Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Теорема о сильной сходимости решений. Пусть (А„) — последоват ательность линейных операторов нз банахова пространства В, в банахово пРостРанство В, с одной н той же областью опРеделения Р и пусть А — оператор, действующий из В, в В„с той же областью определения Р такой, что Ау = 11ш А„д ~у ~ Р. Операторы А мы предположим допускающими замкнутые расширения, обозначаемые Л„. Теор е м а 2.2 [13, 46!. Пусть последовательность (А„'1 существует и ограничена в совокупности: [А„'[= с.
Тогда 1) существует обратный оператор А-', ограниченный на мно- жестве Я(А), где К(А) — замьеканиг области определения опера- тора А-', 2) А=Ч=!1ш А 7(Р'ен й(А)), л-~се Доказательство* ). Для существования А ' до- статочно доказать, что уравнение Ад.-О имеет единственное реше- ние д.=О. Итак, допустим, что Ад,=О, где суеенР(А). Оценим ||уе|!.
Имеем в силу условия теоремы 11ш А„д,=Ад,; следовательно, л-+ее ||А уе|! =||Аде||+е=е (п<М.). Отсюда в силу ограниченности А„' имеем [уе[=||А ~Аете[ [Ае ||||А де[<ес. А поскольку е — любое, то ||де||=0 и де О. Докажем, что 1пп А,,'1 А Ч для )~й(А). Имеем А-'[нвР(А) сР(А„), )еИ(А).
Следовательно, оператор А„А-7' определен для всех )енй(А). По- ') Ср. гл. 4, $1 (теореме 4Л). 31 Следовательно, оператор Е,', действующий из Ф' в гильбертово пространство Е, функций от х, 1 с нормой Го ЦиЦ = цу' '] ЦиЦосй, о равномерно ограничен прн е- 0: ЦиаЦ» — ЦРЦе- 2 (2.3) из (2.1) 1 1 1 — 'Д вЂ” '"[око — ' ]~~о ра~-[1~ Га)— о о о 1 1 = ( (Р(х, 1), и) Ш вЂ” ] аЧ( —, и) сУ «= о о о 1 г ~ЦР(х, 1)ЦосУ ~/ ~ЦиЦод1+ ~/ ~~ — ~оойф ~ЦиЦойй о о о о Отсюда 1 1 г ЦиЦод1~ 1 ( Цси]оой = — ~/ ~ЦиЦоМ ЦРЦог.
а и т е осуществляется смешанная сходимость — слабая по 1 и сильная по х. для .доказательства умножнм (2.1) на дважды дифференцируемую функцию ф (1), обращающуюся в нуль на концах отрезка [О 1] вместе со своей производной, и проинтегрируем по Е 1 (1) Р' (х 1) сй = е ] ф (1) — Ш + Ео '] ф (1) и ой = о о о 1 = е ] ф' (~)и Ж+ Ео '] ф Яи сУ. (2.4) Поскольку а силу (2.3) о Г' е~ ~ ф"(г) и а1 ~ «- е ''~/ ~ (ф' (1))о Ю Ц и Ц ° ( Цо Г о ~ ' ф' ~(ф-(0)од1ЦРЦ О, ° О, о а оператор (Е') ' существует и ограничен (как обратный к эллиптическому оператору Е', см.
предыдущий пример), то из (2.4) вытекает равенство 1 1 о ] ф(~)иосИ вЂ” (Ео) 1') ф(1)Р(х, 1)аЧ= — е(Ео) о '] ф" Яи,сй. Предельный оператор имеет вид Еос= — до+со(х) с=Р(х,1). 11о теореме 2.2 и„сильно' сходится к с, если правая часть Р(х, ~) принадлежит Л(Е'). Область Я(Е') состоит из дважды дифференцируемых по 1 функций, обращающихся в нуль при 1=0 вместе со своими первыми производными.
Замыкание Е(Е') в пространстве К сохраняет одно начальное условие Р(х, О) =О. Таким образом, в случае уравнения (2.1), как и в примере а), если правая часть принадлежит Е(Е') и обращается в нуль при 1 1=0, то ] Ци,— эЦ*сй сходится к нулю. Это можно доказать и в о случае, когда правая часть зависит от е и сильно сходится в В' к некоторой функции Р, при е-о-О. Предположим теперь, что Р(х, 1) вне', но Р(х, О) эьО Докажем, что в этом случае для любой функции ф(о) на [О, 1] с интегрируемым квадратом 1 ~ Цф(1)(и,— с)]оЖ вЂ” О, о Отсюда в силу равенств о 1 1 (1) (ф(1)Р( О)а= (ф(1)(Е') 'Р( ~)В=С р(~),у [ имеем 1 1 ой!о — !о~~ о о о. !о Поскольку множество (~и,— оЦ) ограничено в Е„то это соотношение будет выполнено по замыканию для всех ф(1) с интегрируемым квадратом. 3. Теорема Реллиха. Сейчас мы укажем одно применение теоремы 2.2 к спектральной теории самосопряженных операторов, а именно получим из нее с помощью элементарных рассуждений следующую теорему Реллиха [68, 35, 70].
Т е о р е м а 2.3 (Р е л л и х а). Пусть (А„~ — последовательность самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве Н, сходяи1аяся к самосопряженному оператору А (в том смысле, что А есть замыкание оператора 11шА„). Если (Е]„"'), (Е,] — спектраль- о* Зо Л е м м а 2.1. Если А — такой вполне непрерывный оператор, что А ' существует и О(А ') плотна в Н, то для любой последовательности (у ) с:П(А ') и у й О последовательность о Р ((у ((, где р ' =(пах(ЦА 'у ((, сс), сходится к нулю для любого а>О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть уев.0 ((А-') *); тогда (у,Р А 'у )=В ((А ') у,у )( — ((А ')'у.у,.).
Отсюда последовательность р А 'у -О при т-».оо в силу того, что В(А ') плотна в Н. Так как А вполне непрерывен, то о =Д ((у.Я=ЦАП„А 'у„((~((АЦЦф А-'у Ц-~со при т-(-оо. Л е м м а 2.2 (критерий вполне непрерывности). Ограниченнь(й обратимый оператор А, для которого й(А ') плотна в Н, вполне непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности (у )~й(А ') такой, что ((у ((=1 и у,„н О, последовательность ((А 'у Ц с при т Д о к аз а тел ьст в о.
Необходимость следует из леммы 2.1. Докажем достаточность. Для подпоследовательностн т, такой, что цАу ц ) г, выполняется неравенство А' †, « — Цу »Ц =— 1АУм 1Ц е г а поскольку очевидно, что Ау»(ЦАУ»Ц й О, то по условию это неравенство невозможно при т»-+оо; значит, ((Ау Ц- О. Пусть дана последовательность (»~Н, ((1„(( 1 и ~ь н О. Возьмем такие у„вил(А '), что Цу„— )„((<г -+О при и-»оо. Имеем ((А)„((( (((А(1 — у )((+ ((Ау.(( О При П- оо, а ЗНаЧИт, А ВПОЛНЕ НЕПрсры вен.
Доказательство теоремы 24. Необходимость. Предположим, что Ь (а значит, и )(«.) имеет дискретный спектр, т. е. ((('Е.)-( вполне непрерывен в Н,. Пусть последовательность (у»)с,У такова, что ! (" (у», <Ь») йх — Ф»(а) (г, где»г»=х»+Й, (х»~-~-оо, (26) (У» У») Ф» (а) = (п1 ( — ' йх. (" (у, ««у) увК (У. У) а» Пусть уенС' — финитная функция с носителем в Я такая, что ~(р(х) ! ~1. Введем обозначения с,(в) = п(ах ) «р(х) ~, с» (в) =~(((»(х) «(х, » (р„(х)=«р(х+х,). Так как ~х,(-«-оо при й-»-оо, то 9»у» «у»= - О.
В силу критерия вполне непрерывности необ(( ч»у» )н. ходимо, чтобы Ц у«'.«у»Це,-»-оо, т. е. ь-(((ьь('И -Ц е(и..чу(ь)(ж.Г:- . о(( Так как ч(»у»еиУ, то Ц («У»у»)' ф«, = ~ Ц «р,» (х) у» (х) Ц(«йх ~ 2 ~ (((р„)» Ц у» Ц» + «р»» Ц у» Ц») с(х =с (а) ~ Цу»Ц»йх. (2.8) а» Оценим снизу Цу»«р»Цй,. Применяя теорему о среднем, для любого хаий» получим ! («. ( ((» — —,) (( «»(»(И««! =(( «»( (1' — ( «»(~(('(— а» к = «1 (ь«(ж ~)(( 4 ) («»~» ) (» ~ч«( 1 1 ((«( ««, м а» а» а» Отсюда, раскрывая модуль, получим — ~Цу Ц* Ф~Цу»Ц'~ а» о на 3 = — ) Цу» Ц»й$.
Следовательно, умножая это неравенств 2в,) а» «р»(х) и интегрируя его, получим ~ Ц«у»у»Ц»йх>Ю(р»»(х)йх 1 Цу»Ц»йй= «(в)1Цу»Ц»йЕ й» и» а» а» Отсюда и из (2.8) следует Ц(«р»у»)'ф,Ц(р»у»Ц ~с«(в)/с»(в). Отсюда же следует, что Цу»(х)Ц~о( — — Ц(р»у»Цй,. Поэтому из 2в с»(в) (2.7) следует, что «у» (у», Яу») Ц у» Ц» йх-»- оо при й — (- оо, а поскольку ((р»(х) [ (1, первый, а следовательно, и второй члены левой части неравенства (2.6) стремятся к оо.
Необходимость доказана. Д о с тат о ч ность. Пусть Ф»(а)-»-оо при всех О<а(1. Нам нужно показать, что для любой последовательности у„енЕ»()(Х) такой, что у„О, Цу 1(н,=1, выполняется ЦУЕ.у„((н,-(-оо (тогда в силу приведенного критерия оператор ()(Х) ' будет вполне непрерывным, а следовательно, ((». (а значит, и Е) имеет дискретный зв спектр).
Предположим противное: пусть существует такая по довательность указанного вида, что Ц 1/'/.У. $н. = Ц Уи'!Ь, + ~ (У., Яуи) дх ( с < °, а следовательно, ) (у„, Яу„)дх(с и ЦУ„Цй,(с. Из последнего неравенства в силу теоремы вложения следует Цу„(х) Ц'(с. Выберем из у ' слабо сходящуюся подпоследовательность у,, ф у ен Н,.
Пзскольку ууч О, то у О. Пусть РЯ) — функция, равная 1 при О( (я(х и 0 вне этого интервала. Для любой /яН, (поскольку 1Р~Н„а уиу 0) имеем сле- (2.9) оуу„о о — у ооО-(у, 1у уо) =1оуу,у„)уо о. оуооо о Выберем из у,,(0) слабо сходящуюся подпоследовательность у у (0) . 1о. Из (2.10) следует, что и у,,(х) УЛ следовательно, так как у„у н, О, то /»=О. Пусть 0<е<1/(72 с). По условию найдется /г, такое, что Ф,(е) >1 при й>й,. Положим 6/=/г,е, т=пчн й = 1/Яу .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
