Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Соответствующая критическая точка оказывается вырожденной. Это приводит к другой асимптотической формуле для решения и задачи (2.3). Вне окрестности точки хе, которую мы будем в дальнейшем называть фокальной точкой в к„, решение по- прежнему имеет вид (2.5), а в точке хе имеем и(хе, 1„) = =Ь 'ехр( — 5(хм Ь )) (а+О(й)), где а — койстанта. Из последней Г(1„» имеем и = (1.) ! " Я (х, 1), 1) + 0 (Ь)) ехр ( — — 5 (х, 1)~ . И «(х) Здесь 5 (х, ! ) = ) р (1х, а интеграл вычисляется вдоль Л', г (х)— точка на Л'.
При 1»»(„» существуют три точки г,(х), г,(х), г,(х) на Л', проекции которых йа ось х совпадают или, иначе говоря, уравнение О(1, $) =х при хан(х„х,) имеет три решения з,(х, Г), г(») я2(х, () и $,(х, )). Обозначим 5(х, ()= ) р(1х при х<х„х>х, и Ю г). (») 5(х () =п)1п (5~ 5* 5з) 5(= ) р «(х, где 1=1, 2, 3 при С формулы следует, что логарифмический предел не учитывает «всплеск» амплитуды в фокальной точке хе.
Этот всплеск характеризуется вторым членом логарифмической асимптотики: 1пи= — — 5 — 01пй+ 0(1). И Здесь О='/, при х=хе, 1=1,,», а в остальных случаях равно О. Туннельный канонический оператор позволяет записать равномерную (по х) экспоненциальную аснмптотику решений уравнений туннельного типа. Как уже говорилось„в конструкции этого оператора существенную роль играют геометрические объекты, обобщающие кривые Л' — лагранжевы многообразия в фазовом пространстве К'" .
Вне окрестности проекций в й,",особых точек из существенных областей лагранжева многообразия — фокальных точекв 11,— асимптотнка соответствующего решения представляется в виде, аналогичном (2.5). В окрестности фокальныхточек — некоторыми интегралами, аналогичными (2.4), асимптотика которых иногда выражается через специальные функции. Отметим, что фокальные точки одновременно являются точками Якоби экстремалей вариационной задачи, определяемой гамильтонианом. В общей ситуации в фокальных точках, как и в рассмотренном выше примере, коэффициент (е при !пЬ во втором члене логарифмической асимптотики не равен нулю (в отличие от нефокальных точек).
Этот коэффициент выражается через некоторый новый инвариант вырождения соответствующей экстремали. П ри мер 2. Выше была рассмотрена задача Коши (2.3) для уравнения теплопроводности с начальным условием, зависящим от Ь. Нас же в первую очередь интересует асимптотика фундаментального решения систем туннельного типа. Эта асимптотика для систем туннельного типа в общем случае будет построена в 93. Опишем эту асимптотику для примера б) $ ! в случае р (х)= — + — соз'(х), р (х) = — +.— зш'(х): 1 ! «1 1 4 2 4 2 ехр(й — ~и= ~( — + ' ~ ехр ( — Ь вЂ” )+ -1- ( — + "— "" ) ехр (й — )~.1 и. (2.6) Задаче (2.6) соответствует гамильтониан 0(р, х) = 1п! р» (х) е'+ р-(х) е-").
Уравнение (2.6) не представляется в виде (1.!), и поэтому теорема 9.2 об асимптотике фундаментального решения задачи Коши к задаче (2.6) непосредственно неприменима. Тем не менее для задачи (2.6) может быть доказана теорема, аналогичная теореме 9.2, причем схема построения соответствующей асимптотики здесь та же, что и далее в $ 3. В то же время асимптотика решения задачи (2.6) относительно легко исследуется с помощью ЭВМ. Начальному условию для (2.6) в фазовом пространстве отвечает прямая Л" ,=(р=р„х=О), р,енй. Асимптотика решения задачи (2.6) определяется кривой Л",, полученной сдвигом прямой Л" ,вдоль траекторий системы Гамильтона х=нр р= — Н„ (2.7) за фиксированное время й На кривой Л' определим функцию с 5(р, /)= ) (РН (Р, Я) — Н(Р, Я)]Нт, о где функции Р=Р(р„ /), Я=Я(р„ /) — решение системы (2.7) с данными Коши р(р., 0) =Р„Я(р„О) =О.
Функцию 5(р„1) мы называем энтропией. При любом времени 1>0 кривая Л" ,проектируется в Й„на отрезок ( — г, г], причем до момента времени 1„,=пУ1/, якобиан 7(р,„1) = — 116(рм 1)/с(р~ при ]р,] (со, т. е. любая конечная дуга кривой Л,' при 0 -г~г, диффеоморфно проектируется на ось х. Асимптотика решения задачи (2.6) при хеп( — 1+1', 1 — г'], где число 1' сколь угодно мало, для фиксированного времени 0 с 1(1„, имеет вид .=~1 ЫГ' Р~ — '(Н,.11'11.,,1 Ц~1.,111, о (2.8) где функция р,(х, 1) — решение уравнения х=я(р„г). В точке г~Л1'~ с координатами (О, х,), где ось х пересекает кривую Л~', энтропия обращается в нуль, и функция и в точке х, равна 0(Ь "').
Вне окрестности точки х, величина и экспоненциально мала. Зависимость от времени координаты х, вычисляется явно из системы Гамильтона. Легко показать, что 1пп х,=п/4. 1 При 1) Г„, на кривой Л,'~ появляются участки с одинаковой проекцией на ось х. По аналогии с примером 1 выделим на кривой Л" ,существенные и несущественные области. Среди точек кривой Л,', проектирующихся в одну и ту же точку на оси х, существенными называются те точки, энтропия в которых минимальна. Аснмптотика решения задачи (2.6) при /)1„, определяется только существенными областями кривой Л';". Скачок из одной существенной области кривой Л,' в другую в этой задаче происходит всегда вдоль оси р. Напомним, что фокальными точками называютсяточки на Л1', в которых обращается в нуль якобиан У(р„1). Заметим, что при 1)/„, все фокальные точки кривой Л,' попадают в не- 276 существенные области, поэтому при г)1 асимптотика задачи (2.6) имеет вид (2.8).
~кр.а В момент времени 1=1„, кривая Л, имеет существенную фокальную точку с координатами ~ 'п3 / ° Асимптотика реше/ — — 1п3 О) . ния задачи (2.6) в окрестности точки х=О в момент времени 1, определяется некоторым интегралом. В этом примере, как и в рассмотренном ранее, в проекции фокальных точек на ось х амплитуда решения резко возрастает.
Именно, при х~( — 1,, 1„,) вне окрестности точек х=О и х=хг„~ при 6=0,01 величина и(х, 1„э)ж10-', тогда как и(0, 1,) ж10 *. $ 3. Туннельный канонический оператор и асимптотнка фундаментального решения Сформулируем основные результаты. Рассмотрим задачу (1,1), (1.3). Введем обозначения: Н (р, х, 1) — гамильтониаи системы (1.1), а=1,..., гп, гп /Ч; х — кратность гамнльтониана Н при )р] чьО; Л'„лСй,'," — плоскость (р=р„х=Я, (р„$)евй*", $ — фиксированный вектор; Л'~ — лагранжево многообразие, полученное сдвигом плоскости Л„" вдоль траекторий системы Гамильтона (3.1) за фиксированное время 1, т. е. Л; =йй„Л„'т; г — точка на мноо.к гообразии Л"„4, (р(г), х(г)) — ее координаты; Я„, Є— решение системы (3.1) с начальными данными на Л'~; якобиан У = бе1 (дЯ„/др,) .
Назовем энтропией на многообразии Л =Л„'~ функцию 5 = 5а6~ 1~ г), 511 = ~ ((,Ра, Н1ч1 (Ра, Яа)) На (1 аэ Яа)) Ы о Точку г епЛ назовем несущественной точкой многообразия Л, если 1 л найдется точка г,~Л с такой же проекцией на 14, и такая, что энтропия в ней будет меньше, чем в точке г„т. е.
х(г,)=х(г,) и 5], „,>5]. „. Введем на многообразии Л канонический атлас (й1). Именно, покрываем многообразие Л картами, которые диффеоморфно проектируются на одну нз координатных лагранжевых плоскостей. (Плоскость вида (х,=О, р,=0), где / и 7 — наборы чисел такие, что 1ЦХ=(1, ..., и), /йХ=Я, называется координатной лагранжевой плоскостью.) Пусть 1)6)0, а б — сколь угодно малое число.
Определим ~О оператор К(И1), действующий из пространства С, (ь1;)в пространство С (1С). Пусть 1р(г, й)епС„(йгХ(0, 1]). Рассмотрим два случая. 1. И,— неособая карта (т. е. якобиан У, отличен от нуля для всех точек области И,). Обозначим через Р С й"„множество п„(И1), где и„— естественная проекция Й~"„иа Й„И~ — замыкание множества существенных точек области И1, через Р'с:Й„' — Т-окрестность множества Р, т. е.
такую окрестность, что ~х — х'~ ) т для любой точки хеиц„.,Р1 и для всех точек х'еиР. Введем функцию О(х, Т) ен С, (й„"), равную единице прн хвнР1 и нулю при х 11„" '~Р*1. Положим К(И1) р=~ У ! иехр ( — ! 5 ) р(г(х), й) 9(х, у), где г(х) епЛ вЂ” решение системы х=х(г), У1(х, ф) и 51($, 1, г(х) ) — ' гладкие функции, совпадающие с функциями У„(г(х)) и 5 (й, 1, г(х) ) на множестве Р. Полученная функция К(И;) зависит от аргу- ментов (х, $, 1, "1, Ь) . 2. И,— особая карта с фокальными координатами (р„х-) „т. е.
г область И, диффеоморфно проектируется на плоскость (х,=О, р,=О), У=(т„... „т,), 7««(т„+„...,гп ), ЩХ= (1,..., и'), Ь = шах (п — гап1с Ща/Дро)). 1~ау Легко убедиться, что для любого сколь угодно малого о)0 можно выбрать покрытие Л особыми н неособыми картами, так что для любой особой карты И; область дйгИЬ где Нг= — ~~ ра диф1=1 феоморфно проектируется на .Й и энтропия в этой области строго положительна.
Определим оператор К(И;) формулой К!(Иг) Ч1 = ехр ( — Нго) (К (ай,ИУ) Ч) = =а 1 > " 1 р~ — '" „* ' )~а~1,«да 111. (11~ Ц« «у — ч Полученная функция зависит от аргументов х, й, 1, т, Ь, о. Введем разбиение единицы (е,(г)) на многообразии Л, подчиненное каноническому атласу (И1). Определим оператор К на функциях 1р(г, Ь)ен С„(ЛХ(0, 1))следующим образом: Кф(г, Ь) =-,ЯК(И!) (е1(г)%(г, Ь)).
(3.4) 1 Обозначим В= К(С, (Лх(0, 1))) н Я отношение эквивалентности на В: ко(г, ь) ~ К1р1(г, ь), если в существенных точках г функция 1р(г, й) — 1р1 (г, Ь) имеет порядок малости 0(й). 278 Т е о р е м а 9.1. Туннельный канонический оператор К: С, (Л х(0, 11)-~В (шобР) не зависит ог выбора канонического атласа, разбиения единиЧьс, параметров Т)0 и о)0 и ог способа продолжения энтропии и якобиана на множества Р'. Схема доказательства этой теоремы совпадает со схемой доказательства аналогичного утверждения в теории канонического оператора, с той лишь разницей, что в данном случае аснмптотическне разложения соответствующих интегралов получаются применением метода Лапласа, а не метода стационарной фазы. 3 а м е ч а н ив.
Определение туннельного канонического оператора автоматически переносится на случай произвольных лагранжевых многообразий Л, на которых заданы энтропия 5 и якобиан У. Пусть выполнено условие, более сильное, чем 1Ъ ). 1Ъ"). Существует такое е)0, что Йе((Н«ь~, ~1)а 10 при ) р ~ (аа. Предположим также, что выполнено условие: Ъ) Существует такое Л, что при О.с-У~Л все многообразия Л«' диффеоморфно проектируются на К и на йр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
