Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 9
Текст из файла (страница 9)
е. на некотором множестве, плотном в Ь(В). Поскольку ))(Ь("') '!)~! для всех и, то по теореме Банаха — Штейнгауза (4.11) выполняется для всех Р(Г) ен/.(В). Пусть, наконец, (д„, Р„(г)» — последовательность, сходящаяся в г' к (д, Р(1)». Имеем гпах ] (Ь("') '(у„Р,(Г)» — (Ь("') '(д, Р(1)» 5~ ~ ~ НР.(1) — Р(/) Пй/+]у.— у1 0- о Отсюда и из (4.11) следует окончательно 1пп п1ах ))ф"') т (Р„(Г), у„» вЂ” (Е) "(Р(1), у) ] = О. 56 2. Обобщение теоремм Хиале. Т е о р е м а 3.2. Пусть Т Я вЂ” сильно непрерывная полугруппа, ',; удовлетворяющая условию )[Т(!))! =1, (4.12) "-, и А — ее производящий оператор. Пусть, далее, (А„» — последова- „' тельность операторов, сходящихся на общей плотной области опре-, деления .Р, причем А=!ппА„, и тоже удовлетворяющих условию,' (Р) 2).
Тогда последовательность (1 — А„г/и)-" при л +со сильно )"' сходится к ТЯ на всем пространстве В. Д о к аз а тельство. Рассмотрим элемент и„=(! — А„г/и) "и„и,енР, )! и составим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяег" и„. Это будет уравнение в банаховом пространстве В: (!и„ вЂ”" — (1 — 4ь//и) тА„иь — — О, иь(0) =иь. (4.13) Ф В силу условия (Р) 2) опера.ор (! — А„1/и)-' существует на всем В н ограничен единицей, поэтому из теоремы 2.2 следует, что (1 — А„г/и)-'- 1.
Значит, для уенР имеем [([(.— — ') А,(( — ч[ ~[[( — — ") (А,— А(к[ .(-[((( — — '„"') ' — () ли[(, ~(((А. — (( (ь (- (((( — — ( — () Аа[ 0 "Р" " Следовательно, (! — А„Г/и)-(А„- А. В силу (2.1)))е~е [[~1, поэтому (см, $1) )! [! — 6В.] '))--=1 и, значит, [1 — 6А„(1 — А„Г/и)-']-(= [1 — 6В„„]-((1. Таким образом, условия леммы 3.2 для задачи (4.13) выполнены. Отсюда следует, что решение и„(1) уравнения (4.13) сходится к решению и(!) задачи — =А, и(О) = Ж и теорема доказана.
Заметим, что для случая ограниченных операторов А„теорема 3.2 была доказана Хилле [46]. 3. Сходимость производящих операторов и сходимость полу- групп. Теорема 3.3, Пусть операторы А„сходятся к А на плотной области. Р- и. последовательность ((1 — еА„) ') ограничена единицей, определена всюду и сходится сильно к (1 — еА)-' для любого е,)е)0. Тогда операторы е""'сходятся сильно к е"'.
Доказательство этого утверждения следует из леммы 3.2, если положить А„(Г) =А„, А (Г) =А, Р(1) =О, д.=у. Из теоремы 3.3 вытекает следующая Теорема 3.4 [29]. Пусть (Т~(ю» (п=1, 2, ...) и (Т(» — сильно непрерывные полугруппы линейных операторов в В с производящими операторами А (п=1, 2, ...) и А. Если»Т((~'[(1 и если А есть замыкание оператора !пи А„(Р(1ипА„) =Р(А„) ), (по (Т( ('» сильно сходится к Т, при и- оо равномерно относительно Г (О(г'(з). Действительно, из [~Т("'[) ( ! имеем ))[! — еА„] '))= 1.
Поэтому нз теоремы 2.2 следует, что (1 — еА„) '- (1 — еА)-' при всех е)0. Условия теоремы 3.3 выполнены. Утверждение доказано. 3( Пример. Рассмотрим задачу ди ди — — Ьйи — — + с*и=с" (х, у), дг дх (4.14) и(г,=О, и~ *,и*=, =О, 0(1:-.=1, в классе непрерывных функций от 1 с интегрируемым ратом (в области, ограниченной Г).
Обозначим Аи (1) и = Ь йи + —" — схи, дх Аи = — с'и+ —. ди дх по х, у квад- — и+Ьгйи+е — — есзи=р(х, у), ди дх и1»=0 при Ь-~-0 сходится к решению задачи ди — о+ а — — есхо д» о~ Значит, в силу теоремы 3.3 решение равномерно по 1 и сильно в С, к решен ди ди — — — + с'и д4 дх и~ „—,=О, и =р(х, у), уравнения (4.14) сходится ию уравнения ~с=о = 0 Операторы (1 — А~(1))-' ограничены единицей; кроме того, как из- вестно, решение задачи ТЛАБА 4 СЛАБАЯ СХОДИА4ОСТЬ ОПЕРАТОРОВ Б 1, Теорема о сходимости гомоморфизмов в топологических группах Вначале напомним некоторые понятия теории топологических групп (33). Множество 6 элементов называется группой, если в нем введена операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов а, Ьенб некоторый элемент се=6, так, что выполнены перечисленные ниже условия 1), 2), 3), называемые групповыми аксиомами.
Операция эта по большей части называется умножением, и результат ее записывается аЬ (произведение аЬ может зависеть от порядка сомножителей: аЬ, вообще говоря, не равно Ьа). 1) Ассоциативность: для любых трех элементов а, Ь, сенб выполнено соотношение (аЬ)с=а(Ьс). 2) В 0 имеется левая единица, общая для всех элементов группы, т. е.
такой элемент е, что еа=а для любого аен6. 3) Для всякого элемента ае=6 существует левый обратный элемент, т. е. такой элемент а-', что а-'а=е. Если А и  — два подмножества группы 6, то через АВ обозначим подмножество„составленное из всех элементов вида ху, где х-А, уенВ. Через А-' обозначим подмножество, составленное из всех элементов вида х-", где хенА. При натуральном т подмножество А"+' определим нндуктнвно, считая, что А'=А н А =А А. Подмножество А- определим, положив А-"= (А-') Пользуясь установленными обозначениями, можно составить произведение произвольного числа подмножеств, возведенных в произвольные целые степени.
В дальнейшем мы иногда не будем делать различия между множеством, содержащим один элемент, а самим этим элементом, поэтому для нас имеет теперь смысл обозначение АЬ, где Аенб, Ьенб. Отметим, что если А непусто, то А6=6А=6, 0 '=6, Ае=еА=А. Множество Н элементов некоторой группы 6 называется подгруппой нлн делителем группы 6, если Н есть группа в силу того же закона перемножения, который имеет место в 6 59 П р и м е р. Рассмотрим задачу ди ди — — Ьби — — + с*и = г (х, у), д1 дх (4.14) и у, =. О, и [ *.,„, = О, О:-.=1~ 1, в классе непрерывных функций от г с интегрируемым по х, у квад- ратом (в области, ограниченной Г).
Обозначим Аь (Г) и = Ьйи + — — ски, ди дх Аи= — ски+ — ". дк Операторы (1 — А~(1)) ' ограничены единицей; кроме того, как из- вестно, решение задачи — и + Ьейи+ е — — ес'и = г (х, у), ди д.к и[к=О при Ь-+.О сходится к решению задачи ди — и+ з — — асио= г" (х у) дк о[, Значит, в силу теоремы 3.3 решение уравнения (4.14) сходится равномерно по 1 н сильно в (,, к решению уравнения ди ди — — — +с*и= г", д1 дх и ~ —,,„= О, и р=о = О ГЛАВА 4 слАВАя сходимость опирАторов а 1.
Теорема о сходимости гомоморфизмов в топологических группах Вначале напомним некоторые понятия теории топологических групп [331. Множество 6 элементов называется, группой, если в нем введена операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов а, Ь~б некоторый элемент с 6, так, что выполнены перечисленные ниже условия 1), 2), 3), называемые групповыми аксиомами. Операция эта по большей части называется умножением, и результат ее записывается аЬ (произведение аЬ может зависеть от порядка сомножителей: аЬ, вообще говоря, не равно Ьа).
1) Лссоциативностьс для любых трех элементов а, Ь, с~б выполнено соотношение (аЬ)с=а(Ьс). 2) В С имеется левая единица, общая для всех элементов группы, т. е. такой элемент е, что еа=а для любого аеиб. 3) Для всякого элемента аеи6 существует левый обратный элемент, т. е. такой элемент а-', что а-'а=е. Если А и  — два подмножества группы 6, то через АВ обозначим подмножество, составленное из всех элементов 'вида ху, где х-А, уенВ. Через А-' обозначим подмножество, составленное из всех элементов вида х-', где хеиА.
При натуральном пг подмножество А'"+' определим индуктивно, считая, что А'=А и А =А'"А. Подмножество А- определим, положив А- = (А ') Пользуясь установленными обозначениями, можно составить произведение произвольного числа подмножеств, возведенных в произвольные целые степени. В дальнейшем мы иногда не будем делать различия между множеством, содержащим один элемент, н самим этим элементом, поэтому для нас имеет теперь смысл обозначение АЬ, где Аенб, Ьеиб. Отметим„что если А непусто, то Аб =6А =6, 6 т=б, Ае=еА=А. Множество Н элементов некоторой группы 6 называется подгруппой нлн делителем группы 6, если Н есть группа в силу того же закона перемножения, который имеет место в 6 Отображение й группы 6 в группу б" называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом, если оно сохраняет операцию умножения, т.
е. если д(х у)=д(х) а(у) для любых двух элементов х, уевб. Множество д-'(г') всех элементов группы 6, отображающихся в единицу г группы 6 прн гомоморфизме д, называется ядром гомоморфизма д. Множество Я называется топологичгским пространством, если каждому множеству М элементов пространства Я поставлено в соответствие множество М, называемое замыканием множества М, так, что выполнены следующие условия: 1) если М содержит только один элемент а, то ЗХ=М илн, что то же, а=а„.
2) если М, У вЂ” два множества в Р, то М1~У=М( ~Х, т. е. замыкание суммы равно сумме замыканий; 3) М=М, т. е. двукратное применение операции замыкания дает тот же результат, что и однократное. Множество Г элементов топологического пространства Я называется замкнутым, если Р=Р. Множество б элементов из Я называется открытым или областью, если Я~,б есть замкнутое множество. Множество 6 пространства Р называется всюду плотным, если Система Х областей пространства Я называется базисом пространства Р, если всякая непустая область из Р может быть получена как сумма некоторого множества областей, входящих в Х.
Базис г, пространства Я иначе называется полной системой окрестностей пространства Я, а каждая область системы Х вЂ” окрестностью всякой точки, содержащейся в этой области. Система Е' окрестностей точки а называется базисом в точке а нли полной системой окрестностей точки а, если для каждой области б, содержащей точку а, найдется такая окрестность УенХ', что Ус:6. Задание полной системы окрестностей в пространстве Я дает возможность однозначно определить операцию замыкания в этом пространстве. Отображение ! топологического пространства Р на топологическое пространство Я' называется гомеоморфвым или топологическим, если оно 1) взаимно однозначно и 2) сохраняет операцию замыкания: 1(М) =)'(М) для всякого Мс:Я. Легко видеть, что если отображение ) гомеоморфно, то обратное ему отображение 1-' также гомеоморфно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
