависит от Е). Пусть а=-зцрА,. Поскольку множество А,с:[О, 11 замкнуто„ то а~А,. Покажем, что а не может быть меньше числа 1. Допустим противное, что а<1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
