Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Оценки для решений квадрированного уравнения Дирака и уравнения Клейна — Гордона — Фока. Обозначим через Я„оператор (3.5), определенный на достаточно гладких вектор-функциях и(х, ()енС(ь.), удовлетворяющих условию и(х, 0)=и,'(х, 1)=0. Здесь Ез — пространство вектор-функций с интегрируемым квадратом. Обозначим, далее, через Еа замкнутый оператор из С(Е,) в себя вида ди Е.

и (х, 1) = (й — + О „. и, дг где Р определено в (3.1), определенный на достаточно гладких функциях и(х, 1)енС(т„), удовлетворяющих условию и(х, О) =О. Т еор ем а 5.3. Операторы М, ' и 1>Е ' отображают Яз в В,. Эта теорема доказывается аналогично теореме 5.1, а. Нетрудно убедиться (см. [47]), что Я =7. Е Т..7.„. оо! — тн (х, 1) = й ~хо (1, х, й)„ «И;.'Ц- ~[В ) — „'~У ~д1. о Поскольку Отсюда получаем оценку Очевидно, что на Е)(1 )=.0(Е ) справедливо тождество 2тс*=Š— 1 Отсюда (1 ' =1:.,' Е. '= — (Е ' — Е ',).

2сих Теор ем а 5.4. Справедлива оценка шах ~~ ~ Я '1 (х, 1) «а дх - — « ~~ [) (х, 1) [' дх. о Обозначим через Е оператор из пространства С(Х,) в прямую сумму х.,оС(Го) вида Е и(х,1)=«!и(х,О),уй ""' — Н- и(х,1)~, а через (7 — оператор из пространства С[Г,) в прямую сумму Е,Юл„ЮС(Ео) вида Я и (х, 1) =- э и (х, 0); 1Ь вЂ” (х, 0); "~1Ь вЂ” — еф' д1 ' ' И д1 — (1йр — — Л) — тово+ М(х, 1)~ и(х, 1)~)., с Справедливо тождество 11 ' (у„ум 0) = — [Е~' (у, — Н ~~ум О) + Е ' ( — у, + Й~у„О))* (3.7) В нем можно убедиться, подействовав на обе части равенства (3.7) оператором Д .

Действительно, поскольку д1щ (У,О) [ д рй ~" ' ) =Н Е-.' (У,О)[,=,=Й „у, д1 !=о то (1 [Е '(у,— Н У,,О)+Е." ( — У,+Н.У,.О)[= = (Уо — Н- Уг — У. — Й~ум Н (Уо — Й,у,)+ + Й о ( — уо + Н уг), 0) = 2тсо (уг ! Уо. 0)- Аналогично теореме 5.2 можно получить теоремы: Теор ем а 5.5. Если уенЯо, то Ьк~оЕ '(у, 0)енЯо. Отсюда и нз равенства (3.7) получаем: Теор ем а 56. Если у, у,ен5„, то по~!11 '(у, У„О)пни„. Т е о р е м а 5.5, а.

Если уенЯо, то Е„,'(У,О)ен Нл. Теор ем а 5.6, а. Если у, у!ен)7о, то Д (у, у,, 0)енй.. 156 Теорем а 5.7. Существуют решения о[т+ и !р- уравнения (3.1) такие, что !р+ — Х~ (х,1)=й г(1,х,й) где х, и хеноо. Аналогичные утверждения мы докажем для решений уравнений Клейна — Гордона — Фока. Рассмотрим оператор Клейна — Гордона — Фока К=߄— Ь)г (х, 1). Формальное разложение К-' в ряд по степеням ЬЩ ! имеет вид К-'=. Я "Я Ь'(1Щ,')". (3 8) о=о Последний ряд сходится.

Действительно, для оператора )кЕ справедлива оценка (см.лемму 4.1 ч. 1) нз предыдущего неравенства следует о! И4И1 Ь- ~ ~~,~~ «!1'1- 1. о и !о-! о )Е-.Д-„< — «д1,~ д1,... « ~Л.-д1.== —,—, (гтиой]о ° влсоа) о о о из которой следуют сходимость ряда в (3.8) и неравенство ![К '![(СОПБ1/Ь.

Рассмотрим пространство Яо со счетным числом норм вида (.(.,1,Ь)=- «Г1 «~.(- Ь)~, ~!к~! т о(,~! д где р= — 1й —. дх Те ор е м а 5.8. Если коэффициенты уравнения Клейна — Гордона — Фока бесконечно дифференцируемы, то оператор ЬК ' апре!от и пусть уравнение Х(х„Е)=х однозначно разрешимо относитель. но х,: «.=х,(х, Е). Введем обозначение 5а(х, Е) 5 (х„Е). Введем функцию о (х, Е) с помощью соотношения о (х, Е) и(х, Е) ехр( — >5*(х, Е)АЕ.

(4.6) Подставив в уравнение (4.1) и=о*ехр(Е5 (х, Е)А), получим сле- дующее уравнение для о (х, Е): дав д((- дФч- дьа о —, (х(а дЗа д» д» д» д» ~ дх» дх» — ((В (х, Е), угад 55 ) + [' [5~ — ЕЕ? (х, ЕЦ о = — Е [Поь+(В(х, Е),ага(15 )1, (4.?) до где 1-1 серо д»о Рассмотрим уравнение (4.?) в представлении, в котором оператор А диагонален и является оператором умножения на в( А = ) вйЕ".

Решение с=(х, Е, в) представим формально в виде ряда по степеням 1Ев( оа(х,Е,в) = ~', Ьо (х,Е)— (4.8) ~о Теперь формально выпишем для функций » о,в= ~ Ь„а(х, Е)в"' а=о рекуррентные соотношения (4.9) Е=О, о*> О, Е О, получим — $ — ( — $ .(.Ф,( >) (2»(оо, о>.щ.(В( 0> оя>., + ~5 ! — И (х, О) — — ! 1 о, (х, О) = В,', (х, О). (4АО) д» 1»=о3 Е>([ы будем называть начальные условия вида и~~~»~ (ро~(х,в)е'"з( >, (4.11) (4.12) дЕ 1»-о 1 д» 1»=о д» 1»=о>* где[ (р,„(х, в) — две произвольные аналитические функции в и бесконечно дифференцируемые функции х, соответственно положительными и отрицательными.

Онн отвечают двум корням характеристического многочлена. Л е м м а 6.6. Начальное условие вида и [» — >>( (х в) е»аз~(х> и» 1»=о=О или же вида и!»о =О, и» >1» о ' ф (х, в) е'аз (х> может бить представлено с точностью до 0(в-'х+") в виде суммы положительного и отрицательного начальных условий и[» о=им~» о+й,[» о+ 0(в»чноо), и» ~»,=О, либо д„ 1 ( дал дан '> 1 — — + [ 0(„г.(нв>) д» !»=о ~( д» дЕ ) 1»=, и[» о=О, дха 1 где — 1 и и, 1» > определяются формулами (4.4) и (4.12).

д» 1» Дока з ательство. Для доказательства леммы необходи- ! мо найти такие функции (р+(х, в) и»с (х, в), что и>» о=(ай+ йн)1» —, + 0(в-(и+'>), Е дай дай '>~ и» 1, о — '[ [ — ) + 0(в-(»» '>, д» д» )Р=о т. е (4.9) 6 В. П. моохоо 161 160 аз= д,=. да>;-. д;Г дяа д,. д» д» д» д» дхо дхо — [(В, йта([ 5 ) + ( > 5 — И (х, Е)1 о=. = = — е(Го,=- + (В, ига»[о(-,)1.

Пусть пры Е=О 5 — — 5„(х), Ф=Ф,(х). Положив в соотношении (Р + — ~ (~ )+ — ~ + — ~ =0(в-Ел' 1»=о д» ~1-о ) д» 1»-о д» Разлагая «Р(х, в), 1Р (х, «з) в ряды по степеням 1/«ь и приравнивая коэффициенты при 1/«о в нулевой степени, получаем ьро + ьРо = ьроь (Ф + с ~Г(73 )' + уо) ьРо + (Фо — со Ъ'"(1~Во) + 7') «Ро —— О. Отсюда ~ Фо + еУ(чво) + тв 'Ро = ьро. 2с)ь (тьв~) +то Приравнивая коэффициенты при «в ', получаем «Рв + ьрь = ьр» ььо,«- ььььвь'-~-ьь»,'«-ььо,— ььь»вь "ьтьо, в;о, ' «о поскольку в,(х, О) =оро(х). Отсюда 'Рь (Фо ~ вР (Чво) + то) ьРь+ доььо 2сРь (тьебо)'+ т* где Во«ро=((В«+В« )ьро.

Аналогичным образом могут быть получены и Ф»Р (х) при ))(М. Подобные формальные разложения начальных условий на слагаемые, соответствующие различным корням характеристического многочлена, могут быть произведены и для произвольного уравнения с операторными коэффициентами вида (1.16) гл. 1. 5 5. Решение уравнений переноса для некоторых уравнений (систем) волнового типа Важным для решения уравнений переноса будет являться следующее вспомогательное П р'е дл о ж е н не 5З. Пусть уравнение «)х — =г (х), х=(х„...,х,+,), ат имеет семейство интегральных кривых х(т, а„..., а„). Тогда справедливо равенство ь) ):) (хь ..., хл, х„+,) — 1п = о1ч г.

аъ В(а„...,а„,т) Это предложение легко получается с помощью небольшой мо. дификации леммы С. Л. Соболева. Обратимся теперь к рассмотрению конкретных уравнений волнового типа. 162 Здесь «Р-(ор„..., «Р ) — вектор-функция с йь компонентами и матрицы а»,...»л, при йь+... +й„+,=по пропорциональны единичной матрице. Введем следующие обозначения: двь Л 11 —, — х,1~= ~~~~ а», .»л„(х, 1) „+ —, »ь+"-«»л.н=ьл дх»ь ... дг "м 1 Х '- -. ь д д д "'... дг ""' » Пусть З(х, 1) — решение одной из ветвей характеристического по отношению к (5.1) уравнения.

Подставим в систему ьР ие'"' и приравняем нулю коэффициент при «ь "'. Полученное уравнение называется уравнением переноса для (5.1). Уравнение переноса можно представить в виде Фи ьь 1 . дой дох (5.2) ь/=ь ' ь ь / Здесь т — параметр (1),, О, х„+,— — 1). Вместо х, р, 1 нужно подставить соответствующие функции т, вычисленные вдоль бихарактеристик системы (5.1), т. е.

вдоль характеристик характеристического уравнения. с ло — ль~ — )вв)» ь ~ ьь ь ° о носа в виде 1 ~ двй доз — + — ~ч' — — в = О. 2 ~ дрьдр) дх;дх; Очевидно, что направление вектора в не меняется вдоль бихарактеристнки. Поэтому можно искать в в виде в в«сов -иоь где В (1. х) ~) (т, хо) со = сопз(, Получим 163 Р ассмотрим слабо связанную гиперболическую систему с раз- личными характеристиками.

дьоь+... »»л ьь Елр = — ьр+,~К а»,....,»„„(х, 1) „ф = О. (5.1) »ь».-.»»л»ьаьл дх»ь .. д лдг"лоь »л+ьв»ьл 1 ° ° ° хл Воспользуемся предложением 5.1. Для того чтобы использовать это предложение, выпишем уравнения для х(т), г(т): ((ха дй — — 1=1,...,п, дт др, ' аа дй ((т др„„, Имеем Подставляя в уравнение переноса полученное выражение для — 1пе, Н ((т получаем ((ч( ! дй 1 дй О атт 2 ',-( дрддх( 2 др„+(дМ Интегрируя это уравнение, получим а-а»- —,))(Ха а»» аа.„аа) ') Переходя к интегрированию по 1 и учитывая, что Р (1, х) .Рх (П Рх дй Р (т, х ) Рхд ((т Рхд др„„, ' получим результат, который сформулируем в виде леммы.

Ле м м а 5.7. Решение уравнения (5.2)" имеет вид р[) ( — ') [ — Л вЂ” -(- — — В1»а) . (а.з) П р н м е р. Рассмотрим волновое уравнение — — сд(х, т) Ли=О. дад Здесь Л (р, р рм х, 1) = р*, — сд (х, () р', В = О. Уравнение переноса имеет вид — +и( — — сдЬВ) =О, ((т ', дад где 1 и т связаны уравнением тт — 2рд».т, дт и так как р'„— с'р* О, то — = ~'= 2с) р). дт а(т Вычисляя производные от й и подставляя их в (5.3), получаем — — р)) (а р(аа) . серр(рд( . / Ртд с) р( ))Р Рх р Рассмотрим уравнение волнового типа д 13 [Š— + АФ(х, г)1 + с'(х, ()((!( — 1АА(х, г))д — А*у')+ дт +,)':Вд(х, () — + (АР(х, Г)~ ф(х, 1) О, (5.4) д ' дхд введенное в ч. 11, гл.

1, $ 2 и включающее в качестве частных слу. чаев различные уравнения квантовой механики. Потребуем, чтобы выражение ~~~~ ез( х)я (;А-д)дфд(х а) Ьд где Я(х, 1) — решение характеристического д.зя (5.4) уравнения, формально удовлетворяло уравнению (5.4). Уравнение, которому должна при этом удовлетворять функция ф„назовем уравнением переноса для (5.4).

Для решения уравнения переноса, соответствующего уравнению (5.4), применим следующий прием. Заменим в уравнении (5.4) оператор. (А-иа оператор д,'ду (у — новая переменная, которую мы вводим в дополнение к х и 1). Тогда (5.4) превратится в слабо связанную гиперболическую систему .[ — [ — — " — Ф~ + ад [[а — — А) + —,у'1+ +,Я, Вд (х, 1) — + — Я) ф = О. (5.4)' дхд ду Используя решение уравнения переноса для (5А)*, данное выше, и подставляя в конечном результате 1 вместо Р„, получаем следующий результат. Л е и м а 5.8.

Решение уравнения переноса для (5.4) имеет вид ф — ф (О) Рхр е (х(- ) $ / (Рд А (ха' О)) !р х Рх с (х„1) 1' (р — А (х, !))' — тд х ехр ) Г ) ((р — А)д т'сд — Вдрд — (т)да . ).) 2с )" (р — А)д — та )д Рассмотрим теперь систему уравнений теории упругости: доно д ди, р (х) — () (х) + и (х)) д — + )оби; + дх; дх д1, др / дио ди; 1 + — сйти+ — — + — ' дх, дхг 1, дхт 'дхо ~ Характеристическое уравнение для (5.5) распадается на ветви, которые имеют вид ддоо1 "" ГЛ+ 2и — = ~ а)75,— (, а= ~тг д1 Р— *=~Ь|75, ~, 5=1, д1 — 1/ Уравнение переноса для (5.5) определим аналогично тому, как мы зто сделали для предыдуших уравнений.

Характеристики

Список файлов книги