Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 5
Текст из файла (страница 5)
До к аз а тельство. Очевидно, что Еи = А (т)) — + В (т(, х) и =Хи, ! х ! .а" т). с(х Поэтому в силу оценки (5.3) и условия леммы для достаточно больших т) выполняется неравенство ч/а.нз ч 1и [)с с(х ( с (и, е) ~ [ и !Рсс(хе "'-а)ч. ч/2 а а Отсюда и из условий леммы следует утверждение 1). В силу ф(х) о(т), х)=0, с.,и=Хи имеем ф (х) 1, =- ф (х) с,„ф (х) [Е.а — Х! и = О.
Отсюда Ъ [Х вЂ” Х) ср(х) и=А(т)) ф'(х) и. Из леммы 1.3 следует, что найдется такое собственное значение опе ато а Ь„что Р Р (~!.ю ~! [ф(х) и!! [ф(х)и! /ч/а '('/а ~~[иМ ~ а Возьмем функцию ф(х), равную единице при !х! <т)/2, Равную нулю при !х! >т)/2+ а, а в промежутке т)/2» !х!»т)/2+ и линейную: ср(х) 1+1/а(т)/2 — х).
Кроме того, из леммы 1л) получим а ф (х) и — 'Я (ф (х) и, фи) ( ( ' ) е"'('-')ч т. е. ч/вв в в 1и — ~~ (ср(х) и, фс) срс ~ лх», с(а, в)г Ф-еч [н в Поскольку в силу теоремы 1.2 Ч/в (ср (х) и, ф,) — ~ (и, ф ) и дх - с (е) г-лС' '>ч, в то отсюда следует утверждение леммы. Рассмотрим теперь самосопряженный оператор Х. (е) =А(т) — + В(т)+ ее(т,е), сст где о(т, е) — ограниченный оператор в Н, непрерывный по т. Пусть 1с — изолированная точка спектра оператора Е(0) =А(т) — +В(т), ат с(„— расстояние от сс до остального спектра оператора с.(0). Пусть т. таково, что если ) о(т,е), т(2тсв (.О, т) 2т„ то 1ео(т, е)~( —" (а)0), н пусть о=о(т,е) — о(т,е). Тогда 2+а оператор Х(е) можно представить в виде Х, (е) = Х.
(0) + ео (т, е) -[- ео (т, е). Полагая в предыдущей лемме ъ~=2т., о(т, с))=ее(т, е), мы выводим в силу лемм абстрактной теории возмущений следующую ниже теорему. Пусть 0(б(1. Рассмотрим пространство непрерывных функций от г (0(е(ев) и отождествим функции, разность между которыми не превосходит сс(е)=Сехр( — сМ(1 — б)т.); полученное фактор- пространство обозначим через Я.
Рассмотрим пространство с'.в[Н, 5) функций из 1 [Н) со значениями в 3. Равенство а=Ь в этом пространстве будем записыватьа-з-Ь. Предположим, что оператор Е(0) =А(т) — "+В(т) Йт самосопряжен в МН), а В(т) коммутирует с т. Оператор зо(т, е) коммутирует с т и стремится к нулю по норме Н при любом фиксированном т.
2Е Те ор ем а 1.3. Пусть решение Ф уравнен~я [Е (0) + ео (т, е)) с[сь =)с~л. удовлетворяет условию ~ [[ф4Ат(С(б) еь', (7.1) гдг б — любое, константа С(б) не зависит от е, а ближайшан к 1, точка спектра оператора Е(0) есть собственное значение 1с этого оператора конечной кратности. Тогда 1) оператор [Х (0) + ео (т, е)) ° — ф [Е (О) — г) с ~~~~ ( — 1))г" [о (т, г) (Е (0) — г) с["аг, 2пс где à — окружность с центром в точке сс радиуса Ы/2, имеет 1~си р азличных собственных значений ссс ссс(е) (с 1, 2, ..., 1), а сумма проекционных операторов Рс(е) (с 1, 2, ....
1) на собственные надпространства, отвечающие им, имеет размерность пс; 2) вьсполняется соотношение вв с 1 — ~~с', Рс(е) ) срь с1т~*О; вв с в / и 3) наидвтся такое с (О~с: 1), что / вв в(~в, „„с ~ „~)с 1ссс-вс~.ьс)в,о, -с / "в [Х вЂ” )сс(е)[1/ $ [срьфсйт.й О. Замечание 1. Если ближайшими к точке Х являются два собственных значения 1сс и сс, оператора Е(0), то ~ 1 срь 1внат-~ О. вв 3 а м е ч а н и е 2. Для действительных 2, только решения, удовлетворяющие условию (7.1), имеют физический смысл.
Известно, что собственные функции непрерывного спектра широкого класса дифференциальных операторов с частными производными удовлетворяют этому условию. Для дифференциального оператора второго порядка вида (3.0), удовлетворяющего условиям теоремы 1.1, будет справедлива предыдущая теорема, если положить о(е) ехр(-(1 — б)етт.)„где се определяется формулой (3.3).
Это утверждение доказывается аналогично предыдущей теореме. ГЛАВА 2 СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИИ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 2!. Слабая сходимость решений Рассмотрим следующую задачу: пусть (А„) — последовательность линейных операторов, действующих из В, в В, (где В, и В; банаховы пространства) н имеющих одну и ту же область определения В (Ал) В. Рассмотрим последовательность уравнений А„х„о„ (1.1) и предположим, что как последовательность операторов (А„), так и последовательность (о„) правых частей уравнений (1.1) сходятся (в том или ином смысле) к оператору А и элементу о соответственно. Рассмотрим наряду с уравнениями (1.1) предельное уран«[ пение Ах=о.
(1.2) Возникает вопрос — какие условия должны быть наложены на последовательность операторных уравнений (1.1), чтобы последовательность их решений (х„) сходилась (в том или ином смысле) к решению предельного уравнения (1.2)? Установим прежде всего. условия, прн которых имеет место слабая сходимость решений, а потом перейдем к условиям сильной сходимости. При рассмотрении слабой сходимости мы ограничимся случаем операторов, действующих в гильбертовом пространстве.
Те'ор ем а 2.1 [28, 29). Пусть (А„) — последовательность линейных операторов в гильбертовом пространстве Н, имеющих одну и ту же область определения Р, всюду плотную в Н, пусть (А„) сильно сходится к А и пусть ٠— последовательность элементов иэ Н, слабо сходящаяся к 1. Если для последовательности уравнений Алхл =-)л (1.3) существует ограниченная последовательность (х„) их решений, то существует такая последовательность (у„) решений предельного уравнения А'х=Г, (1.4) что последовательность (х„— у„) слабо сходится к нулю. 28 Дока з а тельство. Так как последовательность (х„) ограничена, то из нее можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность лл ° (х ).
Пусть о — предел этой последовательности. Поажем что о — решение предельного уравнения (1.4). Действительно, для любого йшВ имеем (Аф, хль) = ([А — Аль) д', хль) + (д', ~ль) -л (у, Д н в то же время (Ай,'хль) -'(Ае "). откУда (Аи,е)=(я,)) УЕ~О. (1.5) Поскольку Р всюду плотно в Н, то (1.5) означает, что А'о Обозначим через Н, подпростраиство решений однородного уравнения А'х=О, а через Н, — его ортогональное дополнение, и пусть Р„Р, — проекционные операторы, отвечающие этим подпространствам. Положим гл = Рл (о — хл), (1.6) ул = гл + хл. Каждый элемент у„будет решением уравнения (1.4); действи- тельно, А "у„=А" (ел+ х„) =А (Рле+ Р,х ) =А'Р,о=А'(Р, + Р,) е=А о (1.Т) Поэтому для завершения доказательства остается показать, что последовательность (г„) слабо сходится к нулю.
Эта последовательность ограничена, так как 11 х 11 ~ ~11 х 11 + 1! о !1 а последовательность (х„) ограничена по условию. Далее, елееН„ поэтому для всех хееН, имеем (г, х) О. (1.8) Кроме того, если уееВ, то Ай~Н, поэтому (Ай', гл) лл (Ай, ул хл) = ([Ал А) й, хл) + (Ак, ул) — (Алд', л) = [=([А„— А)д,х„)+(д,à — Г„)- 0 при п-~оотуен.0. (1.9) Из (1.8) и (1.9) следует, что соотношение (х„, и)-лО при и- оо (1.10) выполнено для каждого иенН,ВЙ(А). Но Н(А) всюду плотно в Н„нбо иначе в Н, нашелся бы ненулевой элемент ум 29 ортогональный Я(А), н мы имели бы 0=(уе, Ах) (А*у„х) 'Кхин Р, откуда А уе О, т.
е. у.енНь что невозможно. Итак, соотношение (1.10) выполнено на множестве, замкнутая линейная оболочка которого есть все пространство Н. Отсюда сле- дует, что ограниченная последовательность (г ) слабо сходится к нулю. Теорема доказана. Замечание. Если оператор А существует (т. е. уравне- ние А'х=О имеет лишь тривиальное решение), то утверждение тео- ремы 2.1 можно сформулировать так: всякая ограниченная после- довательность (х„) решений уравнений (1.3) сходится к решению предельного уравнения (1.9). Более того, если А' существует, то теорема 2.1 имеет место и для операторов, действующих из одного банахова пространства в другое, поскольку единственный пункт проведенного выше доказательства, использующий гнльбертовость пространства Н,— это возможность представить его в виде суммы подпространств Н, и Н,.
С л е дс та и е 1. Предположим, что выполнены условия теоре- мы 2.1 и, кроме того, (х„, у„— х„)-е-О. Тогда ||у„— х„||-е-О. Действительно, (у~ — х у — х~)-+ (у у — х ) (у г ) (о г ) поскольку элемент у„— о~Н, ортогонален г„. П р и м е р. Рассмотрим задачу алене = — ей (1+ з1пе — ") и, + йе (х, у) и, = Р (х, у), и,|г=О, й*(х, у) = 'а)0, (1.11) где Ь вЂ” оператор Лапласа, à — гладкий контур, и.е=Ь,[01 (14— область, ограниченная Г). Докажем, что и,(х, у) слабо сходится цри е-е-0 к Р(х, у)/ /й'(х, у) в области й. Очевидно, что сопряженный оператор сходйтся при е-з-0 к оператору умножения на Й*(х, у). Для при- мьчения теоремы 2.1 остается доказать ограниченность ||и.|! при е-е.О.
егмножим (1.11) на (1+э|не — ) и проинтегрируем по х, у е! в й. Интегрчрованием по частям получаем Д ~ и (1+ зше — ") ие ~ йх йУ + Д йе (1+ з1п' — ") и~Их йу = а а =ДРие(1+з(п — ")йхйу~~р(1+еще — ")~||и [~С[Р[|[и,[ Следовательно, Цйеи4хау(с!!рине||; значит, а [ ие [ ~ — |! Р |!. ЗО 5 . 2.
Условия сильной сходимости решений П дем теперь к установлению условий, при которых послеовательность решений уравнений вида (1.1) сходится к решению го уравнения (1.2) не только слабо, но и сильно. Но решение уравнения вида Ах зто обращение оператора А, поэтому нам удобнее будет сформулирова овать и доказать соответствующий результат не для уравнени, а й, для обратных операторов. Здесь мы рассмотрим общий случа опе й операторов действующих из одного банахова пространства ) з другое. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
