Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Выписанная здесь асимптотика сводится к общеизвестной с помощью формул, приведенных в [42). 98 от выбора путей 1[а', а'] из начальной точки в центральные точка карт. В этом случае„для того чтобы канонический оператор Ктл'",г не зависел от выбора канонического атласа и путей ![а', а"), необходимо и достаточно, чтобы точки спектра оператора А удовлетво. ряли соотношению Ь= 2п (л+ 1/21 + О( 1 ) ф л Заметим, что если положить Х 1/Ь, то эта формула совпадает по форме с известной формулой квантования Бора. Замечание относительно начальной точки атласа остается в силе и для случая замкнутой кривой. Условие (1.6), а следовательно, и инвариантность канонического оператора сохраняется при каноническом преобразовании (сохраняющем плошадь) .

4. Квазикласснческая аснмптотика. Рассмотрим на прямой задачу на собственные значения для уравнения у" + ч(~ (х) у = О, Приведенная запись первого члена асимптотики собственной функции в определенном смысле инвариантна относительно перехода к р-представлению. Предложение. Пусть функции о(х, (), ф(а) удовлетворяют условиям оенС', )ре=С'. Решение )р(х, 1) уравнения (1.6) гл. 1 с начальным условием Ф (х, О) Кчдьг%(а), Г = (дь(а), рь(а)), (1.0) имеет вид о . ) [()( о, ))) 1 и 1 ~()( ь О о ') ~гь(х, 1))едх-„, О.

Таким образом, решение уравнения (1.6) гл. 1 в любой момент 1 принадлежит с точностью до функций з,(х, () одному и тому же классу функций вида К1;„",г)р(а), где Т, Г переменны. Зто означает, что условие инвариантности в определении класса К (см. $2 гл. 1) выполнено. Принцип соответствия также будет выполнен для решеннй-такого вида.

С л ед ств не. Пусть носитель Я функции )р(а) достаточно мал: й=(а — е(а а,+е) и выполнены все условия предыдущего предложения. Тогда, если образ Я, носителя Д на Г, состоит из не- особых точек, то 1 ф (х, 1) )е с(х — ') )р* (а) сХа а(моя) (1.12) и стремится к нулю вне этой области. Если же Я, целиком принадлежит особой карте, то ~ яр, () (е йр — ~. ) <р* (а) йа Ф)ая) и стремится к нулю вне этой области. Это означает, что интеграл от ()р!' либо в х-, либо в р-представлении ведет себя при Ь- 0 как классическая вероятность л* 99 ))) (х, 1) = К1)ь,г) 'Р (а) + 2)ь (х, (), (1.10) Ге= [(2(а, 1), Р(а, г)), где (')(а, (), Р(а, () — решение задачи Коши для системы уравне- ний Гамильтона Н()(а, 1) =Р(а, 1), Я(а, 0) =д'(а), (1.11) Р(а, () = — ', Р(а, 0) =р'(а), до (О.

О до Ф ф'(я)оя, оставаясь в пределе постоянной вдоль классических траекторий. Аналогично можно показать, что все квантовомехани. ческие величины в пределе при Ь- 0 переходят в классические, т. е. принцип соответствия выполняется. Таким образом, все усло т,аа вия, требуемые в $2 гл. 1 от класса К, выполнены для К,!лд р(я). Таким образом, мы получаем переход в классическую механику в любой точке х, й Значит, предельный переход существует и в фокальных точках (точках поворота), только в этих точках функ. цию ф нужно рассматривать в Р-представлении.

Итак, мы видим (и увидим далее в многомерном случае). что переход в классическую механику (а аналогично и в геометриче. скую оптику) совершается в любой точке. Чтобы в этом убедиться нужно лишь перейти к соответствующему представлению функ ции лр, 5. Асимптотические ряды. Поскольку в дальнейшем речь всегда будет идти об асимптотических рядах, то и знак равенства мм условимся понимать в некотором оасимптотическом» смысле, ко торый мы сейчас определим. Будем говорить, что функция У (х, г) со значениями в Н экви- валентна нулю, если для любых целых Н„У„Н, функция и,-и,-м, дл'*'л~*Х (х, т) А~' и м' ' ограничена по норме в Н равномерно по дх"* дам* хеба", ген[! — з, !+з[, з>0. Будем отождествлять функции, раз- ность между которыми эквивалентна нулю.

Таким образом, функции от х и Г факторизуются по подпро- странству функций, имеющих бесконечно много ограниченных про. иззодных и принадлежащих 0(А"). Мы будем рассматривать так- же функции со значениями в банаховом и счетно-нормированном пространстве. И в этом случае осуществим такую же факториза- цию, т.' е. функции, принадлежащие 0(А") при любом У н беско- нечно дифференцируемые, полагаем эквивалентными нулю. Все равенства, которые в дальнейшем будут написаны для функций от х со значениями в банаховом или счетно-нормирован- ном пространстве, справедливы лишь с точностью до функций, эквивалентных нулю.

Далее, если мы говорим, что функция ~(х, Г, Ь) дифференцируе- ма М раз, то это значит, что все ее Ф производных по х, г' ограни- чены при й — ~-О. Если [(х, г, а) — функция со значениями в банахо- вом (или счетно-нормированном) пространстве, то Н-кратная диф- ференцируемость функции означает, что ее У производных ограни- чены по норме в этом пространстве (или соответственно ограниче- ны все нормы счетно-нормированного пространства) равномерно по й при й О. Рассмотрим функцию е*(я, Ь) (яенГ) в окрестности точки Ь=О, принадлежащую С" (я, Ь).

Иначе говоря, — е' (я, й) = "," й' — е',. (а) + 0 (й ), (1.13) да" дал !00 Слагаемое 0(й") означает, что написанные ряды асимптотические при Ь-+О. Пусть, далее, е[(я, 0) =е'(а) (1=1, ..., Ф), где е'(я) принадлежит Разложению единицы по атласу ее. Заменим теперь к у.аа в выражении ~л )л,гф(я) функцию е'(я) на е'(я, Ь). Получается семейство операторов, зависящих от Ь. Мы будем их обозначать через Кул.г.л, л1)л,г,л. К,~л,г,л. Таким образом, запись К3л,'г,лф(я) не определяет вида е'(я, Ь) пРи Ьч' О. Заметим, что два члена ука- занного семейства равны, вообще говоря, лишь с точностью до 0 (Ь): К")л,г,лф(я) = КТ|л г,лф(я) [1+ 0(Ь)[. Аналогичным образом определяется оператор КА",йгЯ где А — по- ложительно определенный оператор, )г,— его резольвента (А — х)-'.

В этом случае в формулах (1.13) надо заменить Ь на Н,. При этом е'(я, Н.) и все их производные по я будут ограниченными опера- торами в Н, зависящими от параметра а. Аналогично, если ф(я) — функция со значениями в счетно-нор- мированном пространстве, которое является пересечением банахо- вых пространств В„..., В, ..., Вол,с='Вь а А — оператор, удовле- творяющий в каждом из этих пространств условиям п. 4 $1 гл. 1, то е'(я, Н,), где Л,= (А — х)-' являются непрерывными оператора- ми в В", причем е'(я, 0) — числовые функции, являющиеся эле- ментами разложения единицы.

6. Квазиклассическая асимптотика решения задачи Коши. Пусть функции о(х, !), ф(я) принадлежат С", ф(я) финитна и пусть решение ф(х, 1) уравнения Шредингера дф Г Ьо а ЬЬ вЂ” = ~ — — — + о(х, Г)~ лР =)т'лР дФ ! 2!л Ело (1.14) удовлетворяет начальному'условию лР(х, 0) = Кйл г,лф(Я). (1.14') Тогда лр(х, г) представимо в виде ф(х, Г) =Клул,г,лл!р(я), Гс=[(1(я, Г), Р(я, Г)), (1.15) где Г, Г, р0= Р, Р= — ди(дЯ, у уо 1пб1~(яо. О 1) + [ 4 ' п[()(яо т) т)) !(т 2 о При м е р. Теперь мы покажем, какой вид имеет в конкретных случаях выписанная выше асимптотика решения уравнения Шре- дингера.

Предположим, что начальное условие для уравнения (1.14) имеет вид лр (х, 0) = ф (х) ехр ~ — ') (х) ~, ! Ь (1.16) го! Заметим, что если р'=р", а точка д=х' — особая, то интеграл (1.22) можно упростить, разложив подынтегральное выражение в ряд в окрестности точки р=р' и ограничившись первыми членами (см. (421). 7. Асимптотика решения системы уравнений. В общем случае можно считать, что функция ф(а) на многообразии Г есть суммируемая по Бохнеру функция со значениями в банаховом пространстве В. (Впрочем, во всех конкретных случаях табл. 1 ф(а) есть просто вектор-функция, т.

е. В конечномерно.) В качестве примера рассмотрим уравнение 1Ь вЂ” = — — — +йд(х, 1) ф+с(х, 1)ор, (1.23) д1 214 дно где )с(х, 1) †ограниченн бесконечно днфференцируемая гХгматрица, и4епС". Пусть ф(х, 0) = К;)„,гоф(а) е(а), (1.24) где ф(а) — финитная суммируемая функция, 1(а) = (1,(а), ... ...,1,(а)) — вектор-функция, (1(а)( = 1. Тогда оа,4)=Яко444» 4(4)ой(о ~.

34~(84 1 Ооо~ о о где выражение ехр(1 ~ 1с(Я(а, т), т1ат)1(а) обозначает функцию о 1'(а, 1) со значениями в В, удовлетворяющую уравнению = И Я(а, г), 1) 1(а, 1), 1(а, 0) =1(а) 1== В, (!.2б) ЫС Г„Я, Р определены выше',' а 7= — Г ( ' — с(Я(ао, т), т)1о(ъ — ~ 1пс1()(а', О, 1), о 8. Поведение разрывов решений гиперболического уравнения.

Чтобы получить асимптотическое разложение разрыва решения гиперболического уравнения, необходимо определить канонический »,ао д оператор КА',гл для случая, когда оператор А равен 1 — (см, 9 1 дс гл. 1), т. е. не является положительно определенным. Рассмотрим теперь случай, когда оператор А отрицательно определен. Полагаем .ао».ао К А.г = К-А г. Если оператор А не является знакоопределенным, то разложим пространство Н на сумму Н=Н'+Н- таких, что сужение оператора А иа Н+ есть неотрицательно определенный оператор А+, 104 а сужение оператора — А на Н- — неотрицательно определенный оператор А-. Пусть ф(а) =ф+(а) +ф-(а), где ф+ (а) епН+, ф- (а) ен Н-.

По определению положим КА,гф (а) = Кх+,г р (а) + Кх-,гф (а). И Например, когда А = 1 — — оператор в пространстве Н = д'о ~1.,( — оо, со) функций от т, à — прямая р=О, ф(а) =б(т))(д), то б(т) =б+(т)+б (т), где б+(т)= ~1 'ит, а') б (т) = б+(т). Поэтому о К,"'"к '1 (с) б(т) = 21(х) Ке е»б (т). Перейдем теперь к изучению поведения разрыва решения гиперболического уравнения. Рассмотрим решение и(х, у, Г) уравнения дои г дои дои 1 — — со(х, 1) ( — + — ) =О, дГо ~ дхо дуо ) (1.27) удовлетворяющее условиям и(х, У, О) =б(У вЂ” у.)ф(х), и,'(х, у, 0) =О.

(12я) Пусть коэффициенты уравнения достаточно гладки, ф(х) финитна и имеет компактный носитель. Положим А=(д/ду. Тогда А-характеристическое уравнение имеет вид ( — ) — с' (х, г) ( ( — ) + 1) = О. Оно распадается иа два уравнения — = — (1) с(х, 1) ~4' ( — ) + 1, » =1, 2. до У ~-) Пусть Я" (а,1), Р" (а, 1), 5" (а, 1) (»=1, 2) — решения систем р" ( — 1)" —, с»=( — 1)»м —, Н с(с,с)~~'+1, дс ' дао» вЂ” ( — 1) 1Н р" 1 — ( 1)" (~' ) (129) удовлетворяющие условиям гу" (0) =а, р" (0) О, 5" (0) =О. ) Об обобоненных функциях см.

Характеристики

Список файлов книги