Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

по степеням е, где З« — собственное значение невозмущенной матрицы А(0), а ся — не зависящие от з коэффициенты. Аналогичное представление имеет место и для собственных векторов ф,(а). В некоторых задачах, также относящихся к теории возмущений, приходится искать представление в виде ряда по степеням з для той или иной функции от А(з), например для (А+еВ)-' или дли ехр(А+аВ). Все эти задачи, не вызывающие больших затруднений, когда речь идет о матрицах, становятся весьма сложными, если вместо матриц рассматриваются линейные операторы, действующие в том или ином бесконечномерном банаховом пространстве.

В конечномерном случае очевидно следующее. Если А(е) =А+ +еВ, то при з-~-0 имеют место предельные соотношения 3,,(а)-»4«, ~р„(з)-+.ф„(А+еВ)-'-э-А ' (если А-' существует), ехр(А+еВ)-+- -ю-ехр А и т. д., т. е. собственные значения, собственные векторы, обратная матрица и т. д., отвечающие невозмущенной матрице, служат нулевыми приближениями (т. е.

приближениями с точностью до членов, стремящихся к нулю при е-»О) соответствующих вели« чин, относящихся к возмущенной матрице А+зВ. В противоположность этому, для операторов, действующих в бесконечномерном пространстве, вопрос о нулевом приближении (т. е. о сходимости при е-+О) некоторой функции возмущенного оператора к той же функции невозмущенного оператора представляет существенную трудность, а иногда соответствующий предельный переход может оказаться вообще невыполнимым.

В качестве примера можно указать известную теорему Г. Вейля, из которой, в частности, следует, что всякий ограниченный самосопряженной оператор А, действующий в гнльбертовом пространстве, можно представить соображений топологические утверждения доказываются в гл. У в формулировке, достаточной для приложений, но более ослабленной, чем та, которая дана в гл. 2. В гл. 9 рассматривается асимптотика решений уравнений туннельного типа. В Добавлении исследуется асимптотическое поведение решений эволюционных уравнений с быстро убывающими начальными ванными.

Асимптотики решения линейных задач оказываются частным случаем асимптотик, полученных в гл. 1 — 4 части П, и вместе с тем интересны сами по себе, поскольку обладают свойством самоподобности. Это свойство оказывается присущим и ряду нелинейных задач, рассмотренных также в Добавлении. ЧАСТЬ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ВВЕДЕНИЕ Исходным пунктом обширного круга вопросов, который объединяется общим названием «теория возмущений», служит следующая задача. Пусть нам известны собственные значения и собственные векторы матрицы А. Требуется найти собственные векторы и собственные значения матрицы А (з) =А+зВ, (0.1) где  — фиксированная матрица, а — малое число. Решение этой задачи хорошо известно.

Оио состоит в том, что собственные значения Л»(а) матрицы А(е) записываются в виде ряда Л»(з) =Л»+еС,»+е»С»»+... по степеням з, где Л„ — собственное значение невозмущенной матрицы А(О), а см — не зависящие от з коэффициенты. Аналогичное представление имеет место и для собственных векторов ф»(а). В некоторых задачах, также относящихся к теории возмущений, приходится искать представление в виде ряда по степеням е для той или иной функции от А(з), например для (А+зВ)-' или для ехр(А+аВ). Все эти задачи, не вызывающие больших затруднений„ когда речь идет о матрицах, становятся весьма сложными, если вместо матриц рассматриваются линейные операторы, действующие в том или ином бесконечномерном банаховом пространстве.

В конечномерном случае очевидно следующее. Если А(е) =А+. +зВ, то при е-~-0 имеют место предельные соотношения Л„(з) — «Л», »р»(е)-+~~„(А+зВ) '-«А ' (если А-' существует), ехр(А+зВ)-« -»ехр А и т. д., т. е. собственные значения, собственные векторы, обратная матрица и т. д., отвечающие невозмущенной матрице, служат нулевыми приближениями (т. е. приближениями с точностью до членов, стремящихся к нулю при з-«0) соответствующих величин, относящихся к возмущенной матрице А+еВ. В противоположность этому,для операторов, действующих в бесконечномерном пространстве, вопрос о нулевом приближении (т.

е. о сходимости при з-«О) некоторой функции возмущенного оператора к той же функции невозмущенного оператора представляет существенную трудность, а иногда соответствующий предельный переход может оказаться вообще невыполнимым. В качестве примера можно указать известную теорему Г. Вейля, из которой, в частности, следует, что всякий ограниченный самосопряженной оператор А„действующий в гильбертовом пространстве, можно представить T как предел (по норме) последовательности операторов А, имею~щих чисто точечный спектр.

Если рассматривать оператор вида (0.1), где А и В неограничены, то само понятие малости возмущения теряет определенный смысл: здесь кет оснований ожидать, что влияние возмущения зВ будет в каком-то смысле мало даже при сколь угодно малых з. Для получения содержательных результатов обычно приходится требовать, чтобы возмущающий оператор был в некотором смысле «подчинен» невозмущенному оператору.

Другая возможность (кменно ее мы будем рассматривать ниже) состоит в том, что можно наложить некоторые условия на поведение А(з) как функцни от е при з-~.0. При этом нет необходимости считать, что зависимость А(з) от параметра е определяется именно формулой (0.1). Методы теории возмущений широко применяются в различных физических задачах, в частности в квантовой механике.

Гамкльтоннан некоторой квантовомеханической системы часто можно рассматривать как сумму вида Н Н,+«Нь (0.2) где зН, представляет собой малую «поправку» к невозмущенному гамильтониану Н„собственные функции и собственные значения которого считаются известными. (Такая ситуация возникает, например, в случае системы частиц, слабо взакмодействующих частиц, а зН, — их взаимодействие.) Если рассматривается оператор вида (0.1), где В ограничен, то известно, что перечисленные задачи теории возмущений имеют решение при достаточно малом е. Решение поставленных задач дается в виде сходящегося ряда по степеням з.

Приведем соответствующие формулы (так называемые формулы теории возмущений) СО (А+ зВ) г=А 1',~', ( — 1)" еэ(ВА 1)", (0.3) (0.4) где контур — кривая в комплексной плоскости, пересекающая действительную прямую в точках Х,— Ы/2, Л~+Ы/2. При этом, Ф Пусть А к  — самосопряженные операторы, Х, — изолированная гп-краткая точка спектра оператора А, д — расстояние от Х, до остального спектра А.

Проекционный оператор Е~,,и„~,+,о. на подпространство соб- А ствениых функций оператора А, отвечающих точке Х„имеет вид Ех ~ил, ги = —. Ж (А — г) ' Иг, (0.5) 2я~ л очевидно (г, Ае, ~,,„, „„,я) А А (я. Е„, „„„„„,у) для любого д, проекция которого на рассматриваемое надпространство собственных функций отлична от нуля. При достаточно малом з проекционный оператор Е"+' имеет размерность гл к Е~~~«~.

~,„и» = — ф (А — г) г ~~~, ( — 1) з» [В(А — г) ']" иг, (О.бд » е где контур — окружность с центром Х. и радиусом д/2. Следовательно, собственные функции и собственные значения оператора А+еВ' в Н/2-окрестности точки Х, совпадают с собственными функциями и собственными значениями оператора о 6Ю (А+еВ) — Я~(А — г) 1 'Я ( — 1) е" [В(А — г) 1)»сХг, (О,у)) который можно рассматривать на подпространстве размерности пи Последняя задача сводится к отысканию собственных функций и собственных значений симметрической матрицы порядка т. Полученные таким образом ряды для собственных функцкй и собствейных значений оператора А+зВ называются рядами теории возмущений.

В учебниках квантовой механики [20, 48) приводятся обычно лишь первые два члена этих рядов. Мы будем рассматривать в первых двух главах лишь случай: когда спектр оператора А дискретный или имеет по крайней мере одну изолированную точку Х. Задача о возмущении унитарных операторов к однопараметрича ческих полугрупп операторов рассматривается в гл. 3. Там же ется более общая задача — поведение при и-~-ао решения у авнения ния урав- 1 — — Ал (/) и = Р (1), . ди ш удовлетворяющего начальному условию и(0) и,. Здесь А„р) некоторый оператор в банаховом пространстве В, непрерыв щ от параметра г н сходящийся в некотором смысле при но зал-~-оо, Е(1) — заданная функция от г со значениями в В.

В гл. 2, 4 изучается н более общая задача. Она ставится следующим образом. Пусть семейство (Т,) операторов (или последовательность операторов (Т„)) в банаховом пространстве В, зависящее от параметра з, сходится в том или ином смысле к предельному оператору Т. Прямая задача теории возмущений заключается в построенни аппроксимации оператора Т,' (илн Т„') с помощью известных операторов Т к Т-'. Так же изучается и обратная задача теории возмущений — выяснение существования обратного оператора Т-' к айпрокснмация его с помощью семейства Т,'.

ГЛАВА 1 ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ И ТЕОРИЯ ВОЗМУШЕНИИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ й 1. Некоторые сведения из теории операторов Мы будем рассматривать линейные операторы (вообще говоря, ~неограниченные), действующие нз некоторого бапахова пространства В, в другое банахово пространство В,. Таким образом, под ли.нейным операторам А понимается функция о=А (и), определенная на некотором линейном многообразии О(А)с=В„, со значениями в В„, удовлетворяющая условию А (аи,+~и,) =~хА (и,)+~А (и,) .

Область значений оператора А, т. е. совокупность (Аи; ие=-Р (А)), обозначим через В(А).,Оператор А называется непрерывным, если из и„-~ и следует Аи„— Аи. Оператор А ограничен, если знр ~~)- с. оо; ааоом 1и1 величина зпр — называется нормой оператора А и обозначает(Аи1 аао< 4) !! и1 ся [[А[!. Как известно, непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности. Если оператор А непрерывен, то его можно продолжить по непрерывности на замкнутое подпространство В(А), рассмотрением которого (вместо всего В,) можно при этом и ограничиться.

Таким образом, ограниченный линейный оператор естественно считать определенным на всем пространстве. Некоторое семейство операторов (А,) мы будем называть ограниченным в совокупности, если существует такая константа М, что [[А ![~М для всех А из рассматриваемого семейства. Оператор А называется замкнутым, если из того, что и„-1-и и Аи„-~-о, следует иен0(А) и Аи=о. Всякий ограниченный оператор замкнут, но, вообще говоря, не наоборот. Оператор Х называется расширением оператора А, если .0(А) с:.

Характеристики

Список файлов книги