Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Нормы)!)е-!! ограничены (см. гл. 2, $1), поэтому )!Т„,ф — у[ !!(еа"!!-~О при й"- со. Имеем (и, )е-)-е 0 в силу слабой сходимости (~и). Из (2.3) полу. чаем (ф, Т„еД-)-е 0 при )е- со, что противоречит яредположеиию. Я 3. Теорема о сильной сходнмости обратных операторов н ее применение Из доказанных лемм вытекает следующая Т е о р е м а 4.2. Пусть (Т„) — последовательность замкнутых операторов с общей областью определения О~В и областью значе- ний Я(Т„) =В', где В' рефлексивно.
Пусть последовательность (Т„Я для де=Е) слабо сходится к элементу Ту. Пусть, далее, Т„' и Т„' существуют и последова. тельности (Т„') и (Т ' ) слабо предельно непрерьсвньи Тогда оператор Т вЂ” ' существует и ограничен на своей области определения Л= Т(0) и последовательность Т„' сильно сходится к Т 'наЯ.
Доказательство. В силу теоремы 4.1 оператор Т-' суще- ствует и (Т„') слабо сходится к Т-' на Л. Поскольку последова- тельность (Т„' ) слабо предельно непрерывна, то нз слабой сходи- мости (Т„') в силу леммы 4.2 следует сильная сходимость этой последовательности операторов. П р и м е р. Рассмотрим уравнение Г деие д'ие ~ деие . г г Ееие = е ( — + — ) — — + з1п с (х, у г) ие(х, у* г)=~ (хе ую г)е дке дуе дге е (3.Ц ~ ие [г = О, се > а ) О, с ("".= ((Уе, где à — выпуклая поверхность. Рассмотрим пространство Е,[ее) функций в области ег, ограниченной Г.
Очевидно, что оператор Е, слабо сходится к оператору де се (х, у, г) Е = — — + дге 2 определенному на функциях, обращающихся в нуль иа Г. Пока. ! м, что из теоремы 4.2 вытекает, что (и.) сильно сходится к рещеиию задачи Еесв=г (х, у, г), св !с=О. Заметим прежде всего, что обратный оператор Е,' ограничен.
действительно, умножим уравнения (3.1) на и. и проинтегрируем по х у г получим ~~ди ~ ~ди ~~~ (ди )~~ +~а(п' г с*и,'йхйуйг=~Р(х, у, г)иейхйус1г» » ~/ ~ гейхйуйг ~/с~ и,"2(хйуйг. Отсюда в силу [!и(»с~1 — (~ ()! )! — норма в Е,(ее)) имеем )! ди !!и!!е»с~~ — ~ »с(р($и!!; следовательно, ((и(!»с[)е )! и!! — и!!»с!!г 1. )(дг ) Покажем, что обратный оператор Е,' слабо предельно непрерывен. Пусть правая часть Р„(х, у, г) уравнения Е„и„=Г„(х, у, г), и!т=О, слабо сходится к нулю. Надо показать, что иее слабо сходится к нулю прн е О, и-е-ьс. Умножим уравнения (3.1) на гладкую функцию ф(х, у, г), обращающуюся в нуль на Г, и проинтегрируем по области ег„: — е Яфбеи„йее — Яф — йее+ — Ясефи ся— ое ае ае — — Я се созе — фи~йее = ['О г"„(х, у, г) фйес.
ае ое Имеем еЯ'Фг~ с(О=аЯ Мрамор- О при е- 0 равномерно по и, поскольку (и,„) ограничена по норме. Из ограниченности ди,„/дг в Е, следует г е г . 2г д (иеесеф) сесоз2 — фи,, сМ= — — ~ э(ив дхйуйг-е 0 при е-+ 0 е 2 э' е дг равномерно по и. Отсюда 1йп ') ф(х, у,г) [ —,— ' ' ие„)йхйуйг=О. ( деиее с' (х, у. г) е-~со „дге 2 67 -Следовательно, 1пп ~и,„' — — — ф~ йхйуйг=О. т де»р се аде* 2 Сопряженный оператору А= — — — (х, у, г), заданному на дв се дгв 2 гладких функциях, обращающихся в нуль на Г, есть, очевидно, саде св мосопряженный оператор —,—, — (х, у, г), заданный в областн дв ьг. Он не имеет нулевого собственного значения, поэтому область значений исходного оператора А всюду плотна.
Следовательно, сходимость (и„.). -О осуществляется на всюду плотном множестве, поскольку из огранйченности по норме (и„,) следует слабая сходимость ивв к нулю. Мы доказали, таким образом, что оператор Е,' слабо предельно непрерывен. Из теоремы следует, что семейство (Е,') сильно сходится к Е,', что и требовалось. % 4. Регулярнзация в теории возмущений слабо сходящихся операторов Рассмотрим пространство йт„[рв[ — ба нахова пространство функций д(х) (хенТт»") (р(х) непрерывна) с нормой ~у[[мн,, = ~ [Е) д(х)["рв(х)йх, р(х)в1.
» Мы будем рассматривать в Е, некоторое семейство линейных операторов (Е,) с плотной областью определения такое, что Е,' существует, его область определения содержит Ф'„[рв] и его сужение как семейство операторов нз [[т, [рв[ в Е, равномерно ограничено. [х — $ 'т Рассмотрим положительную функцию 6(у)=6 [ — ~ такую, о что ~ 6(у)йу= 1.
Относительно 6(у) сделаем дополнительные предположения: 1) ~ 6(уйу['йу< ) в 2) 6(у) Е= [[)»р [рв); 3) [$[" »»рв(х — ф) !6"6(С) [е(св(х) при [$[>1; 4)" [~) ' ~~ь) ~ (ст пРи а-~со. о йа. При р(х) =сопз1 условия 3) и 4) можно опустить 88 рассмотрим в гильбертовом пространстве Ев[)с") оператор Е.= А.)-еВ, и семейство (Ц ([.енЕ»Я")), сильно сходящееся к ~ы -Ев[й") Обозначим б(е) = [[Т'.— Двм Теор ем а 4.3. Предположим, что 1) Ее сУи[е:Явретп; 2) А») — непрерывно дифференцируемал функция; 3) операторы А т В,Е,' и Е,' как операторы, действующие из [[7р~ [р'[ в Ее[[се), ограниченьц т.
е. [Е."у6 . ( ст Ы„н[„). ~[А ~'В,Е,' д[[т -.св[й»[, и и п»ч' Тогда — ' .) птлва — л п ~~«во»»м<..»", [д (е) + е)"~ [д (е) -)- е)в где а= (2+ [у + пlц) '(1[4+ Чр= 1), с(х) — непрерывная функция. Доказательство. Имеем ф~-= [[ге [р*), (ф» Ее ~е А»»)=(ф» Ее ~е — Ев (А+кВе)А "Д— ="'(Ее ф»»вв) (А '(4 + еВе)' Ее ф* Д = (Ев ф»»ве — Д— — е(А '*ВеСе' ф, 1)~[Ее' ф[[)в — )1+к[А 'ВеЕв' ф[ [[~~.
Учитывая неравенства )[ Ее ф 1 ~~. ст [ ф $мн [[ А 'Ве[-в 'ф [[ ~~ се в)[ф [)ен [е»)» получим (ср, Е,'~е — А т~)(с(б(е) + е)[ф[ и Утверждение теоремы будет следовать из следующей леммы. Лемма 4.3. Пусто семейство обобщенных функций ().(х)) является семейством функционалов на [Р [р') и ([е(х) — ) (х), ф (х))с ( е[[ф[[ н , *), »» где )(х) — дважды непрерывно дифференцируемая функция. Тогда *) То есть 1[.— Д «, е, поскольку яменно тек определяется норме к» в '»)7 н, л дття любой фиксированной тачки х выполняется соотношение ФФ У(»)= — '16~ »- ) 1.(3)~%+О(.-).
До к аз а тельство. Сделаем в интеграле ! ( — '.=')!'., =) !" М)~' замену т[= (х — с) //е'. $'( — ". )!Г. =.='- Х!"( !" -""' мр 1рч Представим этот интеграл в виде суммы Т=Т,+УФ+ТФ: -/" Т (в«, х) = ~ [ЕУ~6(т)) !" р*(» — т)в") йт[ 1/в« У (в,х)= ( [О~6(т[)[~р (х — т[в )йт[, -1/В" Тв(в«, х) = ~ ! О 6(т[) [Ррв(х — т[вв) йт). 1/В" Имеем 1/111 Тв(в".х) «шак Р*(х — $) ~ [0~6(Ц) [Рйч« Й1«'1 .-1/Е« .. «тпах р'(х — $) [[6(з) [[Р м Й!<1 р 1Р-1 Тв(в, ») = )Р ! )Учб(т[)!'р'(х — т[в") Нт[= 1/Ф« ФФ /Ро / = ~ ! [У"6 (В) !' р* (х — "т[) (! т[ ! в")"" 1/ФФФ Ф «С (х), $=т[в".
с,[») ср в" ! [ [ "+' 1/В« Аналогичное неравенство, очевидно, имеет место и для У,(з, х). Очевидно, что Имеем ~/Р1 — /т 11~~ — '(1 Ф [~) а*1 — /и«, +1Ф( 1)ив1 — 1ар«!« «=!Ч ! Ф[ — '.1) 1* — В ФтФ.!Ф[ — — ')! ] Отсюда и из (4.1), (4.2) следует неравенство [/1 (х) )е (») ! » «Св111 -[- св (х) е11"Фтт/т+р/м1 Полагая а '=2+1/+и1//, получаем Ю [/ (х) — )в (х) ! «с(х) ет Д' = — ~ 6 ( ) / (З),Ц (4.3) что и требовалось. Полученная теорема может быть применена к интегро-диффе- ренциальным уравнениям с параметром, например, к таким, кото- рые встречаются в специальной теории регуляризации некоррект- ных задач.
Кроме того, при В,=О она может быть использована для решения некорректных задач Ти=[, если Т 1 — ограниченный оператор из Яг„[рв) в Т., С помощью леммы 4,3 можно «улучшать» слабую и сильную сходимость решений, доказанную в этой главе. В частности, если 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
