Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е, Ф ' " ф($) =(2п(Л) /о )с *) Здесь при А = 1/Л )с ф (Р) е (Р) Ф х ) е эо/~ф(цдка) 198 (сопз$, 1(т, пт (и+1. Пусть Уо — некоторое счетно-нормированное пространство, объем-, лющее Щ Уо~)то. Обозначим через Р» подпространство Що функций, не зависящих от х„,. 3 а м е ч а н и е. В этой главе мы будем проводить доказательства для случая, когда просэранства В* (1=1,..., со) гильбертовы, используя тот факт, справедливый лишь в этом случае, что Феи»)т)ос Ро.
Если же пространства В' банаховы, то мы можем утверждать лишь, что Ь"/'ФР)/»)тос:Яо. Это обстоятельство не влияет на ход доказательства приводимых здесь теорем, ио сказывается на оценке, которая понадобится при доказательстве теоремы 4 4 В пространстве гсо рассмотрим оператор удовлетворяющее при х„а,=т, условиям — (:=Ил, /=О, ..., пт — 1, д тр а дт) !=х 1 ири 1,(х„+,(Т, такое, что й" р Уо, Т>!а~О. Очевидно, что если выполнены условия теоремы 4.1, то выполнены и условия 1), 2). Это следует из леммы 5.2.
Пусть ф()рм °,,о», х»ат, . ° ., хлат, й) = = тр (рм ..., р», х» „х „, й) ехр ( — В (р, х)~, где Б(р, х) =В(р„..., р„х,+„..., х„+,)а=С", а ф(р„..., роо х„„..., х„„й) — бесконечно дифференцируемая ограниченная функция при Х (т), х, р, 9, Ь) Ф ф (р, х, й) = Ф "'' р( — е)р, ))(о)о', .а,т',а)а-~- Ио д)р + дь д,р д Ф д дно д 1 ~,~т до8 дЧ.о " ~ до.ч дога 199 0~(й(1, 0(~х,~,~~Т и финитная функция аргументов р„..., р„х, „..., х„со значе- ниями в счетно-нормированном пространстве В". Для упрощения фоРмУл обозначим Р„+„..., Р„+, чеРез $»Ф„..., ф„л„а х„..., х„— чеРез т)„..., т)о соответственно, Р,=ат пРи 1>Ь. ТепеРь мы можем обозначить ф (р, ..., р», х» ь..., х ., Ь) = ф (р, х, й), Е=/.(ч, х, р, $, Ь) =,' д .
д = '.(т)м ..., т!», х»,,,..., х„аи — 1Ь вЂ”, ..., — (й —, — (й — й), дит ' дт)» дх д д д где — = —, ..., —. дх дх» ' дх„ 2. Асимптотическое разложение линейного дифференциального оператора с частными производными и операторными коэффициен- тами. Л е м и а 6.13. Имеет место следующее соотношение: ИО1 р( — — т 1,~1(О,*,Р,1.1) Р~ Р(Р ))Р (Р 1) !=1+1 И+1 О )о Ц ((х(' Г( (1Р) с=Я+1 Г 1 / и(.1 и )(ехр( — '! ~~р', $)х; — ~ Ч(р(~~(1 (т), х, р', $, й) х (а ;)=ЬР1 1=1 И И+1 .- ЯЗ.,.' — З 1.,:))).
( .'. 1)- (-"(х,*))* )=1 у=и ч /! И+1 )о Г) с(хртА; Ц т(рте(Чь (З.З) 1=1+1 я1 — любое целое число. Для вычисления 1,(х, р, й) Стационарными точками Р й) х)' Рь Ч'. 1= й+ применяем метод стационарной фазы. 1, ...,п+1, 1=1, ...,й, являются решения системы х) =хь ~,; =Я, 1=й+1, ..., и+1, дх! аз(Р", х*) = — Ч(, РР =Р(, 1=1, ..., й. ар,'. Зта система, очевидно, имеет единственное решение дйО),х) . + ах, х) =хб т)т= — ', 1=1, ..., й, о дЯ(р, х) арт Рт =Р(.
2ОВ Из определения Ф(Ч, $) следует, что 1,(х, р, й) отличен от нуля лишь при т), вос;12„т. е. при $~йга(1 З(р', х'), Ччь — йта(1 5(р', х'). Но если Ч, Е~Я„то 1,(Ч, х, В„й) не имеет стационарных точек. В силу леммы 5.7 1(х, р, й) =1,(х, р, й)+0(й"), где 1о(х,р,й)= „, ~ ... ~ Ф(т),$)х Поскольку определитель о 1дц1 ),'э, о о ( РР и. *) ( дх дх) о о ((е1 о о о о 16п1 о то можно непосредственно применить метод стационарной фазы к 1,(х, р, й).
Применяя метод стационарной фазы к 1,(х, р, й) и учитывая, что 1(х, р, й) =1,(х, р, й)+0(й"), Здесь д8 РРО ч дР( г (т)о х , то й) ~ дх $(= —, 1=!, ..., й, дх. 1=й+1„..., а+1, с,(х, $, р, т!) — полипом 2(чй степени относительно В, Ч, а„Ь„си а,ь Ьи, А;, ео, 1» — коэффициенты, зависящие от р и х. Определим их. Пусть Е(Ч, х, р, $, й) =с,=сопа1; тогда, очевидно, 1(х, р, й) =свекр.~ — 'Я (р, х)~(рь(р, х, й)„ Из (3.4) следует, что а,=О. Пусть теперь Х(Ч, х, Р, оя,й) = Ч(+ф+ Р,. получим ((,Р,Р)= *р( — 'О(р, ))(1(Р', .Р.о',О)о (р,*,1)-Р +тй(ао1(Ч' х р во О)+ ~ч'а; — + ч", Ь; — + ! 1 ач(' ) о о и (-1 дово дор о ио( аор о дЧ.Р . дь о + ~ й р((х, оь, р, Ч)ть(р, х, й)+ й ~ого(р, х, й) . (3.4) (=х (3.12) Поскольку д/.
д/. дй = дс/, = — дс/» = до о д$, дч/ др/ Поскольку до/. (Ч, х, р, $, й) дно др/ лис с/, 1=1, ...,Ь, (3.5) 1=-Ь+ 1,..., //+ 1, 1 = 1, ..., Ь, (3.6) (3.7) (3.13) с/=О, с,с=1 ГГ с = Ь~~фо, СН= О. Следовательно, (3.9) (3.! 5) (3.10) Следовательно, дод 1, фь. дрс дх,„ (3.11) 204 В этом случае очевидно, что 1(х, р, й) можно представить в виде 1(х, р, Ь) = ~Й ( — — — ) + р,~ехр — 5(р, х)~срь(р, х, /Г). Следовательно, 1 (х, р, й) = ехр à — 5 (р, х)) ~р,фь + срб ~ — — †) + Г 1 Г с дд дд т 1 а ~ дх. др ) .;-Я( —" — — ')1 то из (3.4) получаем др, а/= —, др/ ' дср о Ь = —— с 1 дх/ Пусть, далее, Е(т1, х, р, $, Ь) =т1;т1,+54„.
В этом случае 1(х, р, Ь)= — ЬЯ( + ) ехр ~ — 5(р, х))срб(р, х, й). 1(х, р, Ь) = ехр / — 5 (р, х)) ~ — — срь + — — срь— Г Г 1 Г дд дд дд дд (й -' )~д, д дрс др- 1 дд д'рь дд дфь 1 . 1 дод дод 1 дхс дх дх дхс ) 1 дх дхс дрс др/ 1 Из (3.4) и (3.8) следует дод ас/+ а/с = — срь, дрс др/ дод ь„+ ь,,= — — ф,. дхс дх/ Подставив ао, Ьн из (3.9), (3.10) в (3.4), получим до/. 1 .—, доЯ доЕ асс дць дЦ 2 с ~+с дхс дх/ д$о даос Пусть теперьто(ГГ, х, р, К, Ь) =рр;+Г1 р,. В этом случае 1(х, р, й) = ( Гй — рс + рср/) ехр 41 — 5 (р, х)) фь (р, х, Ь) = д др (Я Г Г = рср/ ехр ( — 5 (р, х)) срь (р, х, й) + дЮ, дфь'Я + есз/Я сйб мсфь — рс срь + Йрс — ).
др др то из (3.4) следует, что „~ Яс(с/дп~сдс/ = д.псфбэ Предположим, что 1. =ЧД +р„$с. Следовательно, до Г (х, р, Ь) = йо ехр à — 5 (р, х)~ фь (р, х, й)— др,дх ( й — Йр„— ехр ~ — '5(р, х)1ф(р, х, Ь)=ехр Гà — '5(р, х)1) х дд дл 1 дз дфь дд дфь'| х — — — фь+Й вЂ” — + — — )+ дх,„дрс ~дх„др, др, д. „) д'5 досрь /; д5 дчс '~ + сй срб + йо — Гйр ~ — — фь + — ) .1 (3.14) др дх дрсдх ~, й дхс дхс ) Отсюда и из (3.4) получаем оос Я ~', 1//6 .6/с = с'=Яос с=с др дх с ос Из (3.14) и (3.4) следует, что /,с —— О.
Из соотношений (3.5) — (3.7), 205 (3.9) — (3.13), (3.15) при О~х„,~а следует равенство Ефа=Хф =1.ехр! — '8 (р, х)~ гр(р, х, й) = 1й 1 лал а Г л.н —,)" ... )" ч аьн ало..а ~ — ' т ь;). Г=оаг г=г /-.Х+г лт г(а', а'.г.а) *а) — 'зь,*з)о (аа, г аз )) а.,' та,~- )=а~-1 с=1 а лаг гдчг г, дч, р, . дЕ. — г — (т)', х, Р, йо, й) ~ гр ЛЧ'=-К ЛРЗГР. 1 а"-=-агаа З)л,х) + Х й)" ~х. — „Р.— 1гр+" д (Р, х, й)~. (3.16) В силу того, что Е(т), х, Р, $,й)Ф тр(х, рй)=Ф ' " «Х~р, Р ° - ° ааа а " ' отображает Ва в В„мы получаем утверждение леммы. 3.
Случай бесконечиократных термов. Рассмотрим оператор Е(,..., (Р„..., Р +„х„..., х„+„й) в счетно-нормированном пространст- ве Я,. Напомним, что т 7-(Р» ° ° - Рл+ь Хм ° °, Хл+г, й)=~ Еа (рт, ..., Рл, Хг, ..., х„„й)р~~+, а о д = — 1, Рт= — )й —, 7=1, ..., и дх. д Рлог = 1й —, Хлог дхл а операторы р, действуют «первыми», т.
е. 7о(р, „, рл, хг, ..., хл+ь й) тр(хт, ..., хл) = — Ф '"' 1.ь(рт, ..., Рл, хз, ..., хлм, й)Ф таг(алг ° ° ° алл) ° Мы предположим, что В (Р„..., Рл+„х„..., хл+„О) (3.16а) является константой в В' (зависящей, разумеется, от параметров х„ ..., хл+„ р„ ..., р„+,) (т. е. собственное значение оператора (3.16а) (терм) является бесконечнократным). Здесь 7-(Рт~, Рл+ь хт., хл+ь й) = т = ~) В (Р„..., Р., х, ..., « ...
й) Р,-. а=о Возвращаясь к нашим прежним обозначениям, переобозначим 1. (Р„..., Р„о„х„..., х„„й) чеРез Е.(т), х„Р, $, й), где т) — т)г а т)а=ха ' ' хо ь ьа+г ' ь +1 оиараоа . ° а Рлоа Через В' обозначим Е.(т), х, р, й, О), равный (3.16а) *). Таким образом, Е'(т), х, Р, й) есть многочлен порядка т относительно $„+,— — р,. Предположим, что 1) полипом А'(т), х, р, $) имеет действительный корень $„,=— — = Р,=Л(Р„..., Р„, х„, . хлл 1) *") постоянной кратности и, сле- Н(,, х*, 1). довательно, д)о дта дЛ дрл„ Рлы=х)ра.... Рл ха"" хл Г) отлично от. нуля; 2) оператор В(р„..., Р„, р„„х„..., хлл 1, й) вместе со всеми пРоизводными по паРаметРам и опеРатоР ехР(отдам)дй)а, отобРажают В" в В"; 3) выполняются предположения п. 1 $ 3. При этих предположениях для достаточно малого 1 существует, очевидно, решение 8(1) =В(х„р„1), РЯ =р(х„р„1), х(1) =х(х„ро г), х,= (х„,..., х,„), р, = (рм „..., Р,„) системы дЛ 5=Л вЂ” 'Ч вЂ” рг, 1= 1,, и, (3.17) дЛ дрг дЛ Р'= дхт х =- —— а дрг *) В обозначениЯх $1 гл.
4 ГР = Яо Ы~ Л(Ч, х, Р, й). "*) В отличие ог обозначений $1 гл. 4, где корень р +, обозначался через Н(р, х, 1). 207 которое удовлетворяет начальным условиям, отвечаюдцим локальной карте типа Йо лагранжева подмногообразия, т. е. о(0) =В (Роа, Ром«оооо .
- °, Хоо), (3.18) ро(0) =ров д=1,..., й, х,(0) =хм, )=й+1,..., и, дда х; (О) = — — = хм (р,д, ..., р а, х .в, ..., х, ), д = 1, ..., й, дро, (3А9) дЮо Рг (О) = =род(род, ..., р о, хов „..., хо„), 1'=-й+ 1, ..., и. дхо) Для достаточно малого времени Г существует также, очевидно, единственное решение Род Род(рь ° ° Ри хо+а ° ° ° х Г)» Ход'=Ход(рдо ° ° ° Ро Хао.о ° ° -, Х а Г) неявной системы уравнений Р'(Род ° Роо, «овод °, хоо, д) = р;, д = 1,..., й, х)(рм.
° ., Рав, х о д,..., х, 1) =х;, 1= й+ 1, ..., л. Сохраняя обозначения леммы 6.13, положим В(р, х) =В(х„р„д) для ха — — хо(х, р, Г), р,=р,(х, р, Г), Как известно, решения системы (3.17) — (3.19) в силу теоремы Гамильтона — Якоби удовлетворяют также системе дх. дЕа г = —,(Ч',х, р, Р), /'=И+1, ..., и+1, д. дйо где о дЮ Ча= — — а ард — д'=1, .', й, 1=И+ 1, ..., и+ 1.
о да дк. Следовательно, справедливо равенство , дф дйо дф д1.а дф (3.20) Сделаем замену ф= и (/У, 208 Рассмотрим оператор, стоящий в правой части формулы (3.1) в фигурных скобках, на который действует оператор Ф ' . Обозначим зтот оператор через )да. Таким образом, формула (3,1) перепишется в виде ВФ ' ' др=Ф ' ' ехр1 — о1 Яф+Л~"'г,. (3.21) (Л ) вр где ЕД (р,, ..., Рв, хи+о, ..., х„, Г) Е~ (Род . ° Ров. к~в~а.
° ° - ° хок Д) Тогда ар д ~а — ==( — — — и — 1„1) . дт $'.) ~ат 2 Нт В силу леммы С. Л. Соболева (см. гл. 5, 3'5) фЕа ав1 о ав.ч ~ авЕо ав ч в код д=д 1=» н 1' 1 р' ) )=Иод ! ~д Отсюда И ! .аи д, а дЧо дЕ ~ Г' Т 1 ат 2,~-' дх. др; дЛ ~~ о) д д д + ~~' й'р; [ х, —, р, — ) и~ = — д)д (Аи+ )дВи), поскольку в атом случае Е(т)а, х, р, $', О) =О. Рассмотрим оператор Ли = — Ж (А и+)дВи), (3.23) где 209 а 1 "'.,' аоЕо .
аЕ ~ А= — — — ~' — + д — ! дт 2 ~-' дх.дрр дИ )И о ' г=д д д др дк) /=о Обозначим через А' сужение оператора А на множестве функций, обращающихся в нуль прн т=0. Очевидно, что Л-' существует. д д Поскольку Рд(«,—, р,— 1) выражаются линейно через продх ' ' др / взводные от Е по параметрам р, х, )д, а последние по условию отобд д ражают В" в себя, то и Рд (х,—, р, — 1 отображают В" в себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
