Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Напомним, что локальной карте К отвечает а=а (у,), где у„=(р„..., р„, д,+о ..., д ). Обозначим через о(а) некоторую меру на многообразии Г, а через Е)о(а)11)у» — производную от нее по мере ар,...йр», йд»+,...~Ц„. В частности, если на Г можно ввести глобальные координаты а, то можно положить, например, Ро (а) Йк о (а) =аа,... аа„, = — = — де1 ву» ~зФ„) ] Обозначим через 1(х) совокупность номеров всех тех карт атласа Ж, которые содержат точки плоскости д=х.
Пусть А — самосопряженный положительно определенный неограниченный оператор в гнльбертовом пространстве Н, 5 — фактор-пространства Б,(Г, Н)10(А), 5' — фактор-пространство 1з(Я", Н)10)1 — ~П])(А). тат Определим канонический оператор Кйвтз из 5 в 5'. Этот оператор можно рассматривать так же, как оператор из Ь,(Г, Н) (пространство функций с интегрируемым квадратом на Г„со значениями в Н) в фактор-пространство 5'. Иными словами, мы определяем Ктлгг' Ф(Ах) (ц)~1,,(Г, Н)) с точностью до дифференцируемых функций, принадлежащих Р (А): Ктл'"г~р(а) = езт,Я ехр ( — — '" ]пб1(ае, а1]~ Фл в) (аУ (у»)), неяз) А (2.3) )р~ у»А )' з )~А 1 ААГ 2 АГ ~ ГВА]])д»ВЗ г1аА,е! ВА»ц А з а з 1! Π㻠— преобразование типа Фурье по первым я переменным функФл цин, финитной по этим переменным с носителем ]ч, т.
е. Фл т (У») ийм 4»гз А 1» ° — »Аз ] ехр 1А '5', р)Ф Ф (рз, ..., р», у»+ь ..., д») йр, ... ар», (» 1 и а Т вЂ” некоторая линейная функция оператора А. В случае отрицательно определенного А по определению полагаем Кл'.г = компл. сопряж. (К-"л,г). (2.4) Если оператор А не является знакоопределенным и А ' существует, то поступаем согласно п. 1.8 гл.
2. Теорема 2.3. Для того чтобы канонический оператор Клт;г~ нв зависел от выбора канонического атласа, путей 1)а', с4] и от способа разбиения единицы, необходимо и достаточно, чтобы для точек спектра Х оператора А выполнялись соотношения *) — (Г)]рг(ц.= 1» (щоб4) + 0 ) — ~], й 1, ..., й, (2.5) и Д (,), гдв интеграл берется по й-му базисному циклу подмногообразия Г, 1„ †инде этого цикла, й, — одномерное число Бетти подмногообразия Г. Заметим, что условия (2.5) накладывают ограничения на значения величин 1,= ~ р дд.
При к,=2 для существования такого А, чтобы выполнялось (2.3), достаточна несоизмеримость 1, и 1,. Поскольку ~ р йс и 1» инвариантны относительно канонических преобразований, то, очевидно, указанное свойство оператора Клт',ог также сохраняется при канонических преобразованиях. Если начальную точку а' атласа заменить на точку а' и одновременно величину Т заменить на оА ,~> . ] А~ дц п]пл1]е о] аз то канонический оператор останется неизменным.
Замечание. Для получения значений выражения Кл»',г~р(а) в окрестности точки х х удобно пользоваться следующим специальным атласом ве(х). Пусть пересечение плоскости д=х и Г состоит из конечного числа точек а*(х) (1 1,..., 1,). Выберем атлас вв" (х) так, чтобы каждая из этих точек была центральной точкой некоторой карты Я(х). ") Символ ) (нюб 4) означает любое число вида 1+4п, где и — целое. Канонический оператор, отвечающий атласу йН(х) в окрестно сти точки х=х, будет состоять нз суммы с, членов. Заметим далее, что прн выполнении условий (2.5) ач Ктл'.г ф(сс) =Кл',гср(а), Т= — — 1пй1 [аз, ~а) +А ~ рйч.
Условия (2.5) независимости оператора Кельт от вида канани. ческого атласа в пространстве 5 в силу теоремы 2.1 н инвариант ности 1з сохраняются при сдвиге вдоль траекторий динамической системы Гамильтона: Г- Г,. Мы будем всегда полагать, что К л",г не зависит от разбиения на канонические карты в пространстве 3, т, е. что соотношения (2.5) выполнены.
Пусть теперь ф(а) (аенГ) является бесконечно дифференцнруемой функцией а со значениями в некотором счетно-нормированном пространстве. Рассмотрим линейные непрерывные операторы е'(а, Ь) (а~Г, Ьен(0, 1)) в этом пространстве, зависящие от параметров а н Ь, а также от пути 1(а', а) н бесконечно дифференцируемые по сс и Ь при Ь=О, т. е. предположим, что выполняются соотношения вида (1.13). Пусть при Ь 0 эти операторы обращаются в финитные числовые функции е'(а, 0)=е'(сс), которые являются элементами разложения единицы по атласу ув. Подобно п.
5 $1 заменим в операторе Ктл',г функции е'(а) на операторы е'(а, сс,). Мы получим семейство операторов Кл',г,я„ Ктл"',, Ктл',г,я„зависящих от е'(сс, К.). Теорема 2.4. Пусть лагранжеву подмногообразию Г сопостпвлен канонический атлас йв" с начальной точкой а' и некоторый ,ач гператор-Ктл',г;л,. Пусть вв — другой канонический атлас подмногообразия Г с начальной точкой а'.
Тогда существует единственный оператор вида К~л;гг,л, равный Ктлгг,л,. При этом ' у=Т вЂ” — 1пс1е(ае, ссе)+А ~ рсйу. л[ае аю) ГЛАВА 3 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ й 1. Квазиклассическая асимптотика Т е о р е м а 3.1.
Пусть à — компактное лагранжево многообразие, инвариантное относительно динамической системы д' хс=рс, рс= — —, с=1, ..., и, о~С", хс 1пп = оо, а) О. и (х) )х1-~аа у' ) х )а Тогда существуют собственные значения Л„уравнения ,( — сз+Лк(и(х) — Е])фи=О, фле=Ез(К") удовлетворяющие соотношениям (2.5) *) . Те о рема 3.2. Пусть и(х, 1) в уравнении Шредингера (1.6) гл. 1 — (и/2)+4 раза дифференцируемая функция, ср(а) дважды диф еренцируема усть решение ф(х, с) уравнения (1.16) гл.
1 удовлетворяет начальному условию ф (х, 0) =. Кс)з гср (ы), Г=(с7'(а), р'(а)), х= (х,„..., х„), р= (р„..., р ); тогда решение ф(х, 1) имеет вид ф(х, 1)=Кстуь".гсср(сс)+ге(х. с) (1.2) с 'р= — и 1пс(Я(ссз; О, с)+ — ( 1 ( ' — иЯ(ае, ч), ч])-с(т 2 о ) Таким обрезом, прв Е Ез, Л 11п удовлетворяются условия ф рй1 е Ф2п(лсз+Сз/4)й+0(й').
й-(1, ..., йч), где й,— число Бетти мкогообрезня Г, — интеграл по й-му яезззксямому пкклу, !з — его индекс, тз — любые целые числа. Этя формулы носят кеззеяке е фпзкческой литературе формул Боре— Зоммерфельдз, клк формул кзектопекпя старой квантовой теорпп. В фкзкческой литературе, однако, пе былп найдены зпзчеякя коястект Са. Было известно ляюгч что сз(4 [17, 311. 113 Канонический оператор, отвечающий атласу гв(х) в окрестно.
сти точки х=х, будет состоять из суммы с, членов. Заметим далее, что при выполнении условий (2.5) ао К„"'агф(а)=К~л'г~ф(а), Т= — — 1пс(1[аз, сза)+А ~рдц. условия (2.5) независимости оператора Ктл',т от вида канонического атласа в пространстве 5 в силу теоремы 2.1 и инвариант ности !ь сохраняются при сдвиге вдоль траекторий динамической системы Гамильтона: Г-ьГс. Мы будем всегда полагать, что К л',г' не зависит от разбиения на канонические карты в пространстве 3, т. е. что соотношения (2.5) выполнены. Пусть теперь ф(а) (аееГ) является бесконечно дифференцируемой функцией а со значениями в некотором счетно-нормированном пространстве.
Рассмотрим линейные непрерывные операторы ес(а, Ь) (скееГ, Ье=-(0, 1)) в этом пространстве, зависящие от параметров сз и Ь, а также от пути 1[а', а) и бесконечно дифференцируемые по а н Ь при Ь=О, т. е. предположим, что выполняются соотношения вида (1.13).
Пусть при Ь=О эти операторы обращаются в фннитные числовые функции е*(а, 0)=ес(а), которые являются элементами разложения единицы по атласу»в. Подобно п. 5 3 1 заменим в операторе Кгл',г функции е'(а) на операторы ес(а, й,). Мы получим семейство операторов Ктл',г,л„ фД,'лм Кллгг,я„зависнщих от е'(а, 11,) . Теорема 2.4. Пусть лагранжеву подмногообразию Г сопоставлен канонический атлас 3в с начальной точкой а' и некоторый . о.ао оператор- Ал'.гл,- Пусть»в — другой канонический атлас подмногообразия Г с начальной точкой а'.
Тогда существует единственный ао оператор вида Клт',г.л, равный Ктлгг,л,. При этом Т= у — и 1пбе[аз аз)+А ~ рс(ц. о(соо ао] ГЛАВА 3 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ й 1. Квазиклассическая асимптотика Теорема 3.1. Пусть à — компактное лагранжево многообра- зие, инвариантное относительно динамической системы до хс=рс, рс= — —, с=1, ..., и, о~С", хс 11ш = со, а) О. о (х) ,х!+..
~(х~а Тогда существуют собственньсе значения Х» уравнения ,( — Л+Ь»[о(х) — Е))ф»=0, зр»е=-Хо[)1"), удовлетворяющие соотношениям (2.5) *). Теорема 3.2. Пусть о(х, С) в уравнении Шредингера (1.6) гл. ! — [и/2)+4 раза дифференцируемая функция, ф(сс) дважды дифференцируема.
Пусть решение ф(х, С) уравнения (1.16) гл. 1 удовлетворяет на- чальному условию ф (х, 0) =.К')а".гф(сз), . (1.1) Г=[д'(а), р'(а)), х=(х„...,х„), р=(р„..., р„); тогда решение зр(х, 1) имеет вид ф(х, 1= К~~,г,ф(гс) + го(х, 1), (1.2) с Т= — — [пд(г(ссз; О, с)+ — ~~ ( ' ч) — о[(1(аз ч) ч]) с(т, о *) Таким образом, арн Е* Ео, Х 1/и удовлетворяются условия ф рис з Ф=2п(»со+Со/4)А+0(Ло), Л-(1, ..., Л,), где Ло — чксзо Бсзтн мкогообразня Г, — интеграл по Л-му незаансямому циклу, Со — ого индекс, сно — любые целые числа.
Эгн формулы носят название а физической литературе фоомул Бора— Зоммсрфсльда, нлн формул кнантонаняя старой яаантоаой теории. В фкзкческой литературе, однако, не были найдены значения констант Сь. Было нзаастно лншь, что Со (4 [17, 31), 113 где Я (а, С), Р (сс, С) — решение уравнений Гамильтона )»Сгс=РЕ, тс=, 1~1, ..., и, до(0, С) дОС Я (а, 0) =с)'(а), Р(а, 0) =р'(а), Г,=Я(а, С), Р(а, С)), а ~ ) г„(х, С) ) 'йх-+О при Ь-~4).
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3.2 и пусть носитель Й функции ср(а) достаточно мал, настолько, что его образ Я, на Г, целиком лежит в одной из карт атласа М с локальньгйи координатами р„..., р», д»+ь..., д„. Пусть х» Ф (р„..., р», х»ии ..., х„)=Ф„"„ф (х, С), т. е. мы рассматриваем решение ф(х, С) в р-представлении по переменным х„..., х,. Тогда 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
