Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(В). 105 Решение задачи (1.27) — (1.28) можно представить в виде и (х» у» 1) = ~~ ~К«а,» Ч> (я) б (у — уо) + Р (х. у, 1) ° ао' ' где Р(х, у, 1) — ограниченная функция, а Г,", («1, 2) есть мно. гообразие р=О, Гс" («1, 2) — соответственно сдвинутое многообразие р 0 вдоль траекторий системы (1.29), ,„«(1) 1 с»(яо /) 1 1, )~тб()«(, о. О 1) 6 ' 2 Далее, если точка х, 1 не является фокальной ни для одной из траекторий Я" (я; 0,1) («=1,2), то существует конечное число решений я«(х,г) (1 1,..., й") уравнения Я'(я, 1) =х и решение и(х, у, 1) может быть представлено в виде »Р (а1) 1ит1~ 1 и(х у 1) — У '~~~ 1 КеехР~ — — ~8+(У вЂ” У + / ф,«(я. 11 д» 1 +5(я1, 1))) «~«+р(х, У,1), 1 1 где р(х, у, 1) — ограниченная функция.
Таким образом, мы видим, что если число фокальных точек на траектории Я" (сс«1, О, 1) нечетко, то разрыв решения имеет вид полюса первого порядка; если же число фокальных точек четно„ то разрыв имеет вид б-функции. й 2. Многомерный случай Многомерный случай мы будем исследовать по тому же плану, что и одномерный. 1. Топологические предложения. Мы будем.
рассматривать гладкую и-мерную поверхность а»7(я), р р(сс), я (сс„...,я ) в 2пмерном фазовом пространстве д, р или, точнее, гладкое и-мерное подмногообразие (воз можно, открытое) Г= (д (я), р (я) ) 2п-мерного евклидова пространства, для которого выполняется условие (2.2) гл. 1 в каждой локальной системе координат я. Такую поверхность мы будем называть лагранжевым подмногообразием Г. Условие (2.2) гл. 1 означает, что ~рйа на Г локальйо не зависит от пути. Множество М многообразия Г,,удовлетворяющее условию Вд/Вя=О (как обычно, В»7/Вя обозначает .ае1((дд,/дяо(О, называется особым*). ) Относнтельно прпектпроеаппя аа плоскость Зф.'.
Лагранжево подмногообразие Г=(д(я),р(я)) обладает замечательным свойством, которое позволяет обобщить понятие канонического оператора на многомерный случай. Это свойство выражается следующей леммой о локальных координатах. Ле м м а 2.1. Для любой точки я' на лагранжевом подмногообравии Г существует поворот осей у=Ад, р=Ар такой, что некоторая окрестность точки я' взаимно однозначно проектируется на одну из и-мерньох координатных плоскостей вида у»=д,=...=д,=р,о, =... ...= р„=О.
Заметим, что преобразование вида у=Ад, р=Ар„ (2.1) где А — унитарная матрица, является каноническим. Напомним, что каноническим преобразованием является такое преобразование, которое оставляет инвариантным условие (2.2) гл. 1, Координаты Вида р» ° ° » ро яо+»» ° ° ° » я»» В которых Вуо/Вя~О„будем называть фокальными координатами точки я.
Например, в двумерном случае утверждение леммы означает, что если ранг Йдд./дяД равен 1 дР~1 нулю, то йе1 ~~ныл. Если же ранг здд»/дяД равен 1 и много- ~ дя11 образке Г находится в общем положении, то проекция подмиогообразия особенностей М на плоскость д может иметь вид кривой 1. В этом слУчае а, оРтогонально 1, а Уо напРавлено по касательной к «. Утверждение леммы в данном случае означает, что отображение окрестности точки яепМ на плоскость рь д, взаимно однозначно. Эта лемма может быть использована при выборе локальных координат (локальных карт лагранжева подмногообразня). Действительно, мы можем в качестве локальной системы координат окрестности точки я~Г всегда вместо я„..., я„брать фокальные координаты этой точки р„..., р„, е„+„..., е„. (Для произвольного подмногообразия это не имеет места.) Всякий компакт на подмногообразии Г мы сможем покрыть конечным числом областей, каждая нз которых взаимно однозначно проектируется на одну из координатных плоскостей вида р„..., ро, д„+„..., а„.
В качестве локальных координат в такой области примем р„..., р„, д,о„..., д„(локальная карта ь1„). В каждой локальной карте Й„существует точка, в которой до» д»1ь дя1 ' дя, (При й=О это любая точка карты.) Выбрав произвольно одну из таких точек, назовем ее центром локальной карты. Система локальных карт такого вида, покрывающих компакт /т, составляет канонический атлас ее компакта )т. Множество центральных точек обозначим через аа. !От Ч~ ° °" ря Назовем точки, в которых якобиан 1 [ ' ' ~ О, не1аь...,а, ) особыми, так же как и карты, у которых й=О, Остальные точки и карты назовем особыми. Введем индекс пути 1[а', а'] на лагранжевом многообразии. Рассмотрим лагранжево многообразие в общем положении относительно проектирования вдоль координат р.
Оказывается, что в этом случае подмногообразие особенностей М имеет размерность не более и — 1 и ранг матрицы 11дЖ(а)/даД при аенМ меньше и — 1 лишь для размерности, меньшей ») и — 2. Фиксируем точку а'е=М. Произведем канонический поворот вида (2.1) и в качестве локальных координат будем рассматривать ее фокальные координаты ро ю ° ° ° Ч». И паче говоря, мы возьмем каноническую карту с центром в точке сс'. Таким образом, локально й, й,(ро йм..., д ) на подмногообразии.
Проведем в этой точке единичный вектор в, касательный к многообразию, параллельно р, в направлении возрастания дв,/ /др„т. е. изменения до,/др, от отрицательных значений к положительным. Заметим, что в общем положении производная дв,/др, будет менять знак вдоль в, при переходе через а'. Таким образом, получае»1 нормальное поле на подмногообразии М. Пусть точки а' и а* — неособые. В качестве индекса (одномерного) пути 1[ос',а*] мы будем брать индекс пересечения этого пути с подмногообразием М. Таким образом, если путь пересекает подмногообразие М в направлении вектора 1„ то значение индекса пути увеличивается иа единицу.
Если же он пересекает М в противоположном направлении, то значение индекса пути уменьшается на единицу. Мы введем сейчас другое определение индекса пути, которое использует, лишь тот факт, что в. общем положейин размерность. М не превосходит и — 1. Пусть точки а' и а', принадлежащие одной н той же карте й„ являются неособыми. Мы определим индекс пути 1[а', а'] как разность индекса инерции матрицы '=~31,.-~ -,';.-' ~;. в точке а а' и индекса инерции той же матрицы в точке а а*.
Индекс пути 1[а', а"], если а" — центральная точка карты ьг», а а' — неособая точка этой карты, равен индексу инерции матрицы В„в точке а'. ТеоРема 2.1. 1пб1[а',а"], где 1[а',ао]с:Й»о не зависит от корты О»„т. в. если 1[а', а"] принадлешсит одновременно ям, а' и ,- — неосообьсе, то 1пй В», (сс') — 1пб В», (а") = 1пд В», (а') — 1пй В», (а'). (2.2) Произвольный путь 1[а', а" ] можно покрыть картами.
В каждой карте определен индекс отрезка пути "). Индекс 1[а',а"] определяется в силу аддитивности индекса. Из теоремы 2.1 следует, что 1пб ([а',а"] не зависит от покРытиЯ и не менЯетсЯ пРн непРеРывиой деформации пути 1[а',ам] в путь 1[а',а"], т. е. 1пй 1[а',а"] является гомотопическим инвариантом. Те о р е м а 2.2.
Индекс одномерного цикла есть целочисленный инвариант инфинитезимальных канонических преобразований. Пусть о(1), р(1) — решение системы Гамильтона д= Н, р= — Н„ удовлетворяющее условию в(0) =в'(а), р(0) р'(а), где в'(а), р'(а) определяют лагранжево подмногообразие Г. Обозначим В(1)=Я(а,1), р(1)=р(а,1). Подмногообразие Г, Я(а,1),р(а,1)), где 1 фиксировано, является лагранжевым подмногообразием фазового пространства. Всякий путь 1[а', а" ]~Г отобразится на путь 1,[а', а"] с:Г,. Определим индекс траектории Я(а; О, 1).
Предположим вначале, что форма ~~', Нш рг) строго положительна. Изн)=1 зестно, что в этом случае число нулей якобиана ВЯ(а, т)/да при 0<т(1 с учетом их кратности конечно. Это число мы будем называть индексом траектории Я(а; О, 1) (индекс по Морсу). Мы введем индекс пути и для произвольного гамильтониана Н, не удово летворяющего условию у' ,Нррг1гт) О.
Рассмотрим в (2п+1)- ги 1 мерном пространстве р, о, 1 (и+1) -мерную пленку Д„являющуюся объединением семейства и-мерных многообразий Г, при и, меняющемся от 0 до 1. В каждой точке пленки 11~ в силу леммы невырождена некоторая матрица типа В„. Поэтому мы можем покрыть пленку Я, каноническими картами »1» размерности п+1. Мы определим индекс одномерного пути, лежащего в пленке, в том числе н индекс траектории Я(а; О, 1).
Рассмотрим отрезок пути 1[а', а'], целиком принадлежащий одной канонической карте Й, с локальными каноническими координатами у„„концы которого являются иеособыми точками. Аналогично тому, как зто было сделано для лагранжева многообразия, определим индекс пути 1пй1[а', а'] как разность индексов инерции матрицы В„, взятых последовательно в точках а' н а'. Аналогично предыдущему определяется централь- *) Если ранг матрицы ))дд<(а)(бсср равен л — и то бгш М=п — о если Г заходится в общем положении. В доказательстве теорем, однако, используется лишь тот факт, что 4пп М(л — 1. Все остальные свойстиа подмиогообрааия а общем положеиии используются лишь для иллюстрапди. 108 ') При условии, что подмиогообразие особенностей имеет размерность, меньшую, чем и; иаиример, многообразие Г заходится в общем положеиии по отиошсяию к проекции.
Этого достаточно, поскольку общего положсиия можно достичь сколь угодно малым каиоиичесиим поворотом. 109 ная точка карты н индекс пути 1пд1[а»', а»з], где а' — неособая точ.- ка и ае — центральная точка, как индекс инерции матРицы Я, в,. точке а*. Доказательство теорем об инварнантностн будет дано в гл. 7.
Там же мы определим индекс пути, соединяющего две произволь. ные точки а' и а-". Для пленки имеет место аналог теоремы 2.1, и индекс любого пути в Я, определяется в силу аддитивности. Мы докажем, что в случае, когда путь есть траектория Я(а; О, 1) А и условие '~ Нлрчг)гз «О при х,ч»О выполнено, так определенный с/ з индекс совпадает с индексом по Морсу. 2. Определение канонического оператора. Пусть на лагранже- вом многообразии Г задана финнтная функция ~р(а)еэС" со зна- чениями в гильбертовом пространстве, носитель которой есть неко- торый компакт Я.
Обозначим снова через Ф(а) класс, эквивалент- ный Ф(а) в фактор-пространстве 5. Обозначим через ве канониче- ский атлас, отвечающий конечному покрытию (1г*') (1-1,..., М) компакта Я, а через е'(а) (1-1,,))1) — разложение единицы, отвечающее покрытию (1г".).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
