Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Собственные значения матрицы Е(р, х, Г) назовем гамильтонианами системы (1.1). Гамнльтониан Н(р, х, Г) назовем гамильтонианом туннельного типа при (о= [О, Т], Т'= О, если 1) При хоев", ревС"'Л() мер»=О~ функция Н(р, х, Г) глады=« ко зависит от аргументов х, Г и регулярно от аргумента р. П) шахйеН(р+йт~, х, 1)=Н(р, х, Г), ревй", Чай", ~р~чьО, ч хай . 1П) Лагранжиан Я=(р, Н,(р, х, 1)) — Н(р, х, 1) лО. 1Ъ) бе1$Нр,(р, х, 1)!1чьО при ~р((ОО. Гамильтониан Н, (р, х, 1) называется подчиненным гамильтониану Н,(р, х, 1), если при х', хен(1", Чен1(", Оче(р'(<со и Оче ~р~ ~сю справедлива оценка (р, Н р(р, х, г)) — Н,(р, х, Г) (( р', Н,р (р', х', 1))— — шахте Н1(р'+ 1х(, х', 1).
(1.2) Система гамнльтонианов называется туннельной, если все онн удовлетворяют условиям 1), П1), 1Ъ'), имеют постоянную кратность при хенк", ренй"~,(0) и для любого гамильтониана, не удовлетворяющего условию П), существует гамильтониан туннельного типа, которому он подчинен. Систему (1.1) будем называть системой туннельного типа, если туннельна система ее гамильтонианов.
3 а м е ч а н и е 1. Условия 1) — 1Ъ') являются весьма жесткими. Например, среди полиномов по р им удовлетворяют, по-видимому, полиномы не выше второй степени. Очень сильным условием является и требование постоянной кратности при хяГч", ренй"~,(0) гамильтонианов. Тем не менее ряд интересных физических и математических задач приводит к уравнениям туннельного типа. 3 а м е ч а н и е 2. Класс уравнений туннельного типа можно ди расширить, включив в него уравнения, в которых вместо й — стоит д л выражение л., (й — )и, где производная с(1.„(р,)/йр,~О (Р,~К) при ~р, ~ (ОО (см.
ниже пример в)). Приведем примеры уравненйй туйнельного типа. а) Уравнение Колмогорова — Феллера: — "= ' д(х„1), — и+й ' ( (и(х+14, г) — и(х, 1)) и г(ая), ар где х~йр, й:.0 — малый параметр, 1л„,(Н$) — мера на К" прн фик- сированных х, г. Это уравнение представимо в виде й — "=й "д(х, г), — "и+ ( (ехр(й $ — ~1 — 1)и(х, 1))лх~(с$). дг ", ' ' дх,р' ,) ~ ( ', ' дх," ) Его гамнльтониан Н(р,х,1)= — <д(х,1),р)+ 5 (-~ ~~ — 1)р-((,~) является гамильтонианом туннельного типа. Проверка условий П1) 270 и 1Ъ') злементарна. Проверим условие П). Имеем цеН(р+ (х(, х, Г) = ~ (е-о'юсов(гь $) — 1)(л„~(с($).
йр Очевидно, что интеграл 1 г<Рсо соз(еь $) 1лм(а$) достигает максимального значения при ~)=0. Точка х~=О является, вообще говоря, не единственной точкой глобального максимума це Н(р+ (гь х, г) . б) Приведем пример из теории марковских цепей. Пусть в мо- мент времени (л=йй процесс находится в точке х,= (й, в момент времени 1"+' с вероятностью Р~ происходит скачок вправо в точку х,,= (1+1)й и с вероятностью Р2 — аналогичный скачок влево. Пусть Рт+Р:=1. Если и~=и(1Ь, йй) — вероятность обнаружить ! 2 процесс в момент времени гл в точке хь то и+1 т л ~ От =р;„;, ' р;,.;, Перейдем от функций й;, Р~ и Р7, заданных на сетке (1Ь, йй), к функциям и(х, Г), р+(х), р-(х), заданным при всех (х, г)~К' так, что и(х, 1) ~..., рл= ил, ре(х)~,=2л=р;-. Перепишем приве- денное выше разностное уравнение в псевдодифференциальной ехр (й — ).
и (х, 1) = ~ ехр 1 — й — 1 р ' (х) + ехр ~й — 1 р (х) 1 и (х, 1). дх) д Заменяя оператор — й — символом р, а оператор Ь вЂ” — гамильтодх д1 нианом Н(р, х), получим Н(р„х) =1п(р+(х)е'+р-(х)е- ). Легко проверить, что Н(р, х) — гамильтониан туннельного типа, если при х~й функции р+(х) и р (х) строго положительны. в) Примером системы туннельного типа может служить линеа- ризованная система Навье — Стокса с малой вязкостью; — +(и, 7)о+ а'7р — с,йр'о — с,й7 Йчо=О, д1 — + р б(ч о + (и, 7р) = О, др дг где о=(о,(х, Г), о,(х, р), о,(х, 1)) и р(х, 1) — искомые функции; х~й'„и= (и,(х, Г), и,(х, 1), и,(х, г)); и,(х, 1) (1 1, 2, 3) — гладкие функции; а*=а*(х, г) — скорость звука; Ь)0 — малый параметр; с,'= О, с,) 0 — физические константы.
271 Гамильтонианы приведенной системы имеют вид Н2=(р, и)+с,р', 2/ Н2.2=(р,и)+ — ''р' ~ / ' "~ р'+а*р2) 2 ( 4 Кратность гамильтониана Н, равна двум. Выполнение условий !) — ГЧ) для гамильтониана Н, очевидно, а для гамильтонианов Н, и Н, проверяется в результате несложных, но громоздких выкладок. Их мы опускаем.
г) Модель Максвелла в теории упругости: Ьи„+и,=/2Е(х) Ли, хенГ4', где Е(х)'= 0 — гладкая функция, й)0 — малый параметр. Приве, денному уравнению отвечают следующие гамильтонианы: Н, = — — + Ер»+ —, Н, = — — — 1 / ЕР2-ь —. ° и 4 2 4 Можно показать, что система (Н„Н,) является туннельной. Гамильтониан Н, (не удовлетворяющий условию П)) подчинен гамильтониану туннельного типа Н,.
Основной результат состоит в построении всех членов ряда, определяющего глобальную асимптотику фундаментального решения и(х, !) системы туннельного типа (1.1), т. е. решения, удовлетворяющего при /=О условию и(х, й, /) ~,,=6(х — й)!, (1.3) где 1 — единичная /2/ХЛ/-матрица, 6(х — ф) — 6-функция Дирака. Асимптотика решения поставленной задачи дается построенным ниже туннельным каноническим оператором и является экспоненциально малой при й-»0 почти при всех х, $. Отметим, что в «малом»; т. е. при таких /~(0, 6); что 'решения вариационных задач, отвечающих гамильтонианам системы (1.1), на полуинтервале (О, 6] единственны, при отсутствии точек Якоби или фокальных точек, вычисления всех членов асимптотического ряда для некоторых задач теории вероятностей приводились в [28 доп.
лит.). В работе [45 доп. лит.) найдена глобальная асимптотика решения уравнения теплопроводиости на римановом многообразии. й 2. Примеры экспоненциальиых асимптотик Прежде чем привести решение задачи (1.1), (1.3), рассмотрим два примера. П р и м е р 1. Сначала остановимся на простой задаче определения обобщенных решений простейшего гиперболического квази- линейного уравнения, исследованной Хопфом [58): + Р— = 0 Р 22=2 = Ро (х)- др (2.1) 272 В процессе ее решения Хопф фактически исследовал задачу о первом члене логарифмической асимптотики решения уравнения теплопроводности с малой диффузией. Как известно, в «малом» задача (2.1) решается методом характеристик. Уравнение характеристик имеет вид (2.2) Р=О, х=р.
Здесь мы для простоты остановимся лишь на случае, когда р,(х) =ехр( — х'). Обозначим через Р=Р(/, й), х=Я(!, $) решение системы (2.2), удовлетворяющее условию Р~2-2=Р2(й) ° х!2- =й, теплопроводности к — — — и~2 =ехр — — 2 р,(х) с(х . ди !2 д»и [ ! д1 2 дк2 222 ~ Ь .) (2.3) Таким образом, исходная задача сводится к изучению логарифми- ческого предела решения уравнения теплопроводности. Известно, что решение задачи (2.3) имеет вид ~ / =~2 22Гь1 Р~ — 2* — 22-~-22 1 Р,щ22 1222)и. (2.42 / Асимптотика интеграла (2.4) вычисляется методом Лапласа. При 273 и через Л' — кривую (Р=Р(/, я), х=Я (/, $)) в фазовом пространстве мккк, полУченнУю сДвигом начальной кРивойЛ2=(Р=Р2($), х=к) вдоль траекторий системы (2.2) за фиксированное время !. Точки на кривой Л' обозначим через О г= (Р(/, й), (1(!, й)).
При !(/„»=е"*/12 кривая Л' проектируется на ось х диффеоморфно (уравнение 22(/, й) =х однозначно разрешимо относительно ф=ф(х, !) ) и функция р=р(х, /) =Р(/, $(х, !)), задающая Л', является решением задачи (2.1). При / »2„2 кривая Л' проектируется на ось х ие взаимно однозначно и классического решения задачи (2.1) не существует. При таких временах на кривой Л' появляются точки, в которых якобиан Х(й, /) =дЯ($, /)/д$ обращается в нуль. Оии называются фокальными точками кривой Л'. Для определения решений при !»/„2 Хопф предложил рассмотреть уравнение Бюргерса ди ди Ь дки — + о — — — — =О, и!2 =Р,(х), дС дх 2 дх2 и назвать (обобщенным) решением уравнения (2.1) функцию р,е=11ш о. Решение о уравнения Бюргерса выражается через логад рифмическую производную о= — й — 1и и решения и уравнения дк (2.5) хек(х„х,!.
В том случае, когда х=х„г,(х,) =г,(х,) — фокальная точка на Л' и 5,(х, 1) =5,(х, г); аналогично, когда х=х„г,(хз) = г, (хз), 5 (х, 1)-5,(х, 1). Точку, в которой 5,=5,=5, обозначим х(. Тогда нри х - х( и х ) х( асимптотика интеграла (2.4) по-прежнему имеет вид (2.5), с той лишь разницей, что а в этой формуле полагается равным $, (х, 1) при х,(х< х( и $, (х, 1) при х,«х> х(. В точке х( асимптотика интеграла (2.4) состоит из двух слагаемых вида (2.5), одно из которых отвечает точке г, (х(), а другое — точке г (х(). Таким образом, при х,(х«" х( точки г(,(х) и г',(х), расположенные на Л', вносят в асимптотику решения задачи (2.3) малый (порядка не более О(Ь) ее(") вклад.
Поэтому эти точки мы будем называть несущественными, а остальные точки кривой Л'— существенными. Области на кривой Л', состоящие из несущественных или существенных точек, назовем также несущественными или существенными соответственно. Приведенные рассуждения позволяют получить обобщенное разрывное решение задачи (2.1) при временах т)Г„» — оно определяется функцией р=р(х, (), задающей существенные области кривой Л'.
Заметим, что отсюда, в частности, следует известное в гидродинамике правило равных площадей для определения фронта ударной волны, эволюция которой описывается уравнением (2.1). Рассмотрим теперь асимптотику интеграла (2.4) в момент времени 1=1„». Тогда х,=х„фокальные точки г,(х,) и г,(х,) на Л' совпадают и при вычислении асимптотики интеграла (2.4) при хе=х,=х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
