Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2 УА +ссс Ь,— а где с а+ Таким образом, ~ ехр (Е(А -(- Есс) (г — а)ь)'ф(а) (1 — Е($)) с(ьь = Е) (А ). а Кроме того, поскольку ') [1 — Е($)(ехр(Е(А+ (я)(4 — а) ) фт(ь)сЕь = а = ~ [1 — Е ($)] ехр (Е (А + йх) (Б — а)а) фд (к) с(й, а последний интеграл в силу леммы 6.8 принадлежит Е)(А"), то, 163 следовательно, (2.14) ) ехр (д (А + ди) )' (1)) ф (1) сдс = й = ~/ л ' ехр (д (А + ди) ~ (а)) ф (а) + ехр (д (А + ди) ) (а)) ~ 1(5)+ 2 1/А+ ги —; ехр (1(А+ ди) Д вЂ” а)') (фд Д) — ф(а)) с(3+)((а), где )((а) енй(А ) и бесконечно дифференцируема по а.
Очевидно, что из (2.13) в (2.12), получим ь (А -(- си)'~+дд~ь ~ е'Апсд (1 — а) а (() Ж = й = — '[ — '~ Г ~" — +') р~"" ""~ '" а(а)+ +(А+ (и) "'ехр(д(А+ ди))". (а)) ср,(а)+ -)-(А+ ди) 'ехр(д(А+ ди)((а)) срй(а) + +(А+ ди) д ~ ехр(д(А+ ди)($ — а)') срджа) с(с+К (а), й ~ 1Д) ехр (д (А + ди) Д вЂ” а)с) (фд ($) — ф (а)) с($ = — ' (А + ди) д ф, '(а) + й ьс +д(А+си) д~ехр(1(А+си)($ — а)') — ( ~ )с(а= с$ ( 2($ — а) й ь, 2 = — '(А+ ди) д<р'(а)+ д(А+ си) ( ехр(д(А+ си)($ — а)') ~ с($, сс$ й где 8 (Я) (<рд (Ц вЂ” <р (й)) 2 ($ — й) Отсюда ~ ехр(д(А+ ди)1(1)) ср(1) сдс.= й едл/с — ехр(д(А+ ди))'(а)) срд(а) + 1"А+ да + — ехр(д(А+ си)1(а))(А+ ди) дф,'(а)+ ь, +д(А+ си) ' ( ехр(д(А+ (и)($ — а)й) ~ с($, (2.13) сса где др($) — бесконечно дифференцируемая функция $ со значениями в В и ф'" (Ь,) = О, Ь = О, 1,..., ф(а) чьО.
Подставив ~й = ~ ехр (д (А + их) Р (д)1 ф (1) сдд й 184 где ф, (а), ф,(а), )((а) — бесконечно дифференцируемые функции а со значениями в В, )((а) е=й (А"), ср,(й) — бесконечно дифференцнруемая функция а со значениями в В. Пусть теперь ад четно; тогда ь ь езде> (1 — а)™ с1с = д и (А+ ди) и ~ ехр(д(А+ ди)1(1)))д(()Ш, (215) где 1, (г) — бесконечно дифференцируемая функция 1, сд (йс) ед (й) У"(й)1 " Используя (2.13), получим (А+ ди)~'и~)~ ез)() (1 — а) а Я М = й = — (д)' ""' ехр (д (А + си) р (а)) ф, (а) + 2 + (А + си) "~* ехр (д (А + си) р (а)) ср (а) + (А + ди) д~с л ь, х ~ ехр(д(А+ (и)Д вЂ” а)ь) срй (с)Щ+;~д(а), (2.16) й где срь (а) = ей)<'д) д (а) 1/ с е' (йд срджа) — бесконечно днфференцируемая функция й со значениями и В, ф,(а), ф,(а), )((а) — бесконечно дифференцируемые функции а со значениями в В, )(,(а) енд(А"). Посксльку.
1,(а) = '(~) е ф, то в случае четного т имеем У.(а)1-~ (А+(а)( ~~а' ) е(лип(1 — а)сад(1) Ш = а + (А+ (а)-"'еы(('>~ра(а) + ь, +(А + ра) а ) ехр(((А+ )а)(в — а)з) (р (в) 4$+)( (а), (2.17) а где чз,(а) — бесконечно дифференцируемая функция а со значения- ми в В„(р,($) — бесконечно дифференцируемая функция $ со зна- чениями в В, обращающаяся в нуль со всеми производными в точ- ке 4 = Ь„>(,(а) ~.0 (А") и бесконечно дифференцируемая. Лемма доказана.
Положим теперь в формулах (2.8), (2.9) сз=О и применим эти же формулы к интегралам, стоящим в правых частях равенств (2.8), (2.9), но уже при а=а,>0. К полученным интегралам вновь применяем формулы (2.8), (2.9) при а=а,. Продолжая этот про- цесс, мы придем к асимптотическому разложению интеграла (2.7) по степеням оператора (А+сс,() Рассмотрим теперь интеграл ь 1 е~л((оу(1) су, где йо'( — Ь) =от(Ь) =0 (1=0, 1, ...), о(а) =О, ~" (а) >О, Т'(1) ~О а ь прн 1чьа.
Разбив этот интеграл на сумму. двух: ) = ) + ), мы к -ь -ь а каждому из интегралов, стоящих в правой части, можем приме- нить лемму 6.9 и, следовательно, асимптотическое разложение по степеням (А+)«з,) ". Нетрудно видеть, что при этом останутся лишь четные степени этого оператора, и получаем окончательно ь н )г'А ~ е(л(((>д(7) й( = '~,~ г(л)(а>у) (а) +. Я и (а), (2.18) ь (Л+ (оа)( где 9 „.,(а) енГ>(Ая+') п У+1 раз дифференцируемая ) функ- ция а со значениями в В, а д((а) — бесконечно дифференцируемая функция а со значеннями в В, причем у д (а) = —, ~,В ~ Г ( — ) ехр.( — з)йп~" (а)~д(а). В случае, когда оператор А-' ограничен, можно положить а,=О. ') То есть ее У+1 производная принадлежит В.
!86 3. Одномерный случай. Первый член разложения. В дальнейшем нам понадобится следующая лемма. Л е м м а 6.10. Пусть д( ) — дифференциоуеиая (т((2]+1 раз .функция со значениями в банановом пространстве В и все ее производные обращаются в нуль в точке (=а, о(0) ~0. Пусть .где ))о,~) — ~-0 при й-ь-оо. Доказательство. Очевидно, что функция )'(1) может быть представлена в виде 1'(1) =1р(1), где (р (() г ("«(а) з Проинтегрируем (2.19) по частям (т/2) раз: а р (й) = ) "'"> ',~ ' Ч (1) = Т (О - а — йе(ьдо — ( е(ь((О ~ " — ~ (и'у Я йс( (1) (а .) 7 О> ((ь)1,"1,) 1 (О ( и Р((> ) а а Функция га 1 з(СО р(1)=,, ~ — —,, ~ (уЮ Т О> (. е( 1 (О ) (2.21) со значениями в В при четном т имеет вид (р(1) = ' '~' ', с,(т) =(т — 1)1!„ Т (О (2.22) где (р, (!) — непрерывно дифференцируемая функция, причем «рз(0) = ~ ), и при четном т ф(1) имеет полюс первого я (О) 1('" (0)1(~(а) порядка при 1=0. При нечетном т функция «р(1) может быть 187 а (р (й) = 1 е(чн(м у я сй, (2.19) а где а>0, 1(1) ~ С(~аа(11«а — функция со значениями на прямой, Т'(О) =О, )а(0) чьО, Т'(() чьО при 1~(0, а).
Тогда функция (р(й) при Ь оо может быть представлена в .виде х ехр (' ( + ) аз)оп 7'(0)~1.;Г~ '>с е(ь(">у(0) (2.20) 4 представлена в виде (с) съ (оъ) срз (С) с )* (с) где ф, е= С', причем ср, (0) = , а а (о) [(" (о)1' +ъ>сз (0) о (т)а(о) [ (о)1'"+"" Следовательно, при нечетном т ъ>ренС'. При четном т, таким образом, (2.23) где ср,(с) =К "с, (>п)ср,(1). Поскольку [" (О) чьО, то выберем а)0 столь малым, что1" (о) =9 при ге=(0, сх]. Разобьем 1([з) на сумму трех интегралов: з~тг з о а т(ь) = 1>">з ) есмсс>ср (г) >[[+[с )з ) аъо>сосрз(г) с>с+ р >з ') есо>сосрз (г) стг. а 'з ллз Оценим последний интеграл: ! а у > ( ~ 1 ес"с('ъ 00 ! х>го ! ! р ~> (~) !оъ)ро Уь .
с(( Г (с) ! Уе 1'(>ъ((У>о) УХ Л:)У'ъ з Уз, [с(с Г(0 ! Ф Уа л'э'о )аа о ( — 1) " ър(л)= ) с (т)~аоъ>сс>ър (г)с[с. (2.24) (за) го>з о При нечетном т имеем ър(й) = ~ — ) зсмсо>ь[>(0) + ( ) ~ ась>соър'([) с[[— о >с ехР (Е + з!ип Р" (0)~ )з~ и есз>со>д(0) (1 + оо), (2.25) 4 где [!о,![, 0 при )з — съо. При четном т имеем О ()з) ър (>з) = 1I [з ~ есз>соср, я сИ = 1(й), о поскольку со >о)зз ила ()'(с))' [>" (с)! >н> о Ф мс>со Оценим предпоследний интеграл: а О у'Ь~а">сор,(()с[[= — ' ( ~*® с[ ">' =О [ — '1 а % Таким образом, переходя последовательно к пределу при Й-ъ-съо в Ф-о.со, получаем 1[п> 1[>п Исъ>с'>Р Я е-со>со> = З>-ооо О-э о = 1[по 1пп ~ехР~Й~Р ( — '~1(0)~~сРз ~=„) с>$ = а = 'рз (О) 11п> есР <о>а 'оЛ = срз (О) $,' ~ ехр ((Р з[йп >з" (О)) с[зь = о а = ср, (0) 1/ ехр съ '~ з[йп ~" (О) 1.
= !у'(о) ! (™/ооъ (зъ> д (О] / аа Г 1>ъ зос — ехр с( — з[ип 1" (0))~- . [[" (0)1 >о ! 1 (о) > 4 Следовательно, хехр ( (т ! 1> х з[йп~ (0)~[з ' ъ> за>о>со>д(о)(1 —,' о ), 4 где [[о,[! -0 прн )з — ~оз, что н требовалось. 3 а меч ание 1. Из предыдущих оценок следует, что если вы- полнены все условия предыдущей леммы, за исключением Г'(0) „-ьО, т. е.
если )" (0) =О, то !пп ! ъР ()з) ! Асо'а'>з = со. 4. Многомерный случай. Пусть теперь К(х) =>'(х„..., х„), д(х)=д(х„..., х„) — дифференцируемые (и/21+! раз функции со значениями в банаховом пространстве В, обращающиеся в нуль на границе области з),=([х,— ха. ! (б, ъ'=1, ..., и) вместе со все- мы производными, х=хо — единственная стационарная точка 189 Р ~ (у)=6 6(у)) — йхо)= — ~~~ у'с — — Х у',+ ..., з=з с Рзз атаб Г(х,) =О. , 3"! Лз! функции 7'(х), т.
е. Пусть, далее, тр (й) = ~ в'осс с а (х) йк, ссе чим через ),(у), д,(у) функции "Ы невырождена и индефинитна, 1(х) еи матрица сс =~ ~ дк дк. ~ с' ~Сс"сзс+'(й,). Л е м м а 6.11. При вьссказанных предположениях справедливо равенство Сделаем заменУ пеРеменных йс=~ (т1) (с=1, ..., и), приво квадратичную форму з дхс дх к каноническому виду з Ю(Ч) =4(9) =~ ЛМ. с=з Отсюда следует, что прн малых й ~(с!+хо) =66) =7(хо)+ —;Я ЛМ+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
