Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В силу метода стационарной фазы гцг~~ (5(х,рАгв) — Я~)~Нх,рЛ,Й)ф(2.Й)т)в(р) Ядр= = ~ ф($, Й) ехр .~ — ' (5 (х, р, 1> 1») — рЯ) т1 (р,) 1 (х, рв» Ц, Й) х Х Е:— 5»» 247 т((«ш(п а ь с (с,с+ь' м( +.)) где Хс = — Рс (Х, т), с = 1, 2, ..., п, ' (1;45) (1.46) (1.47) где 1Ф~ (1.48) отрицательны; Э в. и. мвслвв 249 где У вЂ” любое целое число, р,=р,(х, $, 1, (в) — решение уравнения (1.39) . Аналогично формулам (1.29) — (1.31) получаем 1) 3(Х» В» 1 св) =Я(х» Рв 1» (в) Р»Ц Рв=рв(Х, вв, (, (в); (1.43) двл(х,р,С,Св) 1 )) двл(х,Я,Е,Св) ~ ЦдвЛ(х,р,С»Св)Ц дрсдрс Ц р ~ дхс д$( 1~ 1 дхсдрс (1.44) Из (1.38), (1.42), (1.44) получаем (1.18). 3 а меч ание.
Из формулы (1.18) следует (1.21). Это доказыс вается совершенно аналогично лемме 1.2. Нужно лишь показать, что вие е-окрестности стационарных точек левые и правые части уравнений (1.24), (1.24а) будут отличаться больше чем на б.; иначе говоря, условия (1.24) не будут выполняться в пределе при ) 4,~-~ьь (ни для какого с). Это будет следовать из неравенств ~ Х(1с с) — Х((с)!( С((с,— Ь), С=шах~йгадУ~, и С ус.„— сс)* )$„,— Ц; — Х((с)((„,— (с))« ", 1=0,1, ...,т — 1, которые вытекают из (1.9).
Поскольку ~дгаб)) (С„то из первых неравенств по индукции следует ограниченность Х, а поскольку $,= =х ограничено, то из второй системы неравенств будет следовать по индукции ограниченность Цс. 4. О существовании и единственности решения краевой задачи для уравнений Ньютона. Теорема 8.3.
Решение системы уравнений удовлетворяющее условиям Х),,=$, Х), »=х, существует и единственно при О (1» т' 2М (л + 1) М= шах ~ дрс/дХс!. «,с,в При этом 1) все диагональные миноры матрицы 2) 1пп ( — 1"ЦдХ»~дф,Ц, ») =Е (Š— единичная матрица); 3) если Р(х, т) бесконечно дифференцируема по х, то Х;~„, бесконечно дифференцируема по х и Ц, причем все эти производные ограничены. Доказательство. Представим систему (1.45) в виде Рс= — Р (Х, (1.49) Рассмотрим систему (1.45) с начальными условиями Х1, =2в, Р), (1.50) Из (22) (лемма 3) следует, что решение (1.49), (1.50) существует при а= шах (Хс — Ц,с~, Ь= псах )Рс — р„), сс= 'Я )$„~. с в~с с,»<с с=с Нетрудно видеть, что а, Ь, 1, определенные условиями а=2а, Ь=а)Г2М, (~« —, (р,)»( а )-1-Ьп, (1.51) )с2М(я+1)' ~ с / удовлетворяют этому неравенству, Предварительно докажем две леммы.
Лемм а 8.3. Решение уравнения (1.45) с условиями х~,,=ц„х~,,=о (1.52) существует, если г удовлетворяет неравенству (1.47). До к аз а тельство. Рассмотрим сначала задачу.. (1:49). (1.50). Пусть р, удовлетворяет неравенству (1.51). Очевидно, что ~(Х» — Цвс — Рв»Ф)»Ы, т. е. Х=Цв+Р»1+т, пРИЧем ~.()»Ьс1п. Рассмотрим отображение шара (р,: ',р,~ » — +Ьп) в 1ч": р х(Ь .с) Если р принадлежит поверхности шара, то р(С (р),0)= р — = — )Ц,+у)» » — (~Ць~+17()« — +Ьп=р(р, 0).
Тем самым С' имеет неподвижную точку, т. е. найдется такое рв', удовлетворяющее (1.51), что С'(р,') =р:, т. е. Х($„рв', с) =О. Лемма доказана. (1.53) дХ~ дР~ д1 а$1 и условиям Ы дР дР~ дх» —,— = — /Х— 1' дй~,х~ аХ, а6,. (1.54) д дХг дР,. —,— '=/ — * ах' д1- д1 (1.56) ах, дх,. 1 1=1,2,..., и. т. е. к а следовательно, ! Хс(/))~ — ~~— 2 2пг ! дР; ! — — прн 1-ь/, 250 9« 251 Из леммы 8.3 следует, что решение задачи (1.45), (1.46) существует при условии (1.47).
Действительно, положим Х=Х вЂ” й, ф, =х — а. Тогда Х будет удовлетворять условиям леммы 8.3. Для доказательства утверждения 1) заметим, что дХ;/д$; и дР,/ /дф, удовлетворяют системе дР,. " дР (Х, «1дх» а~,, ах, а6, ' Если в (1.53) считать решение Х(т) задачи (1.45), (1.46) заданной функцией т, то мы получим вновь систему вида (1.45), (1.46) при $,=6е. х,=О. Следовательно, решение задачи (1.53), (1.54) существует.
Лемма 8.4. Решение системы (1.49) с условиями Х,!,,=6в, Х,),,=0 (где / фиксировано) при 1(1/у2М(п+1) удовлетворяет неравенствам !Р;!! ( — при 1-ь/ и !Р;!! 1 1 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пустычь/, т. е. Х, (0) = О, Х, (1) = О. Следовательно, в силу (1.45) !Х;! «Мпа; отсюда ! Х (т) — Х (0) ! ( Мпат, ! Хс (/) — Х; (0) — Х~ (О) ! «-., (1.55) в силу (1.47). Пусть 1=/, т. е. Х;(0) =1, Х;(1) =0; тогда из (1.55) следует !1+Х,(0)1!(Мпар/2.Поэтому и)1+Х,(/)1! =.Мпаг/2, аследовательмпаг 2 г 2пЕ о, ! Х (1)! ~ — — — ~ — — —, что и требовалось доказать.
Из гл. 5 следует, что для задачи (1.53), (1.54) справедливы оценки Отсюда следует, что все диагональные миноры матрицы !!дР./д$,!!,, не обращаются в нуль при условии (1.47) . Но Р,Я =д5(х, й, 1)/дх,; следовательно, Поскольку 5(х, $, 1) удовлетворяют уравнению Гамильтона — Яко- би, а якобиан П'5/йхг)$=0 при условии (1.47), то 5(х, ф, 1) явля- ется полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби.
Следова- тельно, решение системы Р,=д5/дхь р,-= — д5/дф,- единственно. Докажем утверждение 2). Сделав замену т'=т/1, в (1.53), (1.54) получим Как известно, решение задачи (1.56) будет сходиться при /- 0 к решению «невозмущенного» уравнения дХ, — — =О, (дх')«дхГ ахО дР9 д — ' = (1 — т') би и дх~ дх~ Отсюда следует, что в пределе при 1 — ~-0 матрица — Р!!дР3дх3,, стремится к единичной. Значит, характеристические миноры матрицы Ц!дР/дх,!!,, отрицательны при 0</~1/12М(п+1) (поскольку в этом промежутке они не меняют знака).
Утверждение 3) доказывается с помощью дифференцирования (1.45), (1.46) соответственно по параметрам х и й, затем дифференцирования (1.53), (1.54) по параметрам х и й и т. д. Теорема доказана. Следствие 8.1. При условии (1.47) 1) !х)'5(х, й, $)/ВеЬх! )6)0; 2) 11ш( — Ю"!д»5(х,5, /)/дхгЩ~!!)=Е. $2. Леммы о решениях уравнений Гамильтона Известно, что функции Н(р, х, () можно поставить в соответствие самосопряженный оператор Й(р, х, 1), например, по формуле Й (р, х, 1) «р(х) = ' „г(ехр — ' 'я ргх««(р' х „„,„с р .) «~ — ' хрр))х«р'.*', 1«р«*'«1'.
«1 Если Н(р, х, 1) — достаточно гладкая функция своих аргументов, то, аналогично лемме 6.13 и теореме 6.1, можно получить для задачи й — + Й (р, х, 1) Ч' = О, д« Ч'(, =«р(х)ехр ~-/(х)), где «р(х) финитна, асимптотику при достаточно малом 1 с оценкой В Е«. Метод шагов вдоль траектории переносится на этот случай непосредственно, и при условии достаточной гладкости Н(р, х, 1) мы получим формулу, аналогичную (1.15) для произвольного времени Т в нефокальной точке. Теперь мы докажем, что фаза, которую мы получаем методом шагов вдоль траектории, совпадает с индексом по Морсу, если форма (2.0) Нр.рх«х) ) 0~ а~ 0 «я=1 положительно определена.
В гл. 7 мы доказали, что фаза равна индексу траектории, введенному в гл/2, $2 для путей в пленке. Поэтому из доказанного будет следовать, что при условии (2.0) этот индекс совпадает (по модулю 4) с индексом Морса. 1. Предварительные сведения. В этом параграфе мы будем существенно использовать следующую теорему Морса: Если Н(р, «), 1) — недостаточно гладкая функция, удовлетворяющая (2.0), то г=г, является нулем функции У=ОХ(а, 1)/Па кратности, равной дефекту матрицы!1дХ,(а, 1)/даД прн 1=1,. Отсюда следует, что число фокусов на конечном отрезке траектории конечно. Поэтому для любой фиксированной точки х„( при достаточно малом е существует матрица дХ; (х,«, ( — е) дХ«(х„(+ е) С(1, е)— 1 дхр) дхр и краевым условиям х;(0) =х,', у;(1 ) =у,'(х(1,)), где функции Г«(х, у, «) и 1,(х, у, () удовлетворяют условиям с«(х, у, () «с„ /,(х, у, () «ас„ )ду,'/дх((«=с (2.2) (2.3) Мы будем обозначать через Л«(е, 1) (1 1, ..., и) ее собственные значения.
Введем с помощью матрицы еще одно определение индекса траектории Х(х„О, Т) как ~ Л«(е, О у= чаг Т 11ш ( о<«~т Р"Р «р 'Л)Л«(е, О) Мы докажем в лемме 8.10, что фазовый множитель в формуле (1.15) равен ехр((п.()/4. Затем в лемме 8.11 мы докажем, что — "(+н/2 равно индексу Морса. При этом лемму 8.10 мы докажем в такой форме, которая была бы пригодна и для бихарактеристик волнового уравнения, несмотря на то, что для гамнльтоннана волнового уравнения условие (2.0) не выполняется.
Напомним, что метод шагов вдоль траектории, развитый в предыдущем параграфе, автоматически переносится на случай волнового уравнения при дополнительном условии конечности числа фокальных точек на траектории. Поэтому при этом условии введенное здесь понятие индекса может быть использовано для вычисления асимптотики решения волнового уравнения. Для доказательства лемм 8.10 и 8.11 иам понадобится оценка решения краевой задачи для гамильтоновой системы и оценки производных решения уравнения Гамильтона — Якоби.
Этим вопросам посвящены леммы 8.5 и 8.8. В лемме 8.6 доказывается, что релятивистский гамильтоннан удовлетворяет условию (2.0) . В лемме 8.5 мы будем опираться на следующую топологическую теорему: Пусть С и С' — два непрерывных отображения замкнутого шара Т"~К" в пространство К", имеющие иа Т" лишь конечное число неподвижных точек, которые все лежат в Т". Пусть, кроме того, для всех точек, принадлежащих границе шара, выполняется неравенство р(Ср, С ')~р(С„р), где р(р, р') — расстояние между точками р и р'.
Тогда отображения С и С' имеют в Т" одно и то же алгебраическое число неподвижных точек (см. (4)). 2. О нечетном числе решений. Л е м м а 8.5. Пусть х,((), у«(() (1=1..., п) удовлетворяют системе уравнений х«=Р«(х, у, (), 1=1,, и, (2. 1) уе=/1(х,у, (), х=(х„..., х„), у=(у„..., у„), при ]хс~ж-!х;+Ь|, )ус~ (~у,'(+(и+1)а„1(Т, (2.4) где Ь>0, а>0, Т>0 — некоторые константы з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
