Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 3
Текст из файла (страница 3)
с=0(Л) и Аи=Ли для всех иен0(А). 10 Ниже мы будем рассматривать, как правило, операторы или замкнутые, или такие, для которых существуют замкнутые расширения. Если оператор А имеет замкнутые расширения, то среди них существует наименьшее (т. е. имеющее наименьшую область определения), называемое замыканием оператора А. Мы обозначим его ЛЕсли область определения 0(А) оператора А всюду плотна в В„ то существует однозначно определенный оператор А', действующий из В, в В, (' означает сопряженность) и удовлетворяющий условию (Аи, ф) = (и, А'Ф) (где фенВ,) для всех и~0(А).
Нетрудно проверить, что сопряженный оператор всегда замкнут. Если нз Аи=О следует и О, то на )с(А) определен обратный оператор А ', область значений которого есть 0(А). Из определения следует, что оператор А замкнут в том и только том случае, если замкнут оператор А-'. Замкнутый оператор А, удовлетворяющий условию,0 (А) =В,, ограничен. Пусть А — линейный замкнутый оператор в гильбертовом пространстве Н с плотной областью определения .0(А).
Тогда существует оператор В= [1+А'А)-', являющийся ограниченным самосопряженным оператором, причем !!В(! <! Оператор АВ также ограничен: !!АВ!!(1. Области определения Р(А ) и Е)(А А) операторов А и А'А плотны в Н. Оператор А существует и равен А. Ниже нам придется все время пользоваться понятием сходящейся последовательности операторов. Можно определять различные виды сходимости линейных операторов. Для нас будут существенны следующие.
Пусть (А„) — последовательность ограниченных операторов. Говорят, что эта последовательность сходится равномерно к оператору А, если !!А — А!! О при п — ~-оо. Последовательность (А„) линейных операторов (вообще говоря„ неограниченных) с общей областью определения 0 называется сильно сходящейся на 0 (к оператору А), если для любого иыЮ !!А„и — Аи!!-1-0 при п-ьоо. Наконец, последовательность (А„) называется слабо сходящей-'- ся (к А), если для любого иеех) последовательность (А„и) слабо сходится к Аи. Иначе говоря, это означает, что (А и, ф)-~-(Аи, ф) для любого иена и любого ф~ В,.
Связь между этими тремя видами сходимости можно изобразить. схемой равномерная-ьсильная- слабая Применительно к линейным преобразованиям конечномерного пространства все этн трн вида сходимости означают одно и то же; в бесконечномерном случае эти понятия различны. Сформулируем известные результаты о сходящихся последовательностях линейных операторов, на которые нам придется опираться ниже.
1. Тео рема Бак аха — Ш т ей н г ауз а. Пусть (А„) — ограниченная последовательность линейных операторов, действующих из В, в В„т. е. пусть зА„за М (М=сопз1) для всех и и пусть !!А ( — Ал — а-О для всех (, принадлежащих некоторому множеству, всюду плотному з В,. Тогда зА„( — АД-а.О для всех [~Ва и ЩА![(М. 2. Если последовательность ((„) ([„~В,) слабо сходится, то (!!ЦЦ ограничена. 3.
В рефлексивном банаховом пространстве всякая ограниченная последовательность слабо компактна. 4. Если в банаховом пространстве последовательность ((„) слабо сходится к (, а (з( з) сходится к ~Щ!, то ((„) сильно сходится к (. 5. Те о р е м а Л е б е г а. Если последовательность измеримых на [О, 1) функций ((„(()) сходится почти всюду к ((() и ограничена ( а аа ааа а а а а.- [Р.еа) ° а ° а а Ниже придется рассматривать операторы, действующие в пространстве функций со значениями в банаховом (в частности, гильбертовом) пространстве.
Для нас существенны будут трн варианта такой конструкции. а) Пусть В, — банахово пространство и пусть С(В,) — совокупность функций и(() со значениямн в В„ определенных на отрезке [О, з) н непрерывных (т. е. таких; что ци(() — и((,)![-ьО прн (-а(.). Определим в С(В,) норму [и(() [= зпр1и(() [ай прн этом С(В,) становится банаховым пространством. б) Пусть Н вЂ” гильбертово пространство и пусть Т.а[Н1 — совокупность функций Ь(() со значениями в Н, измеримых (в том смысле, что ((а((), (аа) есть измеримая числовая функция при любом ,Ь.~Н) н удовлетворяющих условию ~ [(а(()[йй(к,.
оо. Ясли определить скалярное произведение в Т.а[Н) как аа (Ь((), д(()) = $ (Ь((), д(())нй(, 12 то Та[Н) бУдет гильбеРтовым пРостРанством, сепаРабельным, если сепарабельно Н. Нам понадобится следующий факт: если функции И, де=Т.а[Н) стремятся к нулю прн (-а"~оо и (а а Ы яЕа[Н), то [д( ®У()) ( ()' и ~()) ' Для доказательства реализуем Н в виде пространства последовательностей (,. Тогда каждый элемент из Е,[Н) есть последовательность (а„(()), где а„(() — измеримые числовые функции и аа '~~ ~ аа,(() й(к. оо.
Скалярное произведение элементов а, ЬенТ.а[Н) запишется в виде (а,Ь)=У $ .(()Ь.(()й(. гз Еслн все а„(() н Ь (() стремятся к нулю прн [([-а-оо, а„, Ь вЂ” элементы из Т.,[Й], то Оа ао $ а' (() Ь (() й( = — $ а„(() Ь„(() й( н, следовательно, '~ ~ а„' ф Ь„(() й( = — '~, '~ а (() Ь„' (() й(. в) Пусть  — банахово пространство н пусть Еа(В) — совокуп- ность функций и(() со значениями в В, определенных на отрезке [О,з) н таких, что функция !~и(()!! ннтегрвруема по ( на [О,з). Определим норму в Е,(В): а '1 и (() [сиз( = ) [ и (() [ей(; а при этом Е.а(В) становится банаховым пространством.
Функции со значениями в В, принадлежащие Е,(В), называются функциями, интегрируемьами по Бохнеру. Множество всех двузначных функций фундаментально в Т.а(В), т. е. линейная оболочка этого множества плотна в Ьа(В). $2. Основной метод оценок решения Основную идею метода мы изложим вначале на простом примере. Пример. Рассмотрим в Т.а[йа) оператор Т,=А — +В=А(х,у) — +В~к,у, — ), д д т/ да дх дх '~ ду ) Следовательно, 1ф(х) и1'» №1ф'и1'. Полагая ,(х) (х — Ь)' ри х>~, 0 при х»$, где й — любое целое„й)У, получаем ~(» — $) ~ и*«1у«(х»ЛАНЧИ~(х — $)Р»'«(х ~ и»«1у. (2.1) При й=1 интегралы в правой части неравенства сходятся. Из этого неравенства следует сходимость интеграла в левой части.
Предположим по индукции, что интеграл лэ Ю [р* — 1р 1 'ррррр сходится. Из (2.1) следует сходимость интеграла~(х — $) ~ и'«(у«(х. Е. Отсюда следует, что все интегралы в (2.1) сходятся при й=п, где и — любое положительное число. Обозначим рр рл Ф, (В) ~ (х — Ц $ и'«1у !(х. Тогда из (2.1) имеем Ф ($) » № Ф ($). »р * р р !»,1 'л,рррр р больших $.
Имеем Фл ($) «» (1 + б 1) Ф» !Ер)р где В(х, у, д/ду) — линейный оператор, коммутирующий с х, А (х, у) — числовая функция, [А(х, у) [»1. Предположим вначале, что оператор Е-' существует и ограничен: ![Х-'[!»М. Пусть иепЬ1— решение уравнения Йи=Х(х,у), Х-Ь„Х(х,у)=0 при х>х. Очевидно, что если «р(х) — кусочно дифференцируемая функция, причем, если ф(х)Х(х, у) О, то Х (фи) = Х.
(фи) — фХ=Аф,и. где б„-р.О при и-мю. Домножив обе части неравенства на Ф„Р-рО и проинтегрировав от $ до со, придем к неравенству Ф' а — (1 + б НФ„) . Отсюда, учитывая, что Ф (со) =О, получим Ф,(э)»е Ф Я,), $ )х. (2.2) Приведем пример оценки решения обыкновенного дифференциального уравнения, когда (2.2) остается справедливым при б„О. Пусть Х вЂ” + 1.~ Тогда !!1. '~1»1. Пусть Ьи=О при х: а; тогда «Ех при»)а, и=Се (х — В) и»«1х= — Се Е. 1»» 12»)! 2»л+1 Е Следовательно, Ф. 6) = е 'Ф» Йе). Из (2.2) следует оценка для ~ и*дх, поскольку Е ~ «1» ~ и'«1у» ~ (х — $)'"«1» ~ и*«1у» ~ (х — Ц~ ах ~ и*«(у= Фл(й).
Е+1» Е+1 лр !Г -лр Замечание 1. Нетрудно видеть, что от оператора В требуется лишь, чтобы он коммутировал с «р(х). От оператора А, помимо этого, требуется ограниченность. Следовательно, В может быть матрицей, содержащей производные по всем аргументам, за исклю- . чением х, с любыми коэффициентами, зависящими от всех переменных. Оператор А может быть матрвцей с ограниченными элементами, зависящими от всех переменных.
Иначе говоря, А(х) и В(х)— операторы в некотором гильбертовом пространстве Н, зависящие от х как от параметра. Будем обозначать норму в Н через ![ф[ . д Оператор В=А — +В(х) будем рассматривать в гильбертовом дх пространстве Ьр[Н! функций от х с интегрируемым квадратом, принимающих значения в Н. Если А(х), В(х) — матрицы, то элемент йЫ,[Н] будет столбцом й. и в определение нормы войдет также сумма по индексу «р. Поэтому (2.1) остается справедливым для сястем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по х. Аналогичный метод можно применить в банаховых пространствах.
Замечание 2. При выводе формул (2.1) мы требовали существования и ограниченности оператора Х-'. Однако, если учесть, !5 что ф(х) =0 при х($, то станет ясно, что достаточно потребовать существования и ограниченности оператора Ц', где Аь †сужен оператооа Х на множество функций, обращающихся в нуль при х 3 (Ь«с=Ь). При этом норма обратного оператора ~С~'[= Ф($) будет зависеть от й, и в неравенствах (2.1) вместо У можно написать Ф(3).
Это замечание будет особенно важно, когда мы перейдем к операторам вида Е = — — + В(х), ее например, не имеющим обратного. Здесь, если В(х) )О'пря х ь а, причем В(х))Ю(б) при х ~ф~а, то на функциях, равных нулю при х(3, обратный оператор 11' будет существовать, причем ьэ 1~И(э). 3 3. Дифференциальное уравнение второго порядка с операторными коэффициентами Изложенный метод мы применим для получения оценок собственных функций самосопряженных операторов. Рассмотрим пространство .1.,(Н) функций д(х) со значениями в некотором гильбертовом пространстве Н: ФВ Ю [у[«= ~ ~д(х)!ййх, (у„у,)= ~ (у,(х), уе"(х))н йх.
Рассмотрим в й(Н) самосопряженный оператор е« .(. = — — + В(х), ег« (3 О)- где В(х) коммутирует с оператором умножения на х и удовлетво- ряет условию ОВ О (В(х) у(х), у(х))н йх~ а« ~ [у(х) [«н йх, $-«-оь, и у(х) 1е Р(В(х)) Е (3.1) (Р(В) — область определения оператора В). Теор ем а 1.1. Пусть Х вЂ” точка дискретного спектра оператора Х, й<ее — расстояние от точки Х до предельного сиектра оператора Х, а=й« вЂ” Х. Каждая собственная функция ф(х) оператора Е, отвечающая собственному значению Х, удовлетворяет неравенству ) ! ф (х) $с йх ~ с (б) е'1'-«1 "1, (3.2) де б>0 — любое заданное число, с(б) — константа, зависящая а от б, [04а+(0,16а*+0,2й«)'«)в (3.3) и является точной константой ).
г ледствие. Пусты ф(х, у, г) — собственная функция уравнения Шредингера — аф+и(х, у, г)ф 3лр и пусты пИ и(х, у, г) ~ йе. Известно [10), что для этого случая !ф(,у, )!*=!ф(р)~* =с ~ ~ф(арй(), (3.4) Ряб где РЦ вЂ” расстояние между точками Р и Я. Тогда из (3.2) и (3.4) следует оценка ! ф (х, у, г) ~е ( с ~ йх' Д ~ ф (х', у', г') !е ду' йг' ~ с(з) е'<'-е1"е, е-« 6Ф где в выражается формулой (3.3). Из этой оценки следует оценка в 1па. ! у (х) 1« ~ 'я ~ (у, ф«) !е + Е-1 +,'Е ((ф«и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
