Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Решения уравнения переноса для 5„будем называть продольными волнами, а для 5,* — поверечиыми волнами. Характеристическое и бихарактеристическое уравнения будем называть также уравнением Гамильтона — Якоби и системой Гамильтона соответственно. Рассмотрим в отдельности случай продольных и поперечных волн. а) Продольные волны. Уравнение переноса после подстановки и=ор75, где 7 — скалярная функция, принимает внд 7 5М р75 = О. Здесь М вЂ” следующий оператор: Ми = ри — + 2р — —.
— (Л + р) (<Ит и,75 +'7 (и 75))— д1о д1 д) — 1х (иЬ5+ 27и 75) — ЧХ(и 75) — 75 (и 7р) — и (Чи 75) (мы использовали обозначение дио дь 1 (Чи 75) = —— дх1 дхг / Используя уравнение Гамильтона — Якоби, можно получить следующие тождества (здесь и далее без уменьшения общности рассматривается волна, соответствующая 5+, знаки «+», « — » опускаются): 7 — = — 7а ~ 75 ~ — 7 (75)*, д1 21чв ~ дов о Ч(7В)оЧЮ + дто 21751 Подставляя 775 в уравнение переноса и используя предыдущие 166 равенства и уравнение Гамильтона — Якоби, получаем — (2,+2)х)(рй5!751»+27р75~75~»+ р757(75)*)в — ~р7)о75175~' — (7) 75)175~' р+ з аор~р75й(й5)*-1- 2 +ра7а 75 ~ 75 1»ор — 2ар~ 751« ~ + 27а75а~ 751»(яр=О.
дг Напоминаем, что а=')~(1+2)о)/р. Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся леммой Л. С, Соболева (см. предложение 5.1); если х удовлетворяет уравнению Ых/аг=Х(Г, х), то — 1п — = йч Х. 1 Ох А 12хо Применительно к:траекториям данной системы зта лемма дает Р~З1( д В ЧаЧВ+аЧВЧ(ЧВ)о1 а 1 е1 1т 17ь1 21Чд~о Используя это выражение для а5, а также вытекающее из системы Гамильтона равенство д1 дт " ' Чти — = — +ив от дт 1ЧБ 1 и тот факт, что р, )о и 1х не зависят явно от времени, приводим уравнение переноса к виду — 1п( — — УЗ, + 2)хор) =О, В /.0х 1 вг ~ю, откуда ор = ро <р, а Р.
У ~Ф~хо ао Точно такое же решение получается для волны, соответствующей 5 . Полученный результат сформулируем в виде леммы. Л е м м а 5З. Вектор-функция р г' 1>х(йхо ао удовлетворяет уравнению переноса для уравнения упругости в случае иродольньох волн. б) П о и е р е ч н ы е в о л н ы. Положим и=ив +те„, где во и и, скалярны, и н т — два непрерывно дифференцнруемых векторных поля такие, что пъ.=и75=тб5=0 и по=то=1.
Уравнение переноса имеет вид пМ (и„. п + с„- т) = О, ЧМ (и„° и + и ° т) = О. Из по=О вытекает ГЛАВА 6 Полагая х=о„+!р., получаем Эти уравнения приводятся с использованием тех же тождеств, что и в случае продольных воли,к виду о ° I Пх от — "+о — 1п у р — +со — п=О, ои Пхо ио — +с,— 1п ~ р — +:„.— о=0. Охо .=1 .,1, р, (тФ[.
,г ро ° т Пхо р Ох о Окончательный результат формулируем в виде леммы. Лемм а 5.10. Функция — — Ф.~. о1 4. р Рх соо т 1,) оо е р !хх сов т ~,! Ш о где Т вЂ” константа, удовлетворяет уравнению переноса для уравне- ния упругости в случае поперечных волн с ~ ро ~~о Если сову = О, то нужно положить и =т 1, — — х р сох АСИМПТОТИКА В МАЛОМ ОПЕРАТОРНЫХ о РАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Б этой главе исследуется асимптотика решений уравнений в частных производных и-го порядка по временной координате с операторными коэффициентами, зависящими от хенк .
Результаты этой главы будут использованы для построения асимптотики в целом решений гиперболических уравнений. Первые два параграфа носят вспомогательный характер. Онн посвящены асимптотическому разложению интегралов нида о ~ е'лдх>у(х) дх, х=(хм ..., х„), где д(х) — функция со значениями в банаховом пространстве В, 1(х) — функция со значениями на прямой, а (А — производящий оператор группы в В. Задача заключается в том, чтобы вычислить этот интеграл с точностью до функций„принадлежащих .0(А").
На основе полученных в $ 2 формул н леммы 5.5 (ч..П) теории возмущений строится асимптотика в малом решений операторных уравнений. При этом предполагается существование, единственность и гладкость решений таких уравнений. $ 1. О корне квадратном из оператора в баиаховом пространстве Рассмотрим производящий оператор А в банаховом пространстве В, обладающий следующими свойствами: 1) оператор (1+Т'А) ' существует, определен всюду в В ч ограничен единицей; 2) оператор А-' существует; 3) ~1е*"'1~<М, — о <о<оо. Все утверждения лемм, доказанных ниже, непосредственно переносятся и на случай, когда оператор А удовлетворяет вместо условия 1) условию: !,а) оператор (1 — ТоА)-' существует, определен всюду и огравичен единицей.
Из ят=О вытекает ГЛАВА 6 Полагая г=о +ш„получаем Окончательный результат формулируем в виде леммы Лемм а 5.10. Функция р Рх ооо Т ри о о р Рх соо т ~,1 ои о где; — константа, удовлетворяет уравнению переноса для уравне- ния упругости в случае поперечных волн /Ро Рх, то нужно положить и = ор — — х АР р Рх Если сову=О, Эти уравнения приводятся с и в слччае продольных волн, аоо — "+ о„— 1и ш "и5 оиро "~" ао 1п рп ои использованием тех же тождеств, что к виду Рх роор р — +ох — и=О, Рхо ои Рх, оп р — +со — =О. Рхо Ш АСИМПТОТИКА В МАЛОМ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В этой главе исследуется асимптотика решений уравнений в частных производных и-го порядка по временной координате с операторными коэффициентами, зависящими от хыК".
Результаты этой главы будут использованы для построения асимптотнки в целом решений гиперболических уравнений. Первые два параграфа носят вспомогательный характер. Онн посвящены асимптотическому разложению интегралов вида $ е'лдх>у(х) дх, х=(х„..., х„), где о(х) — функцпя со значениями в банаховом пространстве В, 1(х) — функция со значениями на прямой, а И вЂ” производящий оператор группы в В. Задача заключается в том, чтобы вычислить этот интеграл с точностью до функций, принадлежащих .0(АХ). На основе полученных в з 2 формул и леммы 5.5 (ч. П) теории.. возмущений строится асимптотика в малом решений операторных уравнений.
Прн этом предполагается существование, единственность и гладкость решений таких уравнений. $ 1. О корне квадратном из оператора в баиаховом пространстве Рассмотрим производящий оператор А в банаховом пространстве В, обладающий следующими свойствами: 1) оператор (1+т'А)-' существует, определен всюду и В и ограничен единицей; 2) оператор А ' существует; 3) зе' '!1(М, — оо(Г(оо. Все утверждения лемм, доказанных ниже, непосредственно переносятся и на случай, когда оператор А удовлетворяет вместо условия 1) условию: 1,а) оператор (1 — Т'А)-' существует, определен всюду н ограничен единицей.
Теперь оценим норму ~(1 'еа. Кроме того, имеем (1.6) (1.7) (1.3) 1=1+1 Действительно, (1.4) (см. (131). 170 В силу теоремы Хилле — Филлнпса — Иосиды (см. ч. 1, гл. 3, $1) следует, в частности, что — ~ -~-:А ~~ о 1+ тоА поскольку в силу (2.8) ч. 1, гл. 4, $2 1евое~(1, где В,=А/(1+ 1оА), а значит, в силу той же теоремы Хилле— Филлийса — Иосиды Мы будем пользоваться следующей очевидной формулой «интегрирования по частямес о т ~ — ")' =- еглгю ~~ н(>1 ')'йг — еслпо1 е(о) — (А (е'лпо у(1 йг(1). (12) о о Здесь д(1) — дифференцируемая функция со значениями в В, обращающаяся в нуль при 1=1. Эта формула справедлива при условии, что интеграл в левой части существует. Л е м м а 6.1.
Оператор 2е оо~ ' . о у —.— А) е'" *ах существует как оператор в В на области.0(А). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть деЮ (А). Докажем, что 1= ~ 'л.*Ада -В. е Разобьем интеграл (1.3) на сумму двух интегралов: Очевидно, что ),= ~ е'~'Адйх ~ В: 1 ~ ~ ~ ~~ ~ ~ е~л"'Ад (~ дх - ~ Ад ~.
о 12 = ~ е'лмАй ах. 1 Сделаем замену х-"=Г. Имеем 1 / е'л'АЕ 1'о = ') еел"*Ай'ах= — ) —.Е еУ. 2.) г'Е 1 1 Применив формулу интегрирования по частям (1.2), получим о оо 1 еелоАЕ Е . 1 еело — — а1 = — селу — — ( —,,Е Ж. (1.5) 1 .Л 1( е ° и 1 1 Первый член правой части, очевидно, не превосходит — 11й~~, а для 2 второго члена справедлива оценка — е~~»'У) ° 'о~о, ~о~ )уг1~ ) Таким образом, окончательно имеем 1Д ~ с, 11Ау11+ сДф~.
Определим оператор Р„следующим образом: оо Р„й ~ Е.ЛМ ахоа,Ц 2 о где дыВ, а)0 — действительное число. Очевидно, что этот оператор ограничен и определен на всем В. Действительно, ! ~ Е1Л1Е 1'даЬ-~(~ '1сеЛ1 'оа'у~аз(М1я1 ') Е-"хам= Айт1К1. о о о Лемм а 6.2. Имеет место равенство о 1 Р у;= и Уио-= В, а)0. А+ 1со н/о о Р~„у ~ ( еел1 оаое1~ ( е~лч ч'ейо) — ~ ( ~вел~ угйгй~р гл п1 о о о о 1 " ее1л.киев лг 1 К А+ 1а о Лемм а 6.3. Для любого у~В(А) справедливо равенство Т*д=Ад. Дон аз ательств о.
Обозначим Т„=АР, В(Т ) =В(А). Прежде всего докажем, что Тй Тй (1.8) при а- О, у~В(А) в смысле сильной сходнмости в В. Имеем ни — 1 е'""*г 'Аабк= = [ е'""'е "'Аяс(х + ')хЖ,) ' ~'Ы 6 о ! Г г~~~е ххАЕ 2 ° ~ а Уи .) ур у"~м .~ ~ ~ ~ г~люддт ~/ р'у 1/ .) р'р 2) '.)~ г, Е'"'Удт (~ г 1Е'"'й~Ы(М$8'$!1/У; цн М ~его р -аФ 3) а~~~ йбт «=аМ'1д1 ~ =сИ х=2аМ'1д~~е "'бк= Таким образом, (1.8) доказано. Рассмотрим теперь Та и докажем, что 11ш Т* =Т' на О(А*). Для денВ(А') имеем т'а = т„(т — т) й+ т„тй. Очевидно, что А(Т вЂ” Т)й=(Т вЂ” Т)Ау 0 при а О.
122 (1.10) (1.10а) Очевидно, что предел первого члена правой части прн а О, а затем при У-+со равен Тд. Из следующих ниже неравенств следует, что остальные члены правой части (1.9) прн а-~0, а затем при У- ао стремятся к нулю: Аналогично доказанному выше неравенству (1.6) имеем !!Т д,!! =СДАд,~!+С.!!дД для у,гнТ)(А). Полагая (҄— Т) у=аи получаем Я Тка (Та Т) йД ~~ С1 ЦА (Та Т) й~ф+ Сг Ц(та 'Т) Я$ ~>0. (1.106) Поскольку Ату=ТАуенВ, нбо Ананас(А), а значит, ТаеиЕ)(А), то в силу (1.8) Т„тд Т'а.
Отсюда н из (1.10а), (1.10б) следует (1.10) . Очевидно, что 4Ф Ф х 4 ('е,лме, д~ ~г,„,. „ч,( ~з к~,) 6 о г А* с, ах = — (~е'л'- 'сУА'д= д'= (А — (х — —.18'. А+ са А+го / о Поскольку 1А+Еа ~ а то отсюда следует, что Т'8 ~; Ай" при денР(А'). Таким образом, 7"у=Ай' для у~1)(А'). По замыканию в норме 1~у!~+!!Ад!! это тождество продолжается на область 1х(А). Лемма доказана. Обозначим через Р комплексно сопряженный к Р оператор гида О евчх ~е ~лх'г-ах* бк г к о Л ем м а 6.4, Для любои" функции денВ и а)0 справедливо ра- венство Р Рагг= '~~~ ~~ ~,а+анан где д„~В(А'"), а с,— некоторые константы. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
