Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Поскольку (Щ) ' вполне непрерывен почти для всех х, то в силу леммы 2.1 ЦУ Цо=о'р ', где о' — 0 почти для всех х. Очевидно, о* измерима на интервале Л=( — Н, б/) н на этом интервале в~ стремится к нулю по мере. Значит„для произвольных б>0, о)>0 можно указать р=р(»1, 6) такое, что для каждого т>р найдется множество Р с:Л, удовлетворяющее условню щез(йу'~,р ) (т1 и в,' (6 для хенр . Следовательно, ~ Цу Ц»ах<6~ п1ах(ЦЙ Ц»,а)дх-" зи ~т (6 Ц 6/о Ц'+ а) дх (бе+ ба 1пез Р„( 6(с+ 2аб/). С другой стороны, ) !1У Цодх(сп1ез(Л'~Р ) (с»1. Таким образке,и зом, Ц Цу Ц»дх( — при т>р, если Ч< —, 6<(8с+16аб/)-у. 4 зс 1х~и,н РассмотРим тепеРь Ц ЦУооЦ»дх. Если на 12» пРи ~й)>й, и в=е ра >н функция у„енбг', то, используя теорему о среднем, для некоторой точки х ен(го получим (У~, оУгоу ) дХ =ЦУ (Х» )Ц» = ) дх« Г (У ° 'и'У ) (Ууи Уиу) » «Ц Уп~ (Х»гв) Ц* Ф» (В) » «Ц Ууи (ХЬи) Ц*; Отсюда следует, что всегда найдется точка хь оаг(г» такая, что Цу,„(Х» )Ц»(16~ (ЦУ„,Ц»+ (уиу 1~у„)) дх.

а» Вместе с тем для любой точки хеи»г» к Ду (х)Ц' — Цу (х' )Ц'1 2 ~ (у,у')дВ ( ко ьи (~ (Цу Ц'+Цу Ц)дх(~ (Цу Ц»+(у Ау ))дх. (2.11) Отсюда ЦУ (х) Ц»с(х ( $ Цу (х» ) Ц»дх+ у) (Цу (х)Ц» — Цу (х»о )Ц»)дх( а» Я» а» <17е ) (ЦУ~Ц»+(у„,,Щ,„))дх. а» Таким образом, получаем Цу (х) Ц» дх ( 17ее ( 1/4. 1х!>ч Следовательно, при т .р имеем йу Цн,(1/2, что противоречит условию ЦУ„Ц»,=1. Теорема доказана. 3 а меч анне.

Если заменить константу 1/(16 в') на с(в)( (1/(16 в') такую, что с(в)- со при в — у.О, то теорема 2.4 остается в силе. й 3. Ряды теории возмущений для обратного оператора Те ор ем а 2.5. Пусть линейные операторы А, В, действующие из банахова пространства В, в банахово пространство Во, удовлетворяют следующим условиям: 1) замыкание А+еВ существует; 2) область П(А+еВ) плотна в В,; 3) А=Вщ(А+еВ); у о 4) оператор (А+еВ1 ' равномерно ограничен при е- 0; 5) существуют элементы А '(ВА ')о/, /»=1,2,...,п, /~В», (3.1) 41 если же у не принадлежит У, то найдется такая точка х», что Цу (х» )Ц»= — ~1 Цу Ц»и (16 1 Цу Ц»дх 1 Тогда ] 1А + еВ] 1 ~ — А 1 'Я ( — 1) е»(ВА 1) 1'1 =0 (ел).

Док аз а тел ьств о. Заметим вначале, что поскольку п элементов вида (3.1) существуют, то (и — 1) первых элементов принадлежат Р(А) и,Р(В), а следовательно, и Р(А+еВ) с: с:Р (А+ еВ). Докажем тождество Л 1 (А-1-еВ) »1=А ' ~~~~ ( — е) (ВА 1)~)+(АА+еВ) '( — е)л(ВА 1) Г. ГЛАВА 3 ВОЗМУШЕНИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ Действительно, подействовав на обе его части оператором А+еВ (это возможно в силу сделанного выше замечания), получим Л 1 Л-1 7 = 'Я ( — е))(ВА 1) ) +еВА 1 д1,' ( — е)» (ВА 1)~7+ ( — е)л(ВА 1))Г = 7.

»=« »=а Поскольку оператор (А+еВ)-' существует и ограничен, то тем самым тождество доказано. Имеем л (А+еВ) 1~ — А 1 'Я ( — 1) е» (ВА ")») = »=« =ел] ((А+ еВ) ' — А ') (ВА ')л)] По предположению А-'(ВА-') "1 существует, т. е. (ВА ') "~~Я(А).

Следовательно, в силу теоремы 3.2 1(]А+ еВ] ' — А 1) (ВА 1) "1]-»-0 при е-«.0. Теорема доказана. ф 1. Введение В этой главе мы будем рассматривать однопараметрические полугруппы операторов Т„О(1<пи, определенные в некотором банановом пространстве В и удовлетворяющие следующим условиям: 1) ограниченность: !1Т,!! (й, 0(г~з (постоянная я зависит, вообще говоря, от з); 2) сильная непрерывность, т. е. Ь Т1.«,à — Т111- О, ]'енВ, при е-«О при всех 1, включая 1=0. При этих условиях предел А = 1пп — (Т,— 1) а (здесь 1 — единичный оператор, а предел понимается в смысле сильной сходимости операторов) существует и представляет собой замкнутый оператор, имеющий всюду плотную в В область определения «).

Он называется произеодяа4им оператором полугруппы Т,. Нас будет интересовать связь между сходимостью производящих операторов и сходимостью отвечающих этим операторам полугрупп. Для того чтобы сама постановка такого вопроса имела определенный смысл, нужно предварительно установить, что полугруппа Т, однозначно восстанавливается по своему производящему оператору А. Если оператор А ограничен, то это непосредственно ясно, ибо тогда ,4л~л Т,= '5' — =е.41 (1.1) л! л=е причем ряд сходится при всех 1. Если же оператор А неограничен, то ряд (1.1) непосредственного смысла не имеет; тем не менее по- «) См., например, [35, 46].

Тогда ([А+еВ)-аà — А-~ 'Я ( 1) ее(ВА-а))11=0(е ). о=о Дока з ател ьств о. Заметим вначале, что поскольку В элементов вида (3.1) существуют, то (и — 1) первых элементов принадлежат Р (А) и Р (В), а следовательно, и Р (А+ еВ) ~ ~Р(А+еВ). Докажем тождество л-» (А+ еВ) аГ=А ' ~ ( — г)" (ВА ')" ~+(А +еВ) '( — е)л (ВА ')"Т'. ГЛАВА 3 ВОЗМУШЕНИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ Действительно, подействовав на обе его части оператором А+еВ (это возможно в силу сделанного выше замечания), получим л-» л 1 Г = 'Я ( — е)о(ВА а) + еВА а ~~~~ ~( — е)" (ВА а) Г+ ( — а)л(ВА а))Г =Г.

о=о Ф=л Поскольку оператор (А+еВ)-' существует и ограничен, то тем самым тождество доказано. Имеем л (А + еВ) аГ" — А а 'Я ( — 1)" е" (ВА а)~ Г" = о о =ел ~((А+ еВ) ' — А ') (ВА ')лф По предположению А-'(ВА-') "Г существует, т. е. (ВА-') "16ЕВ(А). Следовательно, в силу теоремы 3.2 Ц((А+ еВ) а — А а) (ВА а) "Д-» О при е-«0. Теорема доказана.

6 1. Введение В этой главе мы будем рассматривать однопараметрические полугруппы операторов Ть 0(г<лл, определенные в некотором баиаховом пространстве В и удовлетворяющие следующим условиям: 1) ограниченность: 1~ТД(й, 0 =Г~з (постоянная Й зависит, вообще говоря, от з); 2) сильная непрерывность, т. е. ЬТ».,в' — Тв*'»1-«-0, )~В, при е-о-0 прн всех 1, включая 1=0. При этих условиях предел А = 11т — (То — Т) е (здесь Т вЂ” единичный оператор, а предел понимается в смысле сильной сходимости операторов) существует и представляет собой замкнутый оператор, имеющий всюду плотную в В область определения о).

Он называется производящим оператором полугруппы Т,. Нас будет интересовать связь между сходимостью производящих операторов и сходимостью отвечающих этим операторам полугрупп. Для того чтобы сама постановка такого вопроса имела определенный смысл, нужно предварительно установить, что полугруппа Т, однозначно восстанавливается по своему производящему оператору А. Если оператор А ограничен, то это непосредственно ясно, ибо тогда ,—, Ллол Те= 'Ч вЂ” =е", ы л о причем ряд сходится при всех 1. Если же оператор А неограничен, то ряд (1.1) непосредственного смысла не имеет; тем не менее по- «) См., иапример, (35, 461.

лугруппа Т„ограниченная и сильно непрерывная, восстанавлива-;, ется по А однозначно. Существует несколько явных формул, вы- П ражающих Т, через А. Например, ь Тс =!пп Й вЂ” -А~ ь л,с или Т[= Вше ", где А„ограничены, коммутируют между собой и " 1пп А„=.4. Сводка такого рода формул имеется, например; в книге Э.

Хил- ! ле и Р. Филлипса [46, 13]. Обобщение этих формул дано в 5 4. Полугруппы операторов, действующих в банаховом простран-; стве, тесно связаны с дифференциальными уравнениями с опера- торными коэффициентами. Если А — производящий опеоатор огра- ниченной сильной непрерывной полугруппы Т, и /,е=.Р(А), то функ- ция /(с) = Т)/, со значениями в В удовлетворяет дифференциально- му уравнению а[/[![=А/ в том смысле, что !!(/(1+г) — /(С))/е — А/Я !! — «-0 при е-~-О. Мы рассмотрим более общее уравнение вида [/иЯ/[11 — А («)и(с) =Р(с), 0(1(а, (1 2) где и(С) — элемент комплексного банахова пространства В, зависящий от действительного параметра с, Г(С) — заданный элемент из В, А(с) — заданный, вообще говоря, неограниченный, зависящий от С, линейный оператор в В.

Если оператор А (с) не зависит.от с, а Р= — О, то решение уравнения (4.2) формально дается формулой е"'и(0), где и(0) енВ. Строгое определение и свойство такой экспоненты дается в теории полу- групп. В теории полугрупп найдены необходимые и достаточные условия, которые нужно наложить на инфинитезимальный оператор А с всюду плотной областью определения, чтобы полугруппа Т,=е"' была сильно непрерывна. Нужно, чтобы существовали такие вещественные числа а в М, что все Л>ь«принадлежат резольвентному множеству оператора А н !! (А — Л) "!!(М(Л вЂ” ы)", п=1, 2, ... (1.3) (см. [13), теорема Хилле — Филлипса — Иосиды). Мы обобщим это условие (как достаточное, но не необходимое!) на случай, когда оператор А зависит от с. В дальнейшем нам понадобится менее общее необходимое условие: если полугруппа Т,=е"' ограничена единицей, то при всех е>0 оператор (1 — еА) ' определен всюду в В и ограничен единицей. 44 а 2.

Основная оценка решений эволюционного уравнения Введем следующее определение. Будем говорить, что оператор А (с) в В обладает свойством Р, если выполнены следующие условия: 1) оператор А замкнут и имеет плотную область определения Р(А (/) ) с:В; 2) существует такое ь«, что все Л>ы принадлежат резольвентному множеству оператора А(1); 3) функция [А(1) — Ц '/с (Л>ы, /сенВ) интегрируема по Бохнеру; 4) существует такое М>О, что для любого разбиения з>1,= ,=в1,3«... Эв1 3:О !![А(1«) — Ц «[А(1«) — Ц ' [А(С.) — Ц-'!!в(М(Л вЂ” [е)".

Л ем м а 3.1. Пусть А (1) обладает своиством Р. Пусть и(с)— некоторая непрерывная функция параметра 1 со значениями в Р (А (с) ) с=В и такая, что функции с[и/с/С и Р (С) = с!и/с/С вЂ” А (с) и интегрируемы по Вохнеру. Тогда ) [))[,(ч" [ [О));1)«[«)П/,««!,,) . [2!) Следствие 1. В предположениях леммы решение иЯ уравнения (1.2) однозначно определяется начальным значением и(0) и правой частью Р(/). В случае Р(С) =0 и М=1 лемма 3.1 является следствием теоремы Като [59). Метод, излагаемый ниже, отличается от метода Като и примыкает к методам Иосиды [35). До к аз а тельство л е м м ы 3.1. Введем следующие обозначении. Обозначим через С(В) пространство непрерывных функций на [О, з) со значенйями в В; норму введем следующим образом: П р(1) [в) —— щахП р(/)П,, ряс(В).

Характеристики

Список файлов книги