Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Отсюда следует утверждение леммы 5.2, а. Очевидно, что 5а вложе- нов Й, Л е м м а 5.2. Пусть денЯа; тогда *) йыа, -с (2.2) До к аз а тельство. Б силу теоремы вложения ! ( Хй — ~ х~р'Я(х, Е, й) $ «» — (Сл/$ у~)алке + Сл[й'/~,ыз~а!а+а). дГ, Ьма Следовательно, й"'-уен5;.~Яа. Лемма доказана. Рассмотрим следующие пространства: а)таГ(р) с нормой а ао '( у (~. ~ = 'Я ~ ~ р'й (х) ) в дх а К.(х„р) с нормой [У[к, = '", ~ ~)Р'х'а(х) 7'Г(х. Г Гыа-» Теорем а 5.2.
Если у~Я„то йлнехр1 — 'ЙГ).у~ В . (й Предварительно докажем две леммы. а) Точнее, л(л, Г, Ь) можно изменить на множестве меры нуль твк, чтобы выполнилось включение (2.2), Лемма 6.3. Пусть существует Г ограниченных производных п(х); тогда оператор ехр ~ — ' ЙГ~~ равномерно ограничен в пространстве аа(7а'(р) при О«й«й„О«Г«ао Доказательство.
Йетрудно убедиться в том, что имеет место тождество ~В, ехр ( — 'ЙГ~1 = — '~ехр~ — 'Н(à — Р)~[В, Й) ехр ~ — 'НУ)~дт'. (2.3) а (Здесь [, ) — коммутатор, т. е. [А, В) =А — ВА.) Оно приводит к неравенству $ Влас, «( Ву ~са + — Гпах ) [В, Й) у ) с„, (2.4) ь альки где у = елр ~ — ' Й Г у, [ д [[, — — ~' ( о )а а(х. Предположим, что лемма справедлива при (=й. Очевидно, что коммутатор [ра+', Й|=[р"+', о(х)1 в силу ограниченности производных с(х) будет ограничен в Я),. Из (2.4) вытекает„что если ус= ))ула, то норма 1~ра 'дусь, ограничена, поскольку по индуктивному предположению д )ага. Лемма доказана.
Л е м и а 5.4. Пусть ( производных о(х) равномерно ограниченвь Тогда оператор ехр1 — ЙГ~ равномерно ограничен в простран) й стае К,(х, р) при О й«й, О =Г«га. Д о-к а з а т е л ь с т в о. Сделаем индуктивное прсдположение: Предположим, что д — К,, и что норма ~~х"-ар'-"+'о1~„ограничена.
Докажем, что денКь тогда норма 1~х р' уй,, тоже будет ограничена. При т=) индуктивное предположение выполняется в силу леммы 5.3. Первый член правой части тождества [-р' .Й)у=~"[р',о(х)) — й ='р' "й ограничен по норме в Еь поскольку д~Ка „а второй — в силу нашего индуктивного предположения. Из (2.4) следует, что норма (~х 'р'-"о'~~ . также будет ограничена. При (=1 индуктивное предположение очевидно. Лемма доказана. ГГ Докажем теперь, что если д~)та, то у= ехр ~ — ЙГ)-у~)та» 1» (тогда из леммы 5.2 будет следовать утверждение теоремы).
Для этого остается доказать. что норма 1) Гй — ) к ~ равномерно ограничена при О«й«й„ΫëÄесли уе=тт,. Это следует яз 149 тождества ~~111 — ) у~ =$ехр ( — ' ЙЬ Я~у~ =$Й«у$,„. которое может быть представлено в виде № № у =,",>,' С~7«+ ~ С«А '(ВА ') У + С№'7. Теорема доказана. Из последнего рассуждения следует также следующая важная для дальнейшего д 1 1-' Т ео р е м а 5.1, а.
Оператор [1 — + — И | отображает д( Ь в Рл. Аналогичная теорема может быть доказана в случае, когда потенциал о(х) зависит также и от времени. При этом следует опираться на оценку (2,1) леммы 3.1 ч. 1. Теор ем а 5.1, а справедлива и в случае, когда оператор Й есть оператор Дирака первого порядка.
Доказательство этого проводится аналогично доказательству теоремы 4.1, а. Из теоремы 5.1 вытекает следующее предложение. Т ео р е м а 5.2. Решение задачи (1.11), (1.12) может быть представлено в виде (1.10) „где в~5». Дока з а тельство. Переход к квазиклассическому представлению совершается с помощью замены ф = У '* [ехр ~ — 5~). ~ и. Очевидно, что если иен5», то и лре=5», и обратно.
Доказательство теоремы проводится с помощью следующей леммы, относящейся вообще к абстрактной теории возмущений. Л е м м а 5.5. Пусть А, С, У, (1 1, ..., )о') — линейные операторы с областями определения и областями значений, лежащими в счетно-нормированном пространстве В". Оператор С имеет об' ратный, коммутирует с А и Уо определен на всем В, сужение Л оператора А имеет обратный «), а область значений оператора А ~~ С»ьлт равна В л л Предположим, что существуют решения х„..., х ~, +, уравнения Ах=О такие, что ~,=х„ Т«=х«+ А '~~', УЬ-1 «=» при л=1, ..., )т'»-~-т+1 принадлежат области определения оператора В '~ С'-'У,.
Тогда существует решение уравнения 1=» с А — ч С'У у=У, У (-= В, л=л ') То есть уравнение Ах=о нри хш0(А) может иметь и нетривиальное решение, а ври лен(1(Л) имеет лишь тривиальное решение. 1оп где( — некоторый элемент из В", при условии, что ~~~~ С«А л (ВА ') У (= 0(В). оператором А — СВ, где Доказательство. Подействуем В= ~~ С'-'Уь на элемент вида с=а №ни № н« 'Я С 1««+ У С«А л(ВА л)У".
Поскольку АА 'В=В и Ах;=О, то А~„='Я Ул(' л и «=л н»еол и №+о» А»р= 'Ц С'~~~~ (Т4 ч+ '>'„С«(ВА ') У = «1 1=1 № н«+л « №+ «1 С+»~и~ рУ(+Д 1+ 'Я С«(ВА»)~У, где полагаем У;=О при 1>Ф, Очевидно, что М М-» н н«+№ле « №ео»е» Ус'ирР=С ~с'и„,Р= У с "ь (т„Ь вЂ” ~ с'(ВА-)'У. р а 1 е «=о т е «о Поэтому | 1 нл"'+и ' А — ~С'и,~ р= ~ с""У(т,„~ + т=л «~,н««~е + (ВА л)№~' С ' е«У" + У = С '~му + У, где уеаВ" в силу условия леммы. Таким образом, (А+СВ)»р =С "'+ у+У. В силу условия леммы существует решение о уравнения С-" (А+ СВ) о.=у.
Очевидно, что у=»в — С№+ о служит решением уравнения (А + СВ)у У". Отсюда следует утверждение леммы. Положим в лемме 5.5 д — . д В =5з, А=а —, А=з— аг ' ',аа на функциях, обращающихся в нуль при (=О„В=Н„С и. Усло. а вня леммы для оператора з — +ЙН» выполнены, поскольку обд1 ласть его значений, как мы доказали, равна 5,. Решениями уравнения з — =0 .ач дз з — +ЬНз) и=О . а а1 может быть представлено в виде м з 1 и= 'Я ( — 1) Я"'Я ~ — з'~ ЖНа зри-1+ з=з д=а з д-т д — зд'( — 1дд)( — о„)с~ кд-з'"'з.
где ~я5з. Следовательно, решение ф задачи (1.8), (1.9) может быть представлено в виде (1.10), где ' х=)17 1' ел р ( — 151 Ц ен5з, что и требовалось доказать. В 3. Релятивистские уравнения 1. Уравнение Дирака. Рассмотрим уравнение Дирака 15 — — Й ф=О, аь д1 (3.1) где Й =еФ(х,1)+су(ЪЧ+ — А(х,1)1+аз»с, с Зр=(ард, фа, З(ЗЗз Зрд). Х=(ХЬ ХЗ, ХЗ)э А(х, 1) (А„А„А,) и Ф(х, 1) — векторный и скалярный потенциалы злектромагнитного поля, которые являются здесь заданными функциями х, 1.
152 служат функции, зависящие лишь от х, (хзо ..., х, ). Отсюда следует, что решение уравнения Предположим, что решение уравнении (3.1) удовлетворяет начальному условию вида зр'р,= ра(х)ехр ~ — 5 (х)).. (3.2) Рассмотрим соответствующее уравнению (3.1) классическое уравнение Гамильтона — Якоби (дЮ ) еФ') еа(Ч5 е ~1 лаез О Из (3.3) видно, что д5/д1 имеет два значения. Решения х~(1) Х (хз, 1), Р Я Р (ха 1) 5 (1) 5 (хз 1) системы уравнений (3.3) й4 ан ди др ° и ахз ' х= 1,:ха, р- ~, = Ч5, (х,), аль ь,", аННь~ ~ч р;, 1=123; аа д зарр Н» (х, р, 1) = еФ ~ с соответствующие знакам «-~», отвечают двум ветвям решения уравнения Гамильтона — Якоби.
Предположим, что А (х, 1) и Ф(х, 1) ограничены вместе со своими двумя производными и вторые производные от 5,(х) также ограничены. Тогда (см. гл. 8, В 2) при ', меньшем некоторого 1„семейства решений системы (3.4), соответствующие знаку «+» (так же как и знаку « вЂ” »), не пересекаются, якобнан д»д„дд дд~ ~" ) ах„ отличен ст нуля н решение уравнения Х (х„1)-=х единственно: хз = хз~ (х,Е). Пусть 5 (х, Е)=5 (х„1) — две ветви решения уравнения (3.3). удовлетворяющие условию 5~(х, 0)=5,(х).
Квадрированное уравпение Дирака (см. (47, 45)) имеет вид ~(18 — — еФ1 — е«111дЧ + — А 1 — таез + ЬН (х, 1)~ Х =О, (3.5) д1 с 1да где Я(х, 1) — четырехрядная матрица вида Я(х, 1) ее[(о,.а)+1(аЯ) ], Я(х, 1), тс (х, 1) — векторы электромагнитного поля, а в=(>т„оз. оз) — четырекрядные матрицы Паули [47].
Полагая Х!» ~='Ре(х)екр~, ое(х)~ ° (Ь вЂ” "] =(еФ+су((йа — — А)+л>с'~~раехр( — 'Яа(х)~, (Зб) мы получим, что 1(=ф, где зР— решение уравнения (3.1), удовлетворяющее условию (3.2) (см. гл. 1). Обозначим через р(х„1) функ- 1 дх цию — — (х„1), а через с дг >- з(-( — ]аЫ..а.а>, „,зф. ! а где т т(х,1)= ~ '1/1 — ра(ха, т) с(1, а — решение задачи > — = — Л[Х(ха,1),1]> > ]'з 7(0)=7'. Фс Заменами — 1х (,за х екр [ — 3* (х, 1)~ ~ре [Х (х, т), 1~ (х, т)] = 8« (х, т), за <., >='аз(- — ']а>х*>„а.юз~,з)з >*., > >за> а уравнение (3.5) приводится к виду («квазиклассические представления» уравнения Дирака для электрона («+») и позитрона ( — »)) дЮе;» — = — — а (х„) И „,],7Г а (х„т)М, где ате (хе» т) = 1,/ . ' ехр — ~~ ]т (Х (х„(), Г)з=з<,> з(т, .',~ са — (х=(к..о)1' [ 1 г $~ — 1Х* (к, 0)а а (З.бб) 154 С)„,, — оператор Даламбера в «криволейных» координатах х„т.
Этот результат следует аналогично из дополнения (см. $5 «Решение уравнений переноса»). Пусть А(х, 1), Ф(х, 1), Зз(х) бесконечно дифференцируемы. Пусть х екр — — [ Я с(т а«М" „ 2зпза,> а Ма (, а=У «(ха,й), Ме ],,=О, л)0, М,=О, где У" (х., Ь) — бесконечно дифференцируемые функции х, и Ь. Обозначим 2« = 4 — '3'(х,г)1 а=] 7«]-Из к ',ь ( р( — ']а з1уза„=) . >з.з> а кз=к (к Х> Доказательство того, что существуют решения з(>+ и ф- уравнения Дирака (3.1) такие, что фе — 2« й~ 'х(х, 1, й), з]>- — >(у = й~"г, (х, 1, Ь), (З.бг) где хенЗ„х,енЯ„проводится совершенно аналогично доказательству теоремы 5.2.
При этом надо воспользоваться оценками решения уравнения (3.5), аналогичными тем, которые были получены для уравнения Шредингера. Все рассуждения относительно уравнения Шредингера, как мы уже говорили в замечаниях к теореме 4.1, переносятся на случай неквадрированного уравнения Дирака (3.1). 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
