Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 35
Текст из файла (страница 35)
маслов 225 В силу лемм 7.3 н 7А а» [ .т»л] - =„(са, В) 3 -! Ф ехр ~ — с' — [ 1»де" — ' ~ е»с(а, 0) = 2 [ дВ ехр — с — ]Ф Т»„' ~ е»(а, 0), .т»л] а» дев(а, В) ~ -С 2 то д е»д(а, р)+ 'Я е'(сс, р) >др= 0 >=с в указанных точках. Отсюда, из (2.17) и (2.18) следует утвержде. ние леммы. Пусть М и М вЂ” атласы с одной и той же совокупностью цент- ров М*, т. е. одной центральной точке а,' отвечают области Й'еиЖ и йсенМ. Рассмотрим атлас М с центрами Ф и областями й' =-я[)Р'. Им отвечают разложения единицы (ес(х)), (е'(а)) в (е*(а)).
Рассмотрим разложение единицы (е'(а, р)), где е*(а, [>) = = [е (а) +~е'(а) 1(1+р)-', отвечающее покрытию й (р), где й'(р) = =й" при реп(0, 1) и й'(О) =йс. В силу леммы 7.5 получаем, что ка- нонический оператор не меняется (в фактор-пространстве 5) от замены атласа М на М. Аналогичное утверждение справедливо, очевидно, и относительно атласа М.
Следовательно, замена атласа М на М сказывается в каноническом операторе лишь на величи- нах, эквивалентных нулю. Поэтому мы можем записать К»7[>В', М, (ес)[=Кт"'(В). Пусть теперь дан атлас М. Возьмем некоторую точку ае:-11, аЯЗГ. Изменим покрытие М (сохраняя его центры го) так, чтобы точка х принадлежала только одной карте Й»' нового атласа М' с теми же самыми центрами Ф. По доказанному эта процедура оставляет К~я',"г инвариантным. Окружим точку а такой областью, которая пересекается только с й»' и целиком проектируется на фо- кальную плоскость, отвечающую а.
Таким образом, мы построим новую карту с центром-в точке а, обозначим ее 'через »сс"„а допол- ненный этой картой атлас М и дополненное точкой а множество Я соответственно обозначим,Ж" и еи". Пусть (е,''„(а)) — разбиение единицы по атласу М'; тогда можно построить следующее разбие- ние единицы (е'„> (сс)) по атласу М": е~~с>(а1=еф>(а)+ е<с>(а) при >~с, Рассмотрим разность выражений Ктлгг>р(а), соответствующих ат- ласам М' и М" с разбиениями единицы есп и е'„, соответственно.
Очевидно, что Клг (й>) ср(а) — Ктл'гг (~") с»(а) = = ехр ~су — — [пб1 [а', аь]~ Ф» [ес,'> (а) — ес»> (а)[ с»вЂ” 2 — ехр (су — ~~ [пб1[а», а")~ Ф~» ес",> (а) Т». (2.19) 2 226 Так как е>1>(а) — е<1>(а)='-есс>(а) и носитель есс>е=й»' Д Й», то в ь ь., оз Ф силу лемм 7.3 и 7.4 разность (2.19) эквивалентна нулю. Следовательно, к центрам Ф отласа,Ж можно добавить новые центральные точки, и от этого оператор КлАг~ не будет изменяться. Пусть даны канонические атласы М' и М" с совокупностями центров ее' и сп". Рассмотрим атлас М с совокупностью центров еп=Я"[)М". По доказанному Кл',"г Ю') — Кях [1»'1, Кл'."г [~") — Кл,"г М)' следовательно, К$'" [Ф') — Ктс>" [се'"), что и требовалось. Теорема 2.4 доказывается аналогично при учете, что в леммах 7.2 — 7.4 метод стационарной фазы дает асимптотические ряды по степеням сс„.
3. Доказательство теоремы 22. Пусть Г, и Г,— лагранжевы многообразия, причем Г, может быть непрерывно деформировано в Г„так что они включаются в одиопараметрическое семейство Г. (0(т(1), где Г.— лагранжево многообразие прн любом т. Пусть, как обычно, М,— канонический атлас начального лагранжева подмногообразия Г,=(с>'(а), р'(а)). Обозначим через и„,„ отображение подмногообразия Г„на Г„: и„„Г„=Г„, через М,— канонический атлас подмногообразня Г,.
Пусть й' отвечает карте Й»а ~М.. По определению карты й»а область й> взаимно однозначно проектируется на плоскость р„... .. °, рь д»>ь . ° °, з> . Положим й( =ис,~й . Очевидно, что при т~ с 3 область й,. также будет взаимно однозначно проектироваться на ту же плоскость. Поскольку областей й' конечное число, то найдется такое е>0„что при т,(е во всех областях й,', можно ввести те же локальные координаты й„что и в этих прообразах й', Таким образом, в качестве атласа М„на Г„можно взять совокупность -с" локальных карт (й,,)»=и...й», отвечающих областям й, и координатам у„=р„..., р„, ф, „..., е„, так, что при т,~е можно по определению написать М.,=и.,„Ж,. В силу леммы Бореля конечный интервал [О, с) мы можем разбить (точками т„ т„ ..., т =1) на конечное число интервалов длины Ь, обладающих следующим свойством; иа Гс, может быть выбран такой атлас М,'„что М',= и ».М,*, — атлас при тс~т -т,, В свою очередь на Гч .
может быть выбран такой атлас М;с',, вообще говоря, отличный от атласа М,',,=и„>„„М'„, что Мс"= ~ й.с =и...Ж„,— атлас прн тс,(т(т,.„. Рассмотрим цикл уч на подмногообразни Г,, Докажем инварнантность 1пбу,, относительно деформации Г,,-+.Г„„т. е. докажем, что прн этой деформации 1пс[ у с = Ы уч 227 Поскольку мы доказали инвариантность 1п«!т при переходе от одного атласа к другому, то тем самым будет доказана инвариант- ность индекса любого цикла относительно деформации Г- Г,. Вначале допустим, что цикл у,, можно деформировать на Г, таким образом, чтобы он не проходил подряд через две особые карты атласа т»',«Рассмотрим отрезок 1« = 1,, (а«, а'] цикла у,„лежащий целиком в трех картах Я', Й„, Я', где Й,— особая, а Я' и Я' — неособые карты.
Карты и,»«Я'(о=1,2), и,»'Ту при т,~т~т,, мы будем обозначать снова через Я' (о=1, 2), Й„соответственно. Рассмотрим отрезок и,,"...1,, = 1... « - у,,, Докажем, что Уп«1 1«ч =!пб 1,, „. Тем самым будет доказана инвариантность |п«1 у,„ поскольку по построению величина индекса может изменяться лишь при переходе через особые точки. В силу этого замечания, не умень шая общности„мы можем предположить, что а', а'«э-=Я», т.
е. а«ен енй»ПЯ', а а'енй»ПЯ'. На каждом из пересечений Й,ПЯ', Й»1]Я* якобиан Рй./Ру» по определению карт Я'* н Я„не обращается в нуль. По построению он отличен от нуля н в точках и..,.а» (о=~1, 2, т«(т(т,,). Следовательно, и равный ему определитель матрицы УУ»=~~«1«у,/др,!],~»» отличен от нуля в этих точках. Поэтому индекс инерции матрицы УУ» не меняется при переходе от а « 'Г, к и;, „„а' — Г,,, Следовательно, |п«1 1«ч = 1пб 1„„что и требовалось. Рассмотрим теперь общий случай. Деформируем цикл у,, и цикл у,, „таким образом, чтобы они проходили через центральные точки всех карт, которые эти циклы пересекают. Рассмотрим отрезок цикла у,„ йроходящнй из центральной точки а„, карты Й», в центральную точку а«» карты Я„ на 'многообразии Гтг Рассмотрим соответствующий отрезок пути цикла у...
из центральной точки а»с~ Г«ь, карты Я» = и.ь.«„,Й», в центральную точку а», «=: Г,«„„ карты Й», = и„,.«».Я»,. Докажем, что индексы этих . путей совпадают. Отсюда, очевидно, будет следовать, что индекс цикла у„ равен индексу цикла у,« „. Напомним, что мы определили индекс пути из неособой точки х' карты Й, в центральную точку а, этой же карты как индекс инерции матрицы уу» в точке а'. Пусть а«енй»,ПЙ„и является неособой,, а а„и сс„,— центральные точки карт Йм и Йм соответственно. Очевидно, что 1пб1(а»„а»,] = — 1пбу(а', а„,]+1пбу(а', а»,]; Таким образом, индекс пути из х„в «х„равен разности индексов инерции матриц Я„ н В»,; взятых в точке а«~Я»,ПЯ»,. По доказанному в лемме 7.4 эта разность равна индексу инерции матрицы А(а«). Заметим, что мы всегда можем считать, что многообразия Г„ и Гт,, находятся в общем положении.
Однако при некоторых тен ен(т«(т(т«+«) многообразие может и не находиться в общем положении (1]. Пусть а'енЯ»ДЯ„, и лежит на у,;., а сс,'=и,;,„,а' лежит на т„„, причем точки а' и а; — неособые. Докажем, что индексы инерции матрицы А(а) в точках а' и а,' совпадают. Этим и в силу сказанного выше и будет исчерпано доказательство инвариантностн индекса цикла у,, Равенство (2.15), доказанное для случая, когда многообразие особенностей М имеет размерность не более чем и — 1, по непрерывности продолжается на общий случай. Поэтому «!е!А(а) не обращается в нуль на пересечении карт Й»,(«Я«„, а также вдоль пути и„,,а при т«~т<т«+«.
Следовательно, вдоль этого пути индекс инерции матрицы А(а) не изменяется (в противном случае «|е1А(а) обратился бы в нуль), что и требовалось. Отсюда следует и аналог теоремы 2.1 для пленки. ,9 3. Асимптотика решения в большом 1. Доказательство теоремы 4.1. Теорему 4.1 докажем в с.уучае «и=! и Л,=1, т. е. теорему 4.1„а. В общем случае произвольного «и эта теорема и теорема 4.2 доказываются совершенно аналогично. Прежде.всего покажем, что теорема 4.1, а непосредственно следует из утверждений, доказанных в теореме 6.2'при условии, что время 1 достаточно мало (т.
е. теорема 4Л, а справедлива в малом). Для этого получим из формулы (3.37) гл. 6 формулу (2.12) гл. 4. Предположим, что носитель вектор-функции «р'(а, й) (см. теорему 4.1, а) принадлежит области Я'. В'силу (2.13) гл. 4 носитель вектор-функции «р(сс, 1, У«) будет принадлежать Я]. Поэтому выражение (2.12) в этом случае в силу определения канонического оператора может быть записано в форме (3.37) гл. 6 при учете равенства 3(р, х, 1) = ~ ( — Н«И+ рс(«у) + ~ рс(«у —,Я Рс«У«(а«(У»)]* дача»1 «!««»г«»««»»«! »=» Но формула (3.37) получена в предположении, что Р [Р» (а, 1), ..., Р» (а, 1), Р»»и(а, 1), ..., ф, (а, Г)]1Р«» чь 0 при 1(е. Поскольку канонический оператор может быть разложен на конечную сумму выражений вила (3.37), то мы получаем утверждение теоремы 4.1, а при 1(е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
