Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Имеем Рр Р Р 4 ~ -,.Аг аа*д~ ~лч ч*.д„= х х к/в со йр ггАга ар*в-млгх ххевйт дг ~ с(~р ~ гхА1 ххе мл1 с<а' чих л1 4 2 и" и а/з в/з з О 1 ~' «««р 1 ~' ««г К = — 1 й; (1.10в1 ,«а+«АссзЧ> а,) а~-«Асзаг з сь где контур С. состоит из точек 0(х~ —" — б, х при г —" + бе«с при 2 при — + б(х -зз. 2 Таким образом, на полуокружиости 1совг= (сов ( — "+ бе«ч) = ~ 2 =(сов«« — "+ бсов«(«)«сЬ(ба(п«р) + в(п ( — + 6 сов «р1 вЬ(ба(п«р) 1 2 / 1 2 О причем ва ~ — +бсов«р) в1«(бе(п«р) =:ОО прн б<б., 0(«р(п. Отсю- да следует в силу (1.1) (((Ох+(сов гА)-'(1~«и/сз, когда вы С, Из (1.10в) следует рар 1 (' ее „ ((А а) .) Г а (1 + . .) 1 и с созе~ 1+ («А — а) ссзг О=О СЬ + , з«+« 1+ ссз г з«+' дЖ .
с азз г+ О(< — О) ) «А — а Поскольку интеграл существует и равен некоторой константе е„, то можно записать «(г а (1 + соз г) ссз г+ еь «А — а И' л Хзз (1 ( )з«О«,~ Х («а-(- А)з (а — «А) ~ («А ссзг+ а) (созе) +з О=О сь Докажем теперь, что (1 + ссз г) (а — «А),) («А созе+ а) (созе)~+' сь Действительно, Ама (' (1 -(- са«г)ь«+' (а — «А)'~,) (ЕА ссз г + а) (ссз з) з«О' сь "(('('- )Г( -("" "-""( х ~ ))(«Асозг+а)-«У~де .-, А((1 (,и)нЦ((е(лГ б) сь Лемма доказана. Заметим, что если А удовлетворяет условию 1, а), то нужно брать — и («р(0.
Л е м и а 6.5. Для любого дев«".) (А) справедливо равенство Т 7=Ау. (1.11) Доказательство. Имеем ТТу = — ~ е'л"'А Нх ~ е-«лз'Ау «(у. О О Аналогично тому, как было доказано в лемме 6.3 соотношение (1.10), получаем О Ю ОО ') е«л"'Ас(х~ е-«Аз*Аз«с(у= 11ш ~ е'л" *А«(х ) е «лз «"Ау«(у (1 12) О О а Оз О Аналогично тому, как это было проделано в леммах 6.3 и 6А, получаем «(г 4 Азу = и ) с«+ 1Ассзг з з сь 1 1 ~ А а а ь а 2) «Асовг сь 174 Поскольку то — — = ц, ~ ) — д ~ = с, (6) [[д ~, с"в 1св а «-=с,(6)М[й»», св «О5 2 (1+ ) Приведем вначале известный формальный способ получения асимптотических формул метода стационарной фазы.
Пря этом выводе, как мы увидим, встречаются расходяшиеся интегралы, которые мы совершенно формально регуляризуем. Заметим, что обоснование метода стационарной фазы, которое здесь будет дано, ни в какой мере не опирается на приведенный нивке прием. 1. Формальный пркем вычисления членов асимптотического ряда. Рассмотрим инт"грал 11п«1 '1 е«'х ' *с[х~е-«Ах~в'Авк ху=Ай «-~о в 1 в в Отсюда и нз (1.12) следует равенство (1.11). По замыканию в норме»[й'~»+»»Ад»» оно остается справедливым для всех де=Р(А). Лемма доказана. Л е м м а 6.6.
Р[меет место равенство т=Т. Д оказ а тельство. Для девР(А') по предыдущей лемме ТТд= Ад. С другой стороны, в силу леммы 6.3 т й=Ай. Следовательно, тту=т'и для «7енР(А). Значит, для денР(А') т'тн=т у, т. е. Атй — Атй=О. Отсюда в силу условия 3) та= тй для дезР(А«)«По замыканию в норме»»й»[+»»Ая»[ это равенство сохраняется для всех д~Р(А). Лемма доказана. В дальнейшем оператор Т мы будем обозначать Т=т»А, а оператор Р,= (А+1«х) '". Такие обозначения определены доказанными вйше леммами. В случае, когда А — «отрицательный», т. е.
удовлетворяет условию 1, а), под р'»А» мы будем понимать у' — А. й 2. Метод стационарной фазы для абстрактных функций В этом параграфе будут выведены асимптотические формулы метода стационарной фазы применительно к интегралам от абстрактных функций.
Метод стационарной фазы для функций со значениями иа прямой обоснован, например, в работах [43, 491. 1(Ь) = «) ... ) ехр г«( — ') (х)~ «р (х) «(х, (2.1) где ф, ~~С", ф(х) финитна. Для вычисления членов асимптотики 1(Ь) при Ь- О применяем следующий формальный метод. Пусть х=х,— единственная стационарная точка, т. е. точка, в которой атас[1(х) =О. Разложим 1 (х) и ф(х) в асимптотические ряды Тейлора в окрестности точки х=х,: 1'(х) =У(хв) + — ~ч; (хв) (х« — х,) (х« — х,) +..., «л=« ' « «р(х)=«р(хв) +'Я ф ' (х« — х„-) —,' дх Сделаем в интеграле (2.1) замену переменных: Х« Хвг = » ' и ь1. Тогда « 'Ы ««~)= «1 — '««.«««""в 1...
[, «„р[' » «„«„,««в~„ У,Й-1 г«ехр(1 у'1[1,(хв й)+ у~'й)в(хв й)+ ))(ф(х)+«р,(х р)-~гу, » )дв (2.2) где й(хв,~)= — Х (хв)а." Ь,. «, м «'«в (хв) = хв~ двр дх, дхв в ф» (х„5) = — ~ч; ~ф (х );„...;-,. « „...«в «1 ' «в дх ... дх Поскольку ф(х) =ф(а)=ф(х,) + фБф,(х„$) +...+ 1«'мфт(х„$) -»- ..., 177 то имеем ор (хо, $) = ехр (1 р й (1 з (х„$) + )/ й 74 (хо, с) + ...)) ф (5) = = ~ й' '(г„(х„$), (2.3) где ()„(х„$) — полипом т-й степени относительно $„(й=1, ..., и) с коэффициентами, являющимися линейными функциями производных ф(х) до ч-го порядка в стационарной точке х=х,.
Подставив ф(х., $) из (2.3) в (2.2), получим оо 7(й) = р1 — 'Р(х,)1й"" ч.' „й"С,(х,), ',й о=о (2.4) где л С„(х,)=Иш ) ... ') е-'и)'ехр~ — ' 'Я То)(хо)Щ Я,(х„в)аа. ".В )е Ь При нечетных о функция (г„(хо, $) нечетна и коэффициенты прл полуцелых степенях й обращаются в нуль. Следовательно, 1(й) =ехр ( 1 ~(ха)) ~й"" '~~, й Сео (х,), ч=о *) Нетрудно получить н непосредственное обоснование вышеизложенного метода разложения н регулярнзацнн интегралов, взяв вне носителя функции ф(л) область интегрирования в комплексном пространстве так, чтобы интеграл в формуле (2.4) сходился.
178 где С (х,) — линейная функция ф(х) и ее производных по х до 2о-го порядка в точке х=х,. Обоснование этого разложения мы получим, опираясь в основном лишь на формулу интегрирования по частям '). Как уже было указано в предыдущем параграфе, эта формула для абстрактны' Функций д(х) со значениями в гнльбертовом пространстве В ч оператора А, порождающего группу в этом пространстве, имеет следующий вид: ь ь ( — "1)' . = — ° — '," —. 1 ° еля > l~~>~ 1 дт= — е'лп) ~~ ) — (А ') еже к® Щ(г) (25) й й при условии, что у(Ь) =О, у(а)/1'(а) евВ н интеграл, стоящий в левой части равенства, существует. Эта формула позволяет перенести известные результаты метода стационарной фазы на абстрактные функции.
Рассмотрим в качестве наиболее простой иллюстрации следующую очевидную лемму. Пусть фенС„, 1еяС", Π— носитель ф(х) и Лемма 67 ханой; тогда У(й)= ~... ~ ( — '~(х)~ф(х) 1 дгаб~(х)ч~О при = О (й"), где У вЂ” любое число. Д оказ а тельство. Очевидно, что 7(й) = —, — — ~ехр 4( — 7" (х)~) ф(х) г(х. 1 ~дВдх.дл) 1 (й Тогда, интегрируя (2.6) по частям, получим, что 7(й) =0(й).
Продолжая этот процесс, получим утверждение леммы. Для абстрактных функций такая лемма может быть сформулирована следующим образом. Л ем ма 6.8. Пусть фыС" (В) (х= (х„..., х„)) и финитна, О— носитель ф(х), )енС и йгаЦ(х) чьО при хай, А — самосопряженный оператор; тогда 0 о еглггл)ф (х) ах — 1) (А' ) (2.6) где йевС а дяС (В) бесконечно дифференцируемая функция со значениями в баиаховом пространстве В, А — производящий, оператор, обладающий свойствами 1) — 3), перечисленными в предыдущем параграфе. В частности, можно рассматривать д(1) как непрерывную функцию параметра й: д(Г) =д(Г, й) такую, что все ее производные по 1 ограничены при О. й(1, а оператор А — как оператор умножения на 1/й. В этом случае вся развитая теория будет совпадать с обычным общеизвестным методом стационарной фазы, изложенным, например, в книге Эрдейи «Асимптотические разложения» 149).
Мы будем опираться здесь на результаты предыдущего параграфа и на формулу интегрирования по частям (2.5). Лемма 6.9. Пусть 1енС", )'(а)=0, )" (а) »О, Т'(1) чьО при а -1 =.Ь, й'(1) — бесконечно дифференцируемая функция со значениями е В, обращающаяся в нуль вместе со всеми произеодными при г=Ь.
Тогда е случае нечетного т при всех ех~О выполняется 179 где йг — любое целое число. Доказательство, аналогично лемме 6.7, проводится с помощью формулы (2.5) интегрирования по частям. 2. Одномерный случай. Разложение в асимптотический ряд. В этом пункте мы будем рассматривать интеграл вида ь С егл™а(г) и, (2.7) й соотнои«ение (А+ Еа)(™ ~етн(о(Š— а)-у(Е)дЕ= а — — Г ~~ — '~) ехр~~~~ ) я)е«оц(а«у(а)+ +(А + Еа) иехр(Е(А+ (а)Е(а)) «р,(а)+ -(- (А+ Еа) ' ехр (Е (А + Еа) Е'(а)) «р, (а) + + (А+ Еа) ' ~ ехр (Е(А+ Еа) (с — а)') «р, Д) «$+ )((а), (2.8) а еде «р,(а), «р,(а) — бесконечно дифференцируелые функции от а со значениями в В, «~,($) — бесконечно дифференцируемая функция от ф со значениями в В, обращающаяся в нуль вместе со всели производными в точке Ь, )((а) енй(А") и бесконечно дифференцируема по а. В случае четного гп при всех а)0 имеет место соотноиьение (А+ Еа)( «.«)) ~е«м(«)(Š— а) у(Е)«ЕЕ= й — — Г ~ — ) ехр ( )- е'м(')д(а) + +(А+ аЕ) Ие")(а)«рь(а)+ +(А+ (а) "' ~ ехР(Е(А+ Еа)($ — а)а) «Рь(Я)с6+)(«(а), (2.9) а еде «р,(а), )(,(а) — бесконечно дифференцируемьье функции со значениями в В, «ь,(~) —.бесконечно дифференцируемая функция $ со значениями в В, «р(") (Ь) =О, п=О, 1,..., )(«(а) вне) (А").
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что ь = ~ еьвп«) (Š— а)'" д (Е) «ЕЕ = й = ') ехр(Е(А+ аЕ) Е(Е))(Š— а) е Е(«)у(Е)сЕЕ= й ь = ~ ехр(Е(А+ Еа) Е(Е)')(Š— а) у, (Е) «ЕЕ= з (ь«/а) =(Е)( п)(А+Еа) ( м) ~ехр(Е(А+Еа)Е(Е)) ~ — — 1 да(Е)«ЕЕ,(2.10) )в(ЕО)~ й где да (Е) = (Š— а) "еа«« "д(Е), поскольку при гп»1 ь р( (А+Е )Р(Е)) """ ' д1(Е)= Г (е) а ь =Е(А+Ем) ь ( ехр(Е(А+Еа)Е'(Е)) ~ " е«) сЕЕ. р и) Обозначим т [а«!ь] ЫЕ)=~ — . ~ (Š— а) 'у(Е) """. ат Г (Е) Очевидно, что в случае, если т четно, то ), (а) че О, а в случае нечетного т Е, (Е) имеет нуль первого порядка в точке Е = а. Предположим, что т нечетно.
Тогда, интегрируя ( 2. 1 О ) один р аз по чвгтям, получаем ъ (а««аяа Е = Š—.~ с(вт)(А+ Еа) ' «а)пе«"Е(а)у(а) — ,' (а) ь + Е' ""'(А + Еа)-("'«а)м ~ ехр (Е (А+ Еа) Е'(Е)) — ( —,' Е, (Е)1гЕЕ,«(2 11) " (.Е'(е) а где с(пь) =(пь — 1) (1, поскольку ь Е ) ехр (Е (А + Еа) Е (Е)) ~, (Е) (ЕЕ = й ь = (А + Еа) ь ~ехр (Е (А + Еа) Е (Е)) «' ( ) ~— Г (Е) )а ь — ~~хр (Е(А+ Еа) Е'(Е)) ~ — !' "1 <~ а Очевидно, что равенство (2.11) можно переписать в виде ь )г е'"е(о (Š— а)™ у(Е) сЕŠ— — Г ~ — ) ехр ~«( ) (А + аЕ) ( "л еоц(й>д(а) + ь + ь" '~~'(А+ (а) ' «ан*~ехр(Е(А+ Еа)Е(Е)) — ( —,' 1 с(Е. (2.12) «ЕЕ ).Г (Е) 1 Таким образом, задача сводится к изучению интеграла вида ь Е, = ~ехр(Е(А+ Еа) Е(Е)) «р(Е) с(Е, а где ф~С" [В), ф(а) — 'О, фс" (Ь) =О (й=О, 1, ...). Имеем ь Еь = ~ ехр (Е (А + Еи) Е(г)) ф (Е) сЕсЕ= а = ехр (Е(А+ а() Е(а)) Сехр (Е(А+ йх) (-" — а)') ф(Е (к)) — 4= сР =ехр(Е(А+ Еа)Е(а)) ) ехр (Е(А+ Еа)($ — а)') фД)сЕк ° а где (4 — а) '=/(Е) — Е(а).
Пусть ЕенС" и при этом О прн $ — а) — ' 2 Е(к)= . 1 при к — а~ —" 4 Имеем Еа = ехр (Е (А + Еа) сс (а)) $ ехр (Е (А + Еа) ($ — а)') Е (3) ф (а) сЕк + +ехр(Е(А+ Еа)Е(а)) '1 Е($) ехр (Е(А+ Еа) (к — а)а)(ф ($) — ф(а))сЕК+ а ь, + ехр (Е (А + Еа) Е (а)) ) [1 — Е ($)) ехр (Е (А + Еа) ($ — а)') фь (к) сЕк.
а В силу свойств Е(а) получаем ) ехр(Е(А (- йх) Д вЂ” а)а) ср(а)Е(8)с($= Отсюда е' сс есаСс ехр (Е (А+ Еа) Е(Е)) ф(Е) с(Е = — ехр(Е(Л + Еа) Е(а)) ф(а) + УА — ' Еи а сс + ехр (Е(А+ Еа) Е(а)) ) [Е(с) — 1) ехр(Е(А+ Еа) (ь — а)') ф (а) сЕ$+ а + ехр (Е (А + Еа) Е (а)) ~ ~ Е ф ехр (Е (А + си) (с — а)а) (ср, (с) — ф (а)) с(к + ьа ь, -;[а — сссс1 сесе )сс — а >с.сс)сс~. а Заметим, что для любого с)~В имеет место тождество ~ ехр (Е (А + Еа) (е — а)') с) (1 — Е (к)) с(Б = а и(Е(А+Е )а — )')ф(1 — Еа))АК= а е(ехр (Е(А+ Еа) Д вЂ” а)') с) = 2( (А+ Еи),) $ — а с ~ ехр (Е (А+ йх) Д вЂ” а)а1 а — [ ) сЕь = Г с( Е ! — Е ($) т 2(А+си) „~ с($ [с $ — а ) с ~ ехр (Е (А с- Ест) ($ — а)') с) ~ — — 1 (1 — Е (к)) е(к, с 182 = [ хр(Е(А+ й )(И вЂ” а)') ф(а)Е(к) ЕБ= а = ~ ехр (Е (А + йх) Д вЂ” а)') ф (а) сЕь + а + ~' [Е д) — 1) ехр (Е (А + ссЕ) ( — а)аЕ ср (а) сЕБ = а = ~ ехр (Е (А + Еа) с)а) ф (а) асс) + ~ [Е ($) — 11 сс с а сс ехр (Е(А+ Еа) (й — а)') ф (а) с(в = )с" сс еса/с ср (а) +[~ [Е (к) — 1) ехр (Е (А + Еа) ($ — а)~) ср (а) сЕеь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
