Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 31
Текст из файла (страница 31)
с=о (2.29) 'Поскольку В$ск1т1=1, то о о, р(й)=) ". ~ 'с*сна.ййй. Оз -Оз уд (Е) = у(т) ($) + х,). Пусть Л„..., Л,>0, Лз, „..., Л <О. Положим у,= )Лс!зс*$с, обозна- 190 баско/4 19~) ыз ф (ь, х,) — ' и) всоссх.сй (х,) (1+ о,) а"с !!.с ! вдв б — сигнатура квадратичной формы с лсатриией ст, У=бе1ст, !!оз!!, О при 7г Доказательство.
Очевидно, что о о тр(я)= ~ ... ') ехр(й~(хо+т1))у(хо+т))йт), т1=х — х. (227) -о -о При малых т) У(хо+ т1) = 1(хо) + ~ ~с д д (хо) т)ст)с+ ... (2.28) 1 дз,з 2 .с дкс дхС Поскольку с(у= П !Л*!"'й3 то 3'=1 ,Кис з з сзСС 1 1 ... ! '"'* 'у,(у)йу= — '7(й).(231)' )-(!Л !и 6 'о с з У=де(сс=с(е1!! ~~~о~1 1 дксдх Перейдем к биполярным координатам ус=гЯс(а), ус=рЯз(р), с=1,..., р, 1=р+1„..., и. Полагая д,(у)=вз(г р а, р) )з(у)=1,(г, р а, р), получаем о о 7(я) = Ц~ ~Из йй, ~ ~ ехр(Й~,(г, р, а, р)) д (г, р, а, р) г -'р с зйрйг о о (2.32) где гз рз сз (г, р, сс, р) = — — р + Очевидно, что 1,(г, р, а, р) имеет столько же непрерывных произ- водных по своим аргументам, сколько )(с).
Имеем (угловые пере- менные опускаем) 1,. (г, Р) = сс. (г, Р) — (з (г, 0) + (з (г, 0), 1",(г, 0) =г')'з(г), ) (с', о) — Г (г, 0) = о ' ( ' — рз1 (г, р), др дсзз (г, О] зз др Окончательно 1з(г, р) =гз1сз(г) +р(з(г) ) — р сзз(г р). 191 Полагая функция получаем а,о, о о (2.35) Поскольку Функция оР(9, 3 ) =-С!.,э,), !~(Ь„О, Ь„° °, 9 ) = Р 6„0) = Следовательно, Рассмотрим В силу лемм 6.7, 6.10 имеем где еенС" и к тому же 1 при ~~ — ', 4 е($в) = 0 при $~ — ', 2 где с=((р — 1)/2)+ ((и — р — !)/2), 9.
Р(9, 9.) = Р(Ь, й.) — Р(Б . О)- У В. и. маслов 192 )93 $, г [)' (г)+р~~(г)), $о = рэ~э (г, о), $1 = аь 1 = 3, ..., р + 1, 3у.,1о,=бе 1=1..., и — р — 1, ~® =Дэ(а, о(аэ1 ~Е Р((й Б,'— Я))9 'яв 'йэ(9) (я,э($„(2.ЗЗ) йа(ав) =Ыэ (г(ва). р(я)1 авэо ° ° ° ° Эвл), уэ+р1эГ Оэ) Обозначим через )".(г, о) и ф(г, р) функции вида 1(г, р) =г'(!',(г)+р) (г)), ~р(г, р) =рв)о (г, р). эа, ~, аээ 'го Нг 2Р7 ' дг 2р~р ар, ~„а~, %, Зр 22)ГО ' ар 2)Г'э и ' отличен от нуля при малых 9, и 3„то функция )л (г. р) 1) (6ь йэ) (л (г, о) ( аа (Эо Цэ) 1 э В (Ээ, $э) ( л! (г, р) / является (и/2]+2 раза дифференцируемой. Следовательно, ~,енс!мэ(+о 1,(й)=$ $е ' 'К-'$,"-'-'йоши)НВ,ЙВ,.
о о Поскольку д,(9) при $,=а, и яэ=Ь, обращается в нуль со всеми производными, то, интегрируя по частям, получим а. эз ~,(й)=Я ( — 1)-(!-""1~а,~ ~((йМ вЂ” ©. э о ~а~, ~, 1 ~аээ ~,) имеет нуль в точке $,=$э=0 не выше первого порядка. Оценим интеграл вида д ! '~~ми! в-о г д ! 'И" в '!(' в-р-о э ео (эв) ~!э ° !,д$о $,,) ~ д$э Ь ) о При этом возможны два случая: либо и — р — 1 четно, либо и — р — 1 нечетно.
Пусть и — р — 1 четно; тогда =(и — р — 2))! ~р($,, $э) =с,(и, р) ор Д,, $э). Ь, ээээ Гэ (А, $,) = с,(и, р) ~ е '~р($„ 2 ) э($э. У. (й, э,) = — " ("' с) )/ и е-а™~р Я,„О) + 2 )'л -~э$в + с (и, Р) ~ е 'е ($ ) $эоа (Е„$,) э(чэ + О ( — ), о Оценим Ь, вове 1з (й, $д) = )е Е 'Е ($з) $зф (чд, Вз) Д($„ о ~озв д 1о (й, $д) = — — ' ф (9„0) — 1 ~ Е ' — (Е ($з) ф ($„3з)) СКз. Следовательно, 7,(й,$,)= * Г ' !'д — ) К-й;а„о)+ е,(а, р) — / д 1 11/а д!/в! д )/'а ~дЬ Ь ! +сз(н, р) — "' + — ~е 'фд($„$з)с3з+0( — ).
о Отсюда вв (~ 1 1 1 ( 1)и~~с/М ед (а р) )/" ~/~М ~ 2а/ р"а едко г а ! в11е-д>/з! „д сз (п, р) /в х ~ е ' ~ — — ~ 4а 'КоД„О)Яд+ * ' ~ е 'ф($„0)д(яд+ '(ай, Ь~ ао+д о о а,о, ев(/в Р) ~ ~е~~ (дь(зло ф) дР (~ $а)Щ е($ а, /ооз ~ е 'фа,,О)Л,=,. о Из (2.36) и (2.37) следует, что ' с — !1-1"- М/' д ® (2а ~ Сд (и Р) Со(р)но(0, 0)(1 + Од). Поскольку )/п сд (н, р) = Г 1 — Р) 2сл ' 2 )/ дд с (р) = Г 1 Р 1 2< '!/', 12/ йо(О, О) =2(хо)2"", е ( 1)-/л-а-д!/з б — сигнатура квадратичной формы с матрицей (2.37) Следовательно, в силу леммы 6.10 «! во!з /о (а) = са (Р) ~ е ф (чд) ей~ = — )/ — е/"/оЮ, (О, 0) (1 + о,), (2.36) о Очевидно, что Очевидно, что для а, Ь, 7в(/д) = ) ~акра(%д — взй фд(вд, Вз)с$ двз о о имеем а, додо о /Зов ./ (а)= ~ е дфд(9„9,)Щд ') е ' 9 — О при я-о-оо. Оценим интеграл ~Мд в д 1 д1М д1/в1 а д '~ — — ) Г 'й.а„О) а,.
(дбд Ь о Пусть р — 1 четно; тогда ( ) 6 ! д 1(в «/з! — — К а,Я„О) =с,(р)ф($,), дауд где с,(р) = (р — 2)11, ф(зь,) ~С', ф,(0) =до(0). 194 еьде/о2л/з 7д (й) =, 1 ( — ) Г ( — ) К(хо) (1 + оо). Отсюда и из того что Д «оод довез — (н) Г ~ — ) Г ( — ), следует (2.38) ед"о/' (2 / (а) = дв (х ) е/з/(в~> (1 + и ) /л/в о/ ~ / где ~!оДа-~0 при й -оо, Все остальные случаи рассматриваются аналогично. Лемма доказана. Аналогично, опираясь иа лемму 6.9, можно получить асимпто- тическое разложение интеграла ~ е"/и!у(х)д(х, х=(хд, ..., х,), где 1(х) енС", огай~(х,) =О, атай/ (х) чеО при хФх„й(х) енС" (В) то 195 и финитна, оператор А удовлетворяет условиям 1) — 3) $1. Имен- но, справедлива Лемма 6.12.
При высказанных предположениях имеет место разложение 4лн ~ ~ Едядл) — езда,)л '~,~ . ад (ха) + У н~д(ха), х =(хд, ..., х„), (2.39) (Л + ди) где д,(х,) (У= /ч') — бесконечно дифференцируемая функция х, со значениями в В: У „„,(х,)~В(А"+') и 6/+1 раз дифференцируема вВ,а (тя) лнаосид ЯО (х) )') т ) Заметим, что здесь, так же как и в одномерном случае (2.19), разложение ведется по целым степеням резольвенты (А+/а)-'.
Не- трудно убедиться, что члены, содержащие 1/(А+1а) в полуцелых степенях, обращаются в нуль, вследствие интегрирования по угло- вым координатам в представлении (2.33), точно так же, как это . имеет место и для асимптотического разложения по методу ста- ционарной фазы для обычных функций [42, 431. Аналогичная формула имеет место и для оператора А, удовле- творяющего условиям 1), 1, а), 2) $1. При этом функции у,(х„) в формуле (2.39) будут комплексно сопряжены с соответствующи- ми функциями, получаемыми при асимптотнческих разложениях интеграла (2.38), с «положитедьным» оператором А, удовлетво- ряющим условиям 1), 2), 3) 9 1, и вместо А"" нужно взять )А)"", т.
е. ( — А)'"". Очевидно, что асимптотическое разложение можно получить в случае, когда А не удовлетворяет условию 1 или 1, а) и 2), но можно разложить д(1) на сумму у,(1) и с' (1): д~(/)~В с:В, д (1)~В с:В, причем сужение оператора А на В.д удовлетворяет условиям 1) и 2), а сужение оператора А на В удовлетворяет условиям 1, а) н 2). Кроме того, разложение можно применить также в случае, когда д(1) есть обобщенная функция в смысле п. 2 $1 гл.
1. Для этого достаточно подействовать на обе части равенства (2.39) опе- ратором А', где 1 — любое целое положительное число, и учесть, что Адй (А") =/) (А '). Пример. Пусть В=1.,( — со, со) — гильбертово пространство д функций от т, — сод т<со, А=.—, у(1, т)=да(1)6(т) (см. (вт ' гл. 2, 9 1, п. 6), у, (1) еиС". Тогда д, (Г) 6» (т) едВд., а у, (1) 6„+(т) еиВ .
!96 Пусть /(1) ~С", афтаб/(1) =0 лишь при 1=0 Имеем ед""д"у/, (Г) 6 (т) = с. (1) 6 (т — /(1) ). Таким образом, при и четном имеем а а .. ') у (Г)6'""'( — /Я)д/= ) [е'"и"6, [т — /(0)1 + е-' и'6+ [т — /(0)О + ~') т) +У (т) = уа(0) дте(есанб+[т — /(0)1)+У (т), У))[ где У (т) енто 6 и / определены выше. Заметим, наконец, что в многомерном случае имеет место утверждение, аналогичное замечанию к лемме 6.10. Это эквивалентно следующему утверждению.
Пусть 1пп /г"~'/(й) <" со для любой функции д(х); тогда отличен от нуля в стационарной точке и метод стационарной фазы применим. 9 3. Асимптотика в малом решений абстрактных уравнений 1. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами. Пусть дана последовательность вложенных друг в друга банаховых пространств В"+'с:-В' (о=1, 2, ...), которая определяет линейное пространство В" со счетным числом норм вида )) [)вн, о =.1, 2, ... Рассмотрим оператор Ь = ',д В; (рм ..., р„, х„..., хл,„й) р'„„ хам зависящий от 2п+2 параметров и отображающий счетно-нормированное пространство В в себя.
Предположим, что оператор Ь бесконечно дифференцируем по всем параметрам, т. е. все его частные производные отображают В" в себя. Теперь рассмотрим счетно-нормированное пространство фуНКцИй Х„..., Х„»о й СО ЗНаЧЕНИяМИ В В". ПрОСтраНСтВО 1«д 197 определяется счетным множеством норм вида Фа д )о-» ц) д д /.= ~ С 1( — !Ь вЂ”,, — (й —,, ..., „„Ь) ~гй — (, г=о д д — (й —, ..., — Рй — действуют первыми, дх) ' дх„ причем операторы т. е. Ф) .(.г (р, х, г, й) ф (х) = =/., ~ — рй — ' д«т д , — рй —, х„..., х„а„й) ф (х) = «л =Ф"" ' / (р„х,-!ой) Ф """ "ф(9). Пусть сужение /.
оператора /., определенное на множестве элементов из В„обращающихся в нуль при х„+,— — 0 вместе со своими т — 1 производными по х„~„имеет обратный». '. Предположим, что выполнены следующие условия: 1) й'Х »В»~ У»! 2) существует единственное решение уравнения Е.тр =О, (6.0) (см. гл. 2, 4 2) Ф ''"' ~ф (р) = ( — 2п(Л)~/т ~ ото«/» Х Ф,т при А =1/Л, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
