Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 8
Текст из файла (страница 8)
«)~[м« /.,(В) — банахово пространство абсолютно интегрируемых (интегрируемых по Бохнеру) функций со значениями в В; норму определим следующим образом: « П/(1) Пи[в) = ~ П/(1) Пей/. /(1) - ~ (В). «) Через с.,ЭВ обозначим банахово пространство пар функций (д, /(С)), где уеиВ, /я/.,(В), с нормой П(у, /(1)) П...
=ПаП. + ~ ПР(1) П.й/. е Обозначим через /. оператор, который переводит элемент из С(1, В) в элемент из с.,[т)В (будем обозначать это действие сле- на некотором плотном в С(В) множестве Р, дифференцируемых в В,(В) функций ь(1). Т е о р е м а 3.1. Решение и„(1) уравнения ди„~д1 — А„(1) и(1) =Р (1), удовлетворяющее условию и„(0) = е„, где д',;~у в В, с (') Р„(1) — Р (1И~, д1 0, с сходится сильно е В равномерно по 1 к решению и(1) задачи Ви (1) = Р (1), и (О) = е (если таковое существует), где 1. есть замыкание оператора г(сс(1 — А (1), заданного на множестве .Р,. До к аз а тельство.
Рассмотрим операторы В„и Е из С(В) в 1.,ЕВ: 1.„и„(1) = ~и„(0), " — А„(1) и„(1)~, Хи(1) = (и(0), В (1)). Из условия (3.1) следует, что последовательность (Р ) сходит- ся к оператору Х. Из леммы 3.1 следует, что Ы ~!~(1, поэтому и силу теоремы 2.2 получаем требуемое утверждение. П р и м е р (из теории дифференциальных уравнений). Рассмот- рим задачу ди„ч (С, х) — и'-Ч" Ьи„(1, х) + с* (х, 1) и„(1, х) = Р„(1, х), д1 х= (х„..., х„), 0(1(1, сс(х, 1) (1; функция и (0)=0 б)0 Р (х 1)ыС(1, ) (с'(х 1) — непрерывная функция).
Очевидно, что для дважды дифференцируемой по х и один раз дифференцнруемой по 1 функции з(х, 1) 1 ~ '1п'~1" Ло(1) ~ д1 0 жри и-+ ьь. Кроме того„оператор и'-'1"Ь удовлетворяет условию (3.0). Все условия теоремы 3.! выполнены; следовательно, решение и„(1, х) сходится в среднем по х и равномерно по 1 прн 0(1(1 к функции с с -с ) счс.Пес' е ' Р(х, т)Нт, о где Р (х, т) =1ип Г„(х, т). .50 а 4, Теория возмущений полугрупп операторов с. Основная лемма. Пусть А (1) — одиопараметрическое (0~1~в) семейство операторов банахова пространства В с общей пл~тной в В областью определения .Рс:В. Пусть А(1) зависит от параметра 1 непрерывно, т. е.
1ппА(1)йс=А(1с)й' 'уй~О. с Пусть, далее, Р(1) — некоторая интегрируемая по Бохнеру функция со значениями в В. Рассмотрим уравнение — — А(1) =Р(1). с11 (4.11 От решения и(1) потребуем, чтобы это была непрерывная функция, удовлетворяющая нулевому начальному условию и(0) ~В. (4.2) Иначе говоря, мы рассмотрим оператор Т.
из банахова простран- ства С(В) непрерывных функций я(1) со значениями в В в бана- хово пространство У=Всхс1,,(В): 1.и(1) = ~и(0), — — А(1) и)., Еи(1) с-= У. вс Классическим решением будем называть функцию и(1), при/з~ надлежащую пересечению Р( — ) () Р и удовлетворяющую урав(,Вг) нению (4.1) и начальному условию (4.2). Решением будем назы- вать функцию и(1), если существует последовательность (и„(1)) классических решений уравнений с(и„~д1 — А (1) и„= Р„(1), сходящихся в С(В) к и(1), т.
е. ~1и(1) — и (1)1 — 0' час<с с соответствующие правые части при этом сходятся в 1,(В), на- чальные условия сходятся в В: и„(0)-+и(0). Будем говорить, что оператор А(1) удовлетворяет условию (Р), если 1) А(1,) коммутирует с А(1,) при всех 1ь 1,ез(0, з); 2) оператор (1 — еА (1) ) -' существует, ограничен единицей и определен всюду.
А(1) ез(Р). Если А (1) удовлетворяет условию (Р), то будем писать. Известно, что если при этих условиях и,сгзР н Р(1) яР, то клас- сическое решение уравнения (4.1) существует [59). 51 Лем ма 32. Пусть А„(1), А(1)е=-(Р), Р„(1), Г(1)енЕ,(В), й„ ,денВ,  — некоторая облисть, плотная в В, и пусть ) ))Г„(1) — Р(1))) Ж О, (4.3) ю (4А) (4.5) вл'л ) йрр ~)) [1 — еАл(ГЯ 'д — [1 — еА(с)] 'у))всИ-»О ю при и- оо для всех уенВ и при любам фиксированном е,>е)0. 7огда последовательность ресиений задачи ди„Я1Н вЂ” А„(1)и„Я =Ел(1), и„(0) =д сходится к решению задачи ди(1)[йс — А Я и Я =Р(1), и(0) =й" равномерно по Е т.
е. пюах [(и„(1) — и(1))( -ю.О при и-ч- оо. Доказательство. Из условия следует, что последовательность 1„. (1) = (1 — еА„Я ) ' сходится в 1., (В) к 1,(1) = (1 — еА (т) )-'.. 1 Следовательно, и В..= А 1 = — (1 — 1„в) сходится к В.=А1,=1 в 1 = — (1 — 1,) на всех элементах Е,(В) (т. е. сильно в Е,(В)). Отсю-. е да в силу вложения С(В)с=Е,(В) следует, что операторы Е',"'. С(В)-»)с: 1.юм)и (1) = (и (0), ди/Ж вЂ” В„ви) сходятся к оператору Е;. С(В)-»У: 1.,и(1) = (и(0), с(и[И вЂ” В,и) ла множестве дифференцируемых в Е,(В) функций нз С(В) (т. е.] лепрерывных функций с производной из Е,(В) ). Это и есть область[ определения оператора 1., в пространстве С(В).
По формуле (2.1) ~ имеем ] [Ес")Г'].=1. Следовательно, на области значений оператора Е„которая со-) впадает с У, в силу теоремы 2.2 имеем [Ею Г»1в при п-»оо. Иначе говоря, для б)0 найдется такое п,,(е), что при п)пюю(е)) 52 для любого элемента фе=-[с' п)ах]Есл) )р — 1, сф(] ~(б. )чяс~ю (4.6) Кроме того (см. доказательство леммы 3.1), п)ах ] 1ю ф — Е ')р[ -"-=б при е ~ еб, в~с~в в Как известно, множество двузначных функций фундаментально (т е нх линейная оболочка плотна) в Е,(В) (см.
гл. 1, $1). Пусть , = (1(с), У) и пУсть 1(1) — двУзначнаЯ фУнкциЯ со значениЯ- мне В: — (ю,)в д — в„щ[, р) [в„.)„)ю„))))лс,) ю с 1с = р, 1 р([в ) )ю))в„,)р) — п„ю))с))п) ю т Поэтому )в"') — ))лц р([в ).)п~))в )л в.с))с),)(.п. ю ю в р([в )")в")) ))в Р) — А,Р))л )[ л~ с 1в ]в ~~ ~ ] [Влв (г) — Ал (1)] ~ ('т)]вс[т, (4.7) ю поскольку в (2.1) в данном случае полагаем М=1, ею=0.
~~,=П ... 1<1ю рассмотрим оператор 1.'"') С(В) — )с: Е'"'и(1) = (и(0), ди1сИ вЂ” А„(1) и) ен[с. Обозначим [ 4"'Г'(й; И)) — [Еьп] '(й,1(1)1 = Отсюда следует, что и„, и и„принадлежат 1с(с[/с[с)ДВ(А„(1)). Имеем Ем) (ипв — ил) (О, диав/лс — Ал (с) илв 1 Влв (г) + Влв (с) сспв) = =(О, [В (1) — А (1)]и )= Следовательно, $]~кч(иле — ил)П е(1~ ~Н(~![['В (!) Ал(~)]У.(т)] Нт» Ф о е «~ Зо ~ е(ЗН [Вле (1) — Ал(()] Уз 3в + (з 1е) ~ [[Влз (5) — АЗ (1)] ззю Цвг(1'«л о ю ~ ~3 $ П [7ле (Т) 1] А (1)[о [в ю!з+ З ~ П [)555 (1) 1] Ал(1)юге еюв Ш. (4.8) о ю Рассмотрим отдельно )=~[[1 (!) — 1]А Я[[ ~11, [~]:).
ю Имеем 7 = ~ П [7, (т) — 1] [А (() — А (() + А (т)] Д з(( ( е «~ ~ 5 [7ле (1) 1] [Ал (() '4 (()] [в з(~ + ~ [ [7ле (() 1] А (() зз!Юв з(й о о Первый член правой части не превосходит 2 ~ [ [А„(() — А (!)] ( ~ Ж о и, следовательно, при л>л, может быть сделан меньше 6 (А„(г)-ю- -«-А(!)). Следовательно, при л>л, .( ~ 6+ ~ [1А (() —,. 1] А (т) Ив е((. е Оценим второй член. Пусть з)(1) — конечнозначная функция, удовлетворяюшая неравенству ~Пд(!) — А(!)Д, Ш(6, ю и пусть она принимает значение з)е (и=1, 2,, л,): д(г) =5)5 при (ю~(()„о,. Возьмем гюен0 так, чтобы Пг,— е)ЗП-"-=6.
Положив гз(1) = =г„прн (ю~(~!ю+„получим 3 юю ) [ го (г) — г) (з) [ г(з = ~ (гю — дю) (зю.„— ге) «6 ° з. о Е 5 Следовательно, (4.9) '„- ~ ~ го ٠— А (() Д еУ «( 6 (1 + з). ю Имеем З 5 '~6+ К [['-(1) — 1] АЮ1[ !(~ ~ [[7-(() — 1] [АУ вЂ” го(!)] Па+ о ю + ~ [ [У. (!) — 1] го (1)[е(!+ 6. (4.1о) е 3аметим, что [(„,(!) — 1]ГЗ(() =У (1) ( (Г) (! — ЕА„(5)))ГЗ(1) = ЕУ„,А (!)Г (Г) Следовательно, П [1„*(1) — 1]гю(1) П«е!!А„(г)г,(Г) П. Отсюда в силу (4.10) имеем .) ~ 6 + 2 ~ [А И) Р— го ()) [Ж + е ~ Ц А (1) го ()) [ з(1~ «е 6 + 26 ( 1 + 3) + е ~ ]] А 5 (55) гд (() ]] е(г о Следовательно, при л>ле и е(во = б б 2 ] ]А (() гю (() ]ей ) П Ал (з) го (з) 15(( имеем 7(46+26з.
Отсюда в силу (4.8) следует 3 5) (] 5 (иле ил)]]зУ«2з (46+ 2бз) = 4бз (2+ а) о Поскольку П [Еоо] 'П «(1, то прн л> ле а ~ «е,', имеем шах [иле — ил[= шах [Сае] '(Ь("'(и„' — ил)): = ОЯЗ~З 55ЯЗ~з «) Пь'"'(и„е — и,)[юУ «46з(2+ з), ю т. е. при л> ле и а~ее шлх!! [[~е"'Г~ — [[-'юГ'] (У (Г)) [ ~ 6 сопз!. о~юиз Следовательно, в силу (4.6) и (4.7) при л>лю' н л>л,,(е,), где зю=ш!п(е„ею'), имеем пах [[(Ьио) ' — Е 'Д Д(1), й) [( юпах[[ф"') ' — (А(ю) '] ([(1), ют) [+ + а [[(4ю) ' — ~Л([(1),а)[+ + п1ах П [(Е,, ) ~ — Е ~] (1(г) 5 й) [ 5-- 6 ° соп51. Отсюда следует, что !!ш шах1[(Ь("() — Ь ](Щ, у»»=0 (4.11) для любой двузначной функции /(1) со значениями в Р.
Поскольку Р плотно в В, то для любой двузначной функции д(Г) со значениями в В и е>0 найдется такая функция /(г), что ~ '1 У (Г) — / (1) ( й) ( е. Ф Но множество двузначных функций фундаментально в Е,(В), поэтому и множество двузначных функций со значениями в Р фундаментально в Е,(В). Соотношение (4.11), очевидно, имеет место на линейном многообразии, натянутом на это множество, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
