Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 23
Текст из файла (страница 23)
!28 ограничены при Ь=1, 2, ... Это означает, что г(х„х„Г, й) как функция аргументов х, и х, принадлежит ]]Га (йа) и непрерывна по ! и й. Пространство функций со счетным числом норм вида (1.3) илн вида (1.4) мы будем обозначать соответственно %'а Щ С ] н Я7» [Ма, С,1. Мы убедимся (см. гл. 5), что решение ар(х„х„г, й) задачи (1.2) удовлетворяет условию Действительно, Ф ]цфис,:х~'[яп = =шах ~' [ '~~ ) — Р(х, х, У Ь)$] е(х,. (1.5) Пусть (В' ) — некоторая последовательность банаховых пространств: В +'~В"', У=1,2, определяющая счетно-нормированное пространство В".
8 общем случае мы будем рассматривать пространство функций от х„х„..., х„, 1, й, принадлежащих Яга [и", С,1, со значениями в некотором абстрактном счетно-нормированном йространстве В", которое мы обозначим через [ра [К",С„В"1, со счетным числом норм вида а и шах Х ~ ~ — Г(х„...,х„(,й)»(х г» д ое;1Е;Ь»<лта,~ да» ж;»л:а ве а(х = Нх,.. х(х„, х„+, — — г. Аналогично, через С" [аг"+', С„В" ] мы обозначим пространство со счетным числом норм вида т. [ — л(,;ля[, „,-~. р.П д ~< ькл+» „к„к, й~м Пусть на многообразии Г задан некоторый набор базисных векторов х,(я) (ч=1, ..., г), принадлежащих некоторому счетно-нормированному пространству В" н бесконечно днфференцируемых по параметру я, в том смысле, что производные этих векторов по я вновь принадлежат В".
Канонический оператор А",)»,г,», переводящий функцию вида С;~ <р (а) у (я) со значениями в В" в некоторую функцию от х„..., х„со значениями в В", определяется обычным образом. Напомним, что е'(ял О) =е*'(я)У, где 7 — единичная матрица в этом подпространстве. Функции (е'(я)) являются разложением единицы по каноническому атласу Ж. 5 В. П. »»лслаи 129 Положим д д д 2'т[т = 2' ~ — рй —,..., — (й —, — рл —, х„..., х„, Г, й) т[т = дх ' ' дх„' дг ' д д ='~ ~Лн[т — Рй —,...,— Рй —, хт,...,х,1,й1[ — (й — ф, (2.1) $2.
Асимптотика решения задачи Коши уравнений с операторными коэффициентами Мы будем изучать асимптотику решения уравнения (3.7) гл. 1. Рассмотрим в счетно-нормированном пространстве В", являющемся пересечением банаховых пространств В', В', ..., В", ... таких, что Вт"'с:-В*, оператор Ы (р,,..., р., р.+„х„..., х„, 1, й), зависящий от 2п+3 параметров и отображений В" в себя. Мы пред- положим, что оператор Ы бесконечно дифференцируем по всем этим параметрам в области реи1)„хенй„, 0<1<Т и что все его частные производные отображают В" в себя. 1) Предположим, что В' — гильбертово пространство. Мы предположим, что существует собственное значение Л(р, р„+„х, 1) операторов Ы«=Я'(р, р„+„х, т, О) и Ы, =Ы" (р, р„„ х, 1, 0), зависящее от параметров р, р „, х, Л Пусть кратность этого собственного значения одинакова для Ы«н Ы„не зависит от па- раметров и либо конечна, либо Ы,= — Ы, — Л(р, р +„х, 1). Пусть собственные функции операторов Я(р, р„„х, 1, 0) и 2'*(р, р„+„х, 8, 0), соответственно Хт(Р Р +1 х.
1) ° Хт(Р Р + х. 1) ° ° ° * Хт(Р, Р +1 х. 1) Х+, (р, р„+„х, 1), Х,+(р, р„«„х, 1),..., Х,. (р, р„„х, 1), отвечающие Л(р, р„+„х, 1), принадлежат В" и ое([ХГХг [~ О. Из последнего неравенства следует, что можно выбрать ХТ (1=1, .-, г) таким образом, что (Х,', у„.) =Ьн. Обозначим через Р, проекционный оператор- на собственное подпространство операто- ра Ж, отвечающее Л(р, р„„х, т), а через Рк — проекционный опе+ ратор на подпросгранство, натянутое на векторы Х„Х,, Х,.
Предположим, что оператор [.'Р (Р, Р,«ы х, 1, 0) — Л (Р, Р «„х, 1)) [1 — Рк] 1 [1 — Р„+1 существует в В" и определен всюду в В", а Ж (р, р„, х, Г, й) = 'Я Лн (р, х, 1, й) р где операторы Л„определяются формулой д д Л ~ — Рй — „...,— (й —,х„..., х„,1,й) т[т=Лл(р х 1,й).ф дх 1 л =(2пй) ) н'р у т[р ~ Л (р,х, 1,й)е'"~"ф($,1)т($. (2.2) 2) Мы предположим, что решение задачи 2'ф = й'Р, (2.3) (2.4) удовлетворяющие начальным условиям ® .=4 ( ), Р[,=р'( ), (2.5) принадлежат С" и лежат соответственно в областях Я„и Я„.
Заметим„что из этих. условий практически в конкретных квантовомеханических задачах нужно проверять лишь условие постоянной кратности и изолированности точки .Л(р, р„+„х, 1). Из остальных условий нетривиальными для дифференциальных операторов являются: а) принадлежность собственных функций Хн Х; пространству В"; б) существование решения ХенВ" уравнения [Ю(р, р.„, х, 1, 0) — Л)Х=Р, где Ре=В"; в) существование и единственность решения уравнения (2.3). Эти условия проверяются для уравнений квантовой механики с помощью энергетических неравенств.
При этих предположениях справедлива следующая «) Этот класс функций Г(х, й й) есть пространство со счетным числом норм 1т де' нндн птах [ — ~ Г(х, й Ь) 1Й = 1, 2, ...). «н;«~ 1 ( —.' -= '"' = д ' — ) ф~,,= ймф, й=О,...,лт — 1, где г и з, (й=О, ..., тп — 1) — некоторые фиксированные числа, а ~=~(х, 1, й) и ф,=чу,(х, й) — произвольные бесконечно диффе- ренцируемые функции х и непрерывные функции й и 1 со значе- ниями в В", существует и единственно в классе таких же функ- ций *). Наконец, предположим, что характеристическое (в смысле 4 3 гл. 1) уравнение Л(р, р„+„х, 1) =0 имеет действительный корень р„+, — — Н (р, х, 1) постоянной кратности и, следовательно, — чь О, дЛ др Пусть Я(а, т), Р(а, 1) (0(Г(Т) — решения уравнений дат до дРт дИ дГ дрт ' дт д01 ' !30 существует решение уравнения Уф=0, (2.
6) представимое в виде ,т ««е « ф К«)ч,гьч ~~т', «р (и, Г, Й) )1, [Р (а, Г), 1Ч(а, 1), 1], (2.7) где Г,= (»г(и, Г), Р(и, 1)), и« вЂ” начальная точка на многообра- зии Г„ ь«««, в«.— ' [ ( — л«««-2«ле], «т.в« Ь з=« ««»«««') (,,(а 1 Й) ф,(а, 1, й), ..., «р,(с», Г, й)) удовлетворяет урав- нению дЛ «=т где х,=(, р=р(а, 1), »=О(и, 1), и начальному условию ф[« жф,(а„й). В случае, когда 'се =.2', =Х(р, р„+„х, 1) в предположении, что (. дЯ Р ( дй ~ ) — отображение В" в себя, ф удовлетворяет урав- нению Напомним, что равенство (2.7) справедливо с точностью до функций, бесконечно дифференцируемых по х н 1 и вместе со всеми свсимн производными имеющих порядок 0(й").
Укажем на следующее важное обобщение теоремы 4.1. Пусть А — замкнутый оператор с плотной областью определения В(А) ~В' (»=1, 2,...). 132 Тес р ем а 4.1. Пусть Г,=(«7«(и), р'(а)) — лагранжеао многообразие, и' — его начальная точка. Для каждой финитной бесконечно дифференцируе,иой по а и ограниченной при 0(й(1 вместе со всеми производными вектоофункции «р, (а, Й) = («р„(а, Й),..., р„(а, Й) ) Пусть (1+в 4)-' существует н определен всюду в В* (»= 1, 2,...), причем '1 (1+ А) ' )~т = 1, »' = 1, 2, прн всех е)0 и при всех е чисто мнимых, и пусть А-' существует.
Заменим формально в операторе «с параметр 1/й на оператор Л. Т е о р е м а 4.2. В предположениях теоремы 4.1 существует ') решение уравнения «' «д д Ы 11 — — —, — — ' —, х,»,Л~) ф=О, А дх А д» представимое в виде т «»е =Кл.гт,«т«ел~ ~ «р (и,г)у [Р(а,!),»»(а,г),1], (2.10) тй — = 5~ (р, х, 1, Й) ф, дф ф ]над = К«)л,гл ~~~ ~«р,', (а, й) Х, (р'(а), «)е (а), О), (2.11) (2.11а) " т=т где «р', (а, й) «=, :С [С,], может быть представлено в виде э « ф=-Кт).
,'гьа ~чР, фт(,Г,Й) Ь(Р(и,1),Я(и,у),Г), т=т где а«, Г,, Р(а, 1)„Я(а, 1) определены ранее, а «р(а, 1, Й) = («р,(и, г, Й),...,«р,(а, .', Й)) (2.12) ') Заметим, что в этом случае н (З.З) надо заменить а иа 1,'А, а и и .рэ, очевидно, ве зависит от Й и принадлежат пространству фупнпий со счетным числом норм тпа» ~~( — ) т(» 1);~ 1» = 1, 2, ...), 1ЗЗ где 7, ат, Г„)1„Р(и, «), (г(и, 1) определены в предь»дущей теореме, а ф (с», 1) удовлетворяет уравнению (2.9) и начальному усло-' вию ф (а, О) = фт(а), где «р',(и) (э=1, ., т) — произвольные финитные бесконечно дифференцируемые функции. Из этой теоремы следуют все предыдущие результаты относительно асимптотики задачи Коши.
Положим в теореме 4.1 тп=1, Л, з1, а Л,(р, х, т, Й)= =Я'(р, х, », й). Пусть Ы,=Я(р, х, Г, 0) самосспряжен в В'. Мы придем к следствию. Те о р е ма 4.1, а. В предположениях теоремы 4.1 решение за- дачи удовлетворяет уравнению 1 д«Н .«дЯ 2 др,дх«(, ' дй «=О«о.«) и начальному условию «Р»(а.о ««) !«) ='Р»(а ««) Из общей теоремы могут быть без труда получены асимптотические формулы (в целом) для решения гиперболических систем с осциллирующими или разрывными начальными данными. В качестве примера рассмотрим слабо связанные гиперболические системы.
Теорема 3.4 и все примеры гл. 1 также следуют из теоремы 4.2. $3. Гиперболическая система Рассмотрим слабо связанную гиперболическую по Петровскому систему вида д'и ~)~- +~о»« й„+ чьз, и= (и„..., и,), где а«,, «„„(х, 1) при я,+... +й„„,(з — матрицы порядка г. Введем следующие-обозначения: через Л ( д , д , х, Г) обозначим главную часть оператора Ь: д д до д' «оо«»оо а через в — матричный оператор вида «д д до « «о+... +«о «=о-«д««( ° ° ° дел"д~ Мы предполагаем, что 134 1) корин Н=Н «х, р, 1) многочлена Л(р, Н, х, 1) =0 относительно Н действительны и различны; 2) многочлен по р: Л(р, О, х, т) неотрнцателен, причем, если [р! '= Ь)0, то Л(р, О, х, «) ~~е)0; 3) коэффициенты уравнения принадлежат С".
Характеристическое уравнение для (3.1) имеет вид Л ~ —, —, х, 1) = О. (3.4) Корням дя' « дз" д« ~ дх / (3 5) этого уравнения отвечает з бихарактеристик, удовлетворяющих уравнениям Гамильтона вида (1.2) гл. 1 при»=1,..., з. Т е о р е м а 4.3. Пусть А — произвольный самосопряженный оператор гильбертова пространства Н, «Р(а) — произвольная финитная бесконечно дифференцируемая вектор-функция на многообразии Г со значениями в Н. При высказанных предположениях относительно гиперболического уравнения (3.1) существуют такие его реи«ения и(х, «) вектор-функции со значениями в Н, которь«е могут быть представлены в виде а н» «=о [)(,о',о'.(".о !" () [[ юь".о".('.) ! ' о д'Л(Р" и',Ч",«) ! ь«»(Р,Н»,Е,«1 2В(Р» Н» «У» ~ «11 «Р(а) ««дР«дР« дН»дФ (3.6) где о т.= — — ') о(( "-, () -(.
А ) [ — (го(-(- т,роо). 2 «=« «11о .а,'1 р"=Р"(а, 1), (Р"=Я" (а, 1), Н"=Н"[(г'(а, «), Р'(а, 1), 1), 135 ૠ— начальная точка атласа ев"„1[а», а«) ! — путь, соединяющий точки а' и а«и принадлежащий пленке Я(. Этот запас решений достаточно велик, и их линейная комбинация отвечает решению рассматриваемого уравнения (3.1), удовлетворяющему произвольным начальным условиям вида д «и о(оо — = Кл г „Р«(а), « = 1,...,, где Г' (1=1, ..., з) — произвольные лагранжевы подмногообразия, «р,(а) — произвольные финитные бесконечно дифференцируемые вектор-функции на Г' со значениями в пространстве Н. Сюда, в ча стности, включаются случаи осциллирующих и разрывных начальных условий, рассматриваемых в книге Куранта [19].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
