Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если рассматривать решение задачи (1.1) при г>/„то якобиан У(1, х,) может обратиться в нуль в некоторой точке 1=/'. При п=2 для аналитических коэффициентов уравнения (1.1) в простейшем случае (простая каустика) было исследовано поведенйе разрыва в точке Е=/'. Оказалось, что разрыв решения описывается весьма сложным интегралом.
Вопрос заключается в том, чтобы построить инвариантный класс разрывов К, т. е. такой класс, что если ф(х, 0) енК, то и ф(х, 1) яК н любой момент времени / Таким образом, здесь идет речь, в частности, о решении задачи (1.!) в целом для любого 1. Рассмотрим пространство Ь,[)я-, Н1 функций от х„..., х ~Р" со значениями в гильбертовом пространстве. Пусть А — самосопряженный оператор в Н, а область Р(А") плотна в Н при любом л/.
Будем рассматривать в /.,[11", Н| обобщенные функции, т. е. функции вида А "/(х), где /~/-,[)я-, Н). Не ограничивая общности, можно считать /(х)6"Р (А). Поэтому, оставаясь в пространстве ~.,[й", Н1, мы выделим класс функций, не принадлежащий пересечению областей определения оператора А и операторов д/дх, (1=1,..., и); в дальнейшем все результаты будем формулировать для функции из пространства Е,[11", Н1. Если на эти функции подействовать оператором А, или (д/дх,)", то мы придем к обобщенным функциям. Все теоремы гл.
2 переносятся очевидным образом на обобщенные функции, поэтому в части примеров, служащих для иллюстрации теорем, мы будем использовать именно обобщенные функции. Для выделения «сингулярной части» функции /АР рассмотрим фактор-пространство 5=/,[ж, Н1/Р, т. е. отождествим между собой элементы пространства Е,[1е", Й~1, разность между которыми принадлежит Р =Р(д/дх)()Р(А).
Для общего уравнения (1.16) задача также заключается в том, чтобы построить класс К~5, инвариантный относительно .уравнения (1.16), т. е. такой, что если ф(х, 0) яК, то и ф(х, 1)еяК для любого /. 9 3. Общее определение характеристик для уравнения с операторными коэффициентами Пусть Я6(В) — банахово пространство функций от х= (х„... ..., х„) со значениями в абстрактном банаховом пространстве В (например С"(В) или Жл(В)).
Рассмотрим пространство М'(В) с нормой э 1 й (х) Ь <л~ =,р; ~~ ~'"' ! + 1 й'(х)1»чи> «е щл] Обозначим через 5 фактор-пространство М'(В) /Ж' (В) . 89 й 1. Пусть Е: Я6,(В,)-~М,(В,) — линейный ограниченный оператор. "' Предположим, что Е отображает М1(В,) в Ж;(В,). Пусть В,= =М,(В,)/УФ1 (В,), Б,=Я,(В,)~Я', (В,).
Оператор Е порождает ли. нейный оператор Е,: В,-~В„называемый характеристическим оператором. Пусть для некоторой функции у(х,) уравнение Е,т(ф(х)) =0 разрешимо в том и только том случае, когда ф~С удовлетворяет некоторому уравнению типа Гамильтона — Якоби. Будем говорить, что оператор Е имеет характеристики, а уравнение первого порядка для определения функции ф(х) назовем характеристическим. Оператор Е может иметь, вообще говоря, не одно характеристическое уравнение. Когда оператор Е: С"-+ С вЂ” гиперболически оператор й-го порядка, определение характеристик совпадает с общепринятым. Пусть (А — некоторый неограниченный оператор в В, порождающий группу.
Если функция у(х,) имеет вид Ус(х,) =с'"*К, где се=В, то уравнение будем называть А-характеристическим и будем говорить, что оператор Е имеет А-характеристики. Если при этом характеристическое уравнение имеет один и тот же вид для всех неограниченных операторов (А, порождающих группу, то будем называть его сильно характеристическим и говорить, что оператор Е имеет сильные характеристики. Легко видеть, что классические характеристические уравнения для гиперболических систем являются сильно характеристическими, если считать, что решение уравнения есть функция со значениями в некотором банаховом пространстве В (например, зависит от некоторого параметра).
Для волнового уравнения д~о — =с'(х) Ьи дР ° уравнение всем этим параметрам. Пусть Х(х, р, 1) — изолированная равномерно по всем параметрам точка спектра оператора .'Р(х, р, 1, 0). Пусть Е,[К"+', Н~1 — пространство функций от х и й со значениями в Н, с нормой Я,иа „.,= Рассмотрим в Е,[К"+', Н1 оператор 'И'(х, р, 1, Ь), где р,= — (Ьд(дх. 1 — паРаметР причем в операторе вначале действует р затем х иначе говоря, 1 ОС ~с (х, р, 1, й) г (х, Ь) = ~ <~р~ ~Рк~»я(» р 1 й) ~ссо~/»с $ Ь) (9 (зягй) "[ Рассмотрим в пространстве непрерывных функций ат 1 со значениями в Е,[К +', Н) оператор д 1Ь вЂ” — '!2'(х, р, 1, й). а (3.3) Для этого оператора одно из 1/Ь-характеристических уравнений имеет вид — — Х(х, —, 1) =О.
(3.4) Оно отвечает собственному значению Х(х, р, 1). Вместо 1[й в этом примере можно взять резольвенту самосопряженного оператора А, действующего в пространстве Е, функций от т. При этом норма элемента В(х, т) еяЕ,[К"+', Н1 должна иметь вид (3. 1) является сильно характеристическим, а уравнение с2(х) (Ч.ч)3=1 (3.2) является д/д1-характеристическим. Если начальное условие для уравнения (3.1) удовлетворяет уравнению (3.2), то сильные характеристики в данном случае будут совпадать с д(д(-характеристиками. Перейдем теперь к конструктивному определению А-характеристик. Пусть .У(х, р, 1, й) — самосопряженный (неограниченный, вообще говоря) оператор в гильбертовом пространстве Н, зависящий от параметров х, р, Ь, 1 (х= (х„..., х„), р=(р„..., р„), О< ~х~ <оо, 0< ~р~ <оо, О ='1 =1,, 0<й) и бесконечно дифференцируемый по 90 Тогда уравнение (3.4) будет (А-характеристическим для оператора (3.3), где й= (А — з)-' (хенр(А)) (р(А) — резольвентное множество оператора А).
Это определение 1А-характеристик, как мы покажем ниже, согласуется с приведенным выше определением. Дадим общее конструктивное определение характеристик для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами; с помощью этого определения будет проведена классификация уравнений. Рассмотрим замкнутый оператор Ы с всюду плотной областью определения в гильбертовом пространстве Н н областью значений в Н, зависящий от 2ц+3 параметров р„..., р„, р„х„..., х, 1, ы и являющийся полиномом т-й степени параметра йч !У=Я(йор,йор„х,1,го)='Я Ю~(мор,х,1,е)(йсро)~. (3.5) 91 Предположим, что существует сильный предел 1пп юР(иор, !коро, х, 1, го) = Яо (р, р,х, !) = ~~ Ялз(р, х, !) рз, (36) г=з где 1 — некоторое действительное число.
Пусть Х(р, р„х, !) — равномерно по всем параметрам а(р(Ь а(х. р, с(р«(г1, 0(г(Т изолированная точка спектра «) оператора 'х" (р, р„х, !) кратности г(оо. Пусть А — некоторый не. ограниченный самосопряженный оператор в Н, коммутирующий с оператором Я'. Рассмотрим в пространстве бесконечно дифференцируемых функций от х и ! со значениями в Н оператор ж. вида 1 ж' — ж'( —, д, х,1, А)=~~~, Я'т( —,.х, 1,А) ( — ) =~!' у! ( — ) г=з т э (3.7) где операторы .Уэ действуют следующим образом: l д ,У)ф ш 2'! ( —, х, 1, А) ф = 'т дл ь э« А ( с-гэклуг( !рА х ! А)г!р ~ егэчл<р(с !) Я (2п) и (3.3) Уравнение Х(р, р„х, !)=О, р;=— дд дхг дд р = —, Г=1,...,п, о ) Фуннцню Х(р, рч, к, г) будем называть термом. а(р(Ь, с =.р, г(, а -х(~, 0 =!(Т, будем называть характеристическим уравнением (одним из характеристических, поскольку изолированных точек спектра у оператора ж.
может быть много) для уравнения 2ф(х, !) =р(х,!), (3.9) ф(х, !), р(х, !) енС" (Н1, Если уравнение (3.9) имеет пт действительных корней относительно р„то мы будем говорить, что уравнение (3.9) имеет характеристику волнового типа; если все гп корней р, чисто мнимы — то характеристику туннельного типа. Мы увидим из дальнейшего, что приведенное конструктивное определение А-характеристик совпадает с определением, данным в начале этого параграфа (см. теоремы 4.1,а и 4.2).
Нетрудно убедиться, что определение хаРактеристик, данное в примерах $1, следует из приведенного здесь общего определения. ГЛАВА2 КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР й 1. Одномерный случай Для построения класса К асимптотических формул, равномерных по переменной х на всей чясловой оси, нам придется вначале построить некоторый оператор, зависящий от параметра А, отображающий пространство функций на заданной кривой Г в фазоной плоскости в пространство функций на прямой. Для построения этого оператора, называемого каноническим, вводится понятие индекса пути на кривой, и кривая покрывается интервалами, взаимно однозначно проектируемыми ') на одну из координатных осей (р или д). Вначале канонический оператор определяется локально — для каждого из таких интервалов, а затем с помощью разбиения единицы строится оператор для всей кривой Г.
Канонический оператор, вообще говоря, зависит от способа покрытия кривой Г интервалами и от способа разбиения единицы. Оказывается, однако, что если кривая незамкнута, то эта зависимость проявляется лишь на величинах первого порядка малости относительно параметра А То же справедливо и для замкнутой кривой при условии, что данная кривая удовлетворяет некоторому соотношению — так называемому условию квантования Бора. Прн помощи канонического оператора мы выразим известную асимптотику собственной функции стационарного уравнения Шредингера, а также асимптотику решения задачи Коши для временного уравнения Шредингера. Приводимые в этом параграфе теоремы — частный случай более общих теорем для произвольного числа измерений.
Теоремы формулируются в Я 2 — 4. 1. Топологические предложения. Рассмотрим на фазовой плоскости «") ограниченную гладкую несамопересекающуюся кривую Г (не обязательно замкнутую), определяемую уравнениями ф=г)(а), р=р(а). Параметром можно считать, например, длину дуги, отсчитываемую от некоторой фиксированной точки. Точку кривой Г с координатами д(а), р(а) будем также обозначать а. Точки кривой Г, в которых выполняется условие Нд/Начьб, назовем неосо- «) Под этим понимается, что проекция являются днффеоморфнэмамн (гладкое вэанмио однозначные отображения с невырожденнымн якобнанами). '*) Точнее, одномерное гладкое подмногообразне (возможно, открытое).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
