Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Два топологических пространства )с и Я' называются гомеоморфными, если одчо из них можно гомеоморфно отобразить на другое. Отображение д топологического пространства Я в топологическое пространство Р' называется непргрывным, если для всякого множества Мс:Я выполнено соотношение а(М) ~а(М). Множество б называется топологической группой, если 1) 6 есть группа; 2) 6 есть топологнческое пространство; З) групповые операции в 6 непрерывны в топологнческом пространстве 6. Более полно требование это формулируется так: групповые операцн цни в множестве 6 непрерывны в б как топологическом простанстве. а) Если а, Ьеэб, то для любой окрестности %' элемента аЬ пай ндутся такие окрестности У и У элементов а и Ь, что Уу~йт.
б) Если а есть некоторый элемент множества 6, то для любой охре - естности !' элемента а ' найдется такая окрестность У элемента а, что У-'с=К Пусть б — топологическая группа, Š— некоторая полная система окрестностей ее единицы в н М вЂ” некоторое множество, всюду плотное в 6. Тогда совокупность г, всех множеств вида У, где 11ыЕ; хыМ, есть полная система окрестностей пространства б, в система Х' удовлетворяет следующему условию: для всякого множества У системы Е' найдется такое множество 1' той же системы, что $Ъ' 'с:У. Отображение д топологической группы б в топологическую группу 6 называется гомоморфным, если 1) д является гомоморфным отображением алгебраической группы 6 в алгебраическую группу 6'; 2) д является непрерывным отображением топологнчес кого о пространства 6 в топологнческое пространство 6'.
Гомоморфнзм д называется мономорфизмом, если он имеет своим ядр . и ом единицу. Последовательность (д.) гомоморфных отображений топологической группы эв, в топологическую группу ьм", называется предельно непрерывной, если для любой окрестности г единицы г группы ьй, найдутся такое число п, н такая окрестность б единицы е группы Зв„что при и) и., хенб д„хе=в; в частности, если х,— ~-в, то !пп й„хь = г*. П Теорем а 4.1. Пусть (д„) — предельно непрерывная последовательность мономорфных отображений топологической группы в топологичгскую группу Ж„..
Пусть Р=()й„(Ж,) и для х'вне существует !пид„'(х'). Тогда существует подгруппа Х)с:Зв, и гомоморфног .отображение у подгруппы тл в Жь обладающее свойствами: !) 11ш й(й„'(х*))=х", х*И; д(х) =Игпд (х), хан.О; л-в ю 2) если а„~М„х,еэХ), 1пп а,х;=е, ~по 1пп й„(аь)а(хд =в*. До к аз а тельство. Обозначим через Т оператор, определен.
ный на Я и такой, что Тх'= !пп у„'х . Оператор Т есть гомомор. л ю физм алгебраической группы Я. Действительно, Т (х х ) =!нп у„-'(х х) = (1пп и--1х) (! пп у„'х) = Тх Тх„'х,', х, —.— )с„ ь-~м ь-ю о в силу непрерывности групповых операций в Уе,. Докажем, что ядро гомоморфизма Т состоит из единицы.
Действительно, пусть Тх'=е. Значит, 1!шу„'(х') =е. При й>К(6[а]) имеем х,= =у-" (х')Ы[е]; при п>М(е, 6[е]) имеем у„(х,) ене; значит, пра п>гпах(К, М) у„(х ) яе, т. е. х =д„(х„) вне. Следовательно, х'= =е", так как е — любая окрестность е. Докажем, что при хе=В= (хенМ,; х =!пп у„' (х"), х*~Р) !пп у„(х) = Т "(х). Действительно, поскольку Т 'хенй, то!пну-„'(Т '(х)) = х. Следоь ьо вательно, прн й>К(б[е]) у =и",'(Т (х)) х =й (Т (х) [вь(х)] 1) — ЬИ и при и- М(е, 6[е]) имеем д„у,енг. Значит, при и >шах(К, М) д„у„= Т '(х) [д.„-'(х)~ ' е= е.
Следовательно, !пп у,(х) =Т '(х). ь — \« Докажем, что оператор Т-' непрерывен. Пусть г,е-,'Се. Пра п>М[е„б,[е,1] имеем д хане, если хенб,[е,]. Кроме того, при,, и) М1 [е-,', 6 [г-,'], х] Т '(х) [у (х)] '~ е-'. Следовательно, при п)гпах(М, М,) Т ' (х) [у (х)] ' д"„(х) = е-,'е, = е. Значит, при хенб,[е,] имеем Т '(х)еие. Обозначим через д гомоморфизм из О в ьтв"„совпадающий с Т-' ~1 на В.
Докажем, что И ш д„,О = уЕ). Пусть уенЮ хек)л, х 'уенб. Поскольку 1 у (ух-') =д„(у) [д„(х) 1-' и у[ух-'] =д(у)[д(х)]-'=й(у)[Т- (х)]-', то д„(у) [д(у) ]-'=д„(ух-') д (х) [Т '(х) ] '[д(ух-') ]-', Пусть е,е-,'С е, еег-,' 'е-,', при п)М[е„б[е,]], 6~6[а,] имеем ' д (ух-') ~е,; при и= М,(х„г,) имеем д„(х)[Т-'(х) ) '~г,; при ~ б2 6~6[в,) имеем д(Ух-') вне,, Следовательно, пРи п)М[е„б(е,) ], п)М,(х, е,) и 66[е,]Г16[е,] получаем у„(у) [я(у)~ 1Е= ета,е С е1е С е. Таким образом, при М)М(е) выполняется включение д„(у) [д(у) ] 'вне.
докажем 2). Заметим, во-первых, что из условия 11ш аьх,=е Ф-юо следует, что 1!щ х-,'хе=е. Действительно, пусть 6,'бс б. При и >М(б,), н,н'>н(б,) имеем а х„еибьа,хм,=- Ь,. Отсюда (а,хь) ~а„хь ~ ~ б, 'Ь,СЬ, т. е. при й,й'>А (6,) хь'хь ~ б; значит, 1пп х;.'хь = е. Пусть х еи.О, а,виве, и 1пп аьх; = е; имеем Ф $-ФЮ ул(аь)Й(%ь)=уь(аьх~)[дл(х~)] я(хс)у(х;~хщ). При й)К(б, [е,], е,), 1)Т(6[е,], е,), и'= М(6[е,], е,) имеем у„(а,х,)~е,; при п)М,(е„Е) имеем д„(х,) [у(х;) ] 'е=е,. Отсюдз при п)М=тах[М(6[е,!е,), М,(е,()], й)К(б[е,], е,), т)М(ед получаем у„(аь) у(х,„) ~ г,г г, С ' е е,' С е.
Таким образом, М, К, М не зависят друг от друга и зависят лишь от е. Значит, !пп йь (аь) а'(х, ) = е*, ь Ф э и теорема доказана. й 2, Слабо предельная непрерывность 1. Равномерная ограниченность слабо непрерывной последовательности операторов. Пусть В, В' — банаховы пространства. Рассмотрим множество замкнутых операторов Я =(Т„), отображающих В в В'. Будем обозначать знаком =ь слабую сходимость. Множество У называется слабо предельно непрерывным, если для любой последовательности [„енВ 1;+О и любой последовательности Т„,е=Гимеем Т [ь-+О в В'. Лемма 4.1.
Если У слабо предельно непрерывно на рефлексивном пространстве В, то оно равномерно ограничено по норме. Док аз а тельство. Поскольку операторы Т„заданы на всем пространстве В, то каждый из них ограничен (см. гл. 1, $1). Допу- 63 стим, что не существует такой константы с, что !!Т„!!-.-=с Уп. Зна чит, в У можно выбрать такую последовательность (T ), что !ни 1'Т ~=во, Поскольку !!Т !!=!!Т 1', имеем также 11 ш ~ Т !! = ьо. Введем семейство непрерывных полуадднтнвных функционалов на В': Р (ф)=1т'ф(.
По предположению зпрР„, «р) =1'Т,„!! — в оо прн по- ьь. (2.1) Бслн бы зпр Р' (ф) ( ьь Уф, то по известной теореме (6] валс< о зпр Р (ф) был бы ограничен (для всех по), что противоречит (2.1). Следовательно, найдется такое ф,енВ', что Рт (фо) = ( Т алфо !! -о- со прн пт' -о- со. Здесь Р .— некоторая подпоследовательность последовательности Р . Введем последовательность !!Т" РО1Ч* где й' ° ~= В, причем (й ° ((=)!Т„;ф ~, (а,, Т ф )=1'у,!!в. В силу рефлексивностн В можно положить й =(Т ф,) .
От- сюда 1!~ ~= — 13в .фо~ * — о- О при т' — о.ьо. Из сильной сходимости по- следовательности в В следует слабая сходнмость к тому же эле- менту, поэтому с ° -ьо при ги'-о. ьо. Из слабой предельной непрерывности У следует, что «р, T 1 ) О пригн' ьо. С другой стороны, (ф„т,~„,) = (Т фо(* =(т 'ро Ла) =(т фо, у ) ., — . —,с- сь, !! Ттфо(" (Т фон * Полученное противоречие доказывает лемму.
2. Необходимое и достаточное условие слабо предельной непре- рывности последовательности операторов. Л ем м а 4.2. Для слабой предельной непрерывности множества У на рефлексивном банаховом пространстве В необходима и до- з4 таточна компактность У '= (Т„) на каждом элементе фс= В'*. с ли у слабо предельно непрерывно, то из слабой сходимости (т'„ф) следует сильная сходимость этой последовательности.
Доказательство. Не обходи и ость. Пусть У слабо предельно непрерывно. Тогда в силу леммы 4.1 ~ Тл ~ = ~ Т„!! - с чс и. н по критерию Коши (р, Т„- (т -ф)' — Т - (Т„-ф)')-О. 0 При П" ) Пл -О. СО. р р Перебрасывая операторы Т„-, Т„- на ф, получаем р (т„'р, (т„' р)') — (т„'.
р, (т'„-ф)') о, р илн, что то же самое, Ит.'фР— Пт„'-ф!1*-о р прн и" ) и-+.ь, откуда (!Т„-ф!! — ~1Т„-ф "1 0 при пр)п + р (2.2) По известной теореме (см. гл. 1, 5 1) нз Т„-ф=+д н (2.2) следует сильная сходимость Та-ф — я при и -о-со, Достаточность. Пусть У компактно на каждом элементе фяВ'. Предположим, что У не является слабо предельно непрерывным. Это значит, что существуют такие фЕ=В' н сх О, что )(ф, Тав,1о ) ! ) а, где (Й') — некоторая последовательность индексов, а (Я вЂ” некоторая слабо сходящаяся последовательность. Пусть (Та„фвг †силь сходящаяся подпоследовательность: Т' ф- й при й"- оь, (й")С (й'1. 3 В. П. Маслов Значит, множество Т ф(ф В' ) ограничено в В.
Следовательно (см. 2 1 гл. 1), оно слабо компактно. ВыбеРем из этого множества слабо сходящуюся подпоследовательность Т„,ф =о у, Поскольку !!(Т„',ф)'!!=1т„.ф!)-"-=с~ф1, то множество ((Т„ф)') слабо компактно в В. Пусть ((Т„-р)') — слабо сходящаяся подпоследовательность: (Т„'„ф) =о й. Из слабой предельной непрерывности у следует ( р, Т - (т„~р7 — Т„-й) о- 0 прн п" -с- ьо Тогда (ф, Т „1 )=(Т" ф, У=(Т ф — у,~,.)+(й,~;)» »(Т ф — у!! !!А [+ (у. Ь-). (2.3) ' П к „у„' ~ у то !!Т„' ф — д(-е О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
