Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пример самоподобных аснмптотических решений, имеющих внд пикав,— так называемых солитонообразных решений — дает уравнение Кортевега — де Фриза с переменными коэффициентами ди ди д'и — + 7, (х, г) и — + уз (х, г) Ьз — = О. дг дх ' дхи (2.8) Здесь Ь-«-0 — малый параметр, коэффициенты Т,~С" равномерно по хай, ге [О, Т] удовлетворяют условиям ОСТг --Тг:-Тг, ду,/дх~о, (2.9) угг — некоторые константы.
994 В частном случае и-солитонной начальной функции аснмптоти- ческие решения уравнений с малой дисперсией построены в рабо- тах [7« — 10*]. Вне окрестности точек столкновения солитонов главный член 1' такой асимптотики (2.8) имеет простой вид я ог~ эг)э г=~ ог(т,г) =Аг(г) с]г '(рг(г,Ь) А+О!(г,Ь)), т.
е. является суммой искаженных солитоноз, переменные ампли- туды н скорости которых удовлетворяют уравнениям дфг 1 — — Тг(фь г) Аг, дг 3 (2.10) (2.11) и = ['+ге, где 1' при г)б,~о определяется формулой (2.10), амплитуды Аг и координаты центров солигонов ф, представляются в виде Аг(г,Ь)=Аг(1,0)+Ь ( —,)Аг(г), р,(г,Ь)=фг(1,0)+Ь Яфг(г) (2.12) 295 Коэффициенты р, вычисляются по формуле рг (Агу,/(!2"~~))'~*1« ~г, функции 8 определяются из линейного уравнения второго « порядка, явный вид которого приведен в [7 ]. Ясно, что солитонообразные функции составляют узкий класс решений уравнения (2.8). Тем не менее самоподобная асимптотика (2.10) является в некотором смысле универсальной.
Именно, рассмотрим для (2.8) задачу Коши и[,, Ф Цх — х,)]п). (2.8') Оказывается, что для любых гладких достаточно быстро убывающнх Ф(й) главный член аснмптотики (2.8), (2.8') за малое время превращается в решение вида (2.10). Сформулируем основное утверждение. Для упрощения формул будем считать в дальнейшем, что т,(0, 0) =6, 7,(0, 0) =1, Ф~= С",, Ф(0) )О, х,=о.
Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля на м — „, +Ф(э)ф=)'Ф Пусть Ц, 1=1, ..., и — ее дискретный спектр, 0<А,<Х,(... ...<Х„. Теор ем а 2.3. Асимптотическое решение задачи (2.8) имеет вид (2. 17) У= — (ЗтД '~'Ас 1 — 1 (р(0)+ 0(т)-'н)), 1(зч)"'/ ь=т Ъ;. (г) = 2),*гсй '(2чг+ 8,'), Здесь Ат(1, 0), ~р~(1, 0) находятся из системы (2.11) с начальньы ми условиями А; (О, 0) = 2© <рр (О, 0) = О, 1 = 1, 2,..., и, (2.13) поправки А),~р,' вычисляются из соответствующих (2.11) уравне- ний в вариации с начальными условиями (2.31). В области 1)0, х)б,)0 разность между точными решением и /' имеет равномер- нйе по й:а[0, Т1 оценки О (а'+ (й дв/дх)') ах ( с1йн'+'~, (2.14) шах ! ы! (сойи""~', х>ы~кчт1 еде с,)0 — не зависящие от Ь постоянные, 6,)0 — любые констан- ты, ил=(0, 1/4).
3 а м еч а н и е 1. Минимальные значения 6, уточняются при до- казательстве теоремы: 6,)х1Ь 1п (1/Ь), 6,)х,й"'-"Р"+", т~ (О, 2/3), х,— некоторые числа. В области 1)х, Ь 1п(1/Ь), х(х,йы* ХЯ*+" решение задачи имеет максимальную амплитуду О((г-'ЬХ Х1п(1/Ь))еч) и при конечных временах не дает вклада в главный член асимптотики. 3 а меч а ни е 2. Заменой $=х/Ь, т)=1/Ь задача (28) преобра- зуется к следующему виду: д11 дй ддо —" + р, (Ь$, Ьт)) и — "+ р, Щ, Ьт1) — = О, и ~„:.; = Ф (й).
(2.1о/ При этом асимптотика (2.12) переходит в асимптотику (2.15) при т1 1/Ь вЂ” оо, В случае постоянных коэффициентов р, утвержде- ние теоремы совпадает с известными результатами [12, 13'1 (см. также [1')). Пряведем схему доказательства теоремы, выделив основные ут- верждения, на которых оно основано. Рассмотрим вначале задачу (2.8) на малых временах, т. е. при й 1и (1/Ь). Сделаем указанную в замечании 2 замену и рассмот- рим вспомогательную задачу — +6У вЂ” + — =О, У[„=Е(5). дт ду д~у' дЧ дй дьо (2,16) Известно, что решение (2.16) может быть найдено методом об- ратной задачи рассеяния. При т — эоо асимптотика функции У в об- ласти $) (Зт)) "'+" дается формулой [1', 12', 13 ] л У = 'Я У'у ($ — 4)чц) + У ($, 11), где т)0 — некоторая константа, р(Ь) — коэффициент отражения, $.,8~ — константы, определяемые по данным рассеяния, А<'(я)— производная функции Эйри.
В области $(;(Зц)и*+ максимальная амплитуда У при ц-'-оо имеет величину 0((т '1и ц) ен). Из законов сохранения следуют равномерные по т) :.вО оценки для решения задачи (2.16) Здесь и ниже д !! ~[ [[ы, через [ Ц обозначена норма в Х.,(К), 1, 1)0, через с)0 мы обозначаем константы, точное значение которых не существенно. Нетрудно также доказать, что равномерно по т~[0, Т) справедливо неравенство $ —, (сТ. (2.19) где Р = (6 — р (У4, /и~)) У вЂ” + (1 — рз (ЬВ, Ь|1)) †. д$ дйт Существование решения задачи вида (2.8), (2.20) хорошо известно (см., например, [8, 5', 4 ]), поэтому мы-ограничимся выводом априорных оценок.
При т1 ~х~1п (1/Ь) эти оценки мы получим в два этапа. Л ем ма 1. Существует константа х,')О такая, что равномерно по Ч~[0, т1,=х, 1п (1/Ь) ] справедливо неравенство да[[-1- ~[ды/дД ч= сй'п~" (2.21) с не зависящей от Ь постоянной с, рея (О, 1/4). Для доказательства (2.21) умножим (2.20) на оз и проинтегрируем по $. После несложных преобразований получаем — [оз[з+ 3 ~ — о[ — ) йу= = — ~ (в ~у ~~ +Ь )+Ь вЂ” 2Р„~йу. (2.2з/ Оценим величину погрешности, к которой привела заморозка коэффициентов в уравнении (2.15).
Обозначим в=и — У, тогда из (2.15), (2.16) получаем задачу для невязки в — + рт(Ь$,йтд — [Усе+ — ~в)+'рз(Ь$,йт)) — =Р, е~ч о — О,(2.20) ди д с ! д'~> дп оо [, 2,) ' д~о А/«1«=«, = 21«/ ф/ ~«=«, = 41««до (2.30) Тем самым А« — — А,(1, 1,), ф«=ф«(1, 1,), 1,= х,й1п ~ — ) -«О. /1т Используя непрерывную зависимость решения (2.11), (2.30) от параметра, представим Аь ф, в виде разложения по 1,//х«. Тогда для главного члена А«(1, 0), ф;(Е, 0) получаем задачу (2.11), (2.13) для первой поправки А~/,ф/ — соответствующие (2:11) уравнения в вариации с начальными условиями А/ У[«-о = — — Хоу«„(0«0) (3 + 41/36) + — Х'рох (О 0) (5+ 2у/36) + + — Хо (буо«(0, О) — у, (О, О)), «р«/ )«= = О.
(2.31) /1 '«о~ Следующие члены разложения А,, «р; имеют величину 0((й 1п~ — ~ ) и не влияют на главный член асимптотики. Весьма важным, но и достаточно сложным представляется нам вопрос о формировании самоподобного решения и у уравнений с малой вероятностью (диссипацией) . Ряд примеров убеждает в справедливости гипотезы, которая, как мы считаем„распространяется на все модели сплошных сред с малой диссипацией. Продемонстрируем ее на примере системы уравнений движения баротропного газа с малой вязкостью: до до 1 дР - доо дв д — + о — + — — =й —, — + — (ро) =О. д/ дх р дх дхо ' д/ дх (2.32) Для невязки ю, как и ранее, имеем задачу д«о + (Х,Г) д 0«о+ 1 21 +Ъ (,Г) Ьо де =Ь1Р(х,1,Ь), ю««««оо(х'й) (2.29) где правая часть Р имеет оценку, аналогичную (2.28), функция «о,=«а(х, /о) в силу лемм 1, 2 и сделанной замены переменных оценивается следующим образом: ~ «о ~+ ~й д«"о ~( сйх+«« Рассмотрение задачи (2.29) проводится по такой же схеме, что и доказательство леммы 2.
После проведения весьма громоздких построений приходим к следующему утверждению: Лемм а 3. Для решения задачи (2.29) равномерно по Ы-:[/„Т) выполнены оценки (2.14). Нам осталось найти амплитуды и фазы солитонов (2.10). Из явного вида входящих в (2.10), (2.27) функций следует, что при построении асимптотики задачи (2.8), (2.27) мы получаем начальные условия Здесь о — скоРость движениЯ газа, Р— плотность, Р=Р( ) ав дР ,ление, — )О, р)0, Ь~1. др Обозначим через и вектор-функцию (р, о).
Пусть в начальный момент решение имеет вид ударной волны, фронт которой имеет произвольную финитную структуру: /х и~ =и, «1 —,х,й), (,и где и,(т, х, Ь) еиС" и (и+(х,й), т~1, ,(,,й) =~1 11и (х,й), т( — 1 и, и яС". Пусть, кроме того, 1пп и, удовлетворяет условию Гю- гонио (ро1-'= (р1(Р (р) ), где квадратные скобки обозначают скачок соответствующей функции на фронте ударной волны. Суть гипотезы состоит в том, ято при ~~6>0 существует окрестность фронта порядка 0(1), в которой формируется самоподобная ударная волна и=и( — ',к, 1,Ь~. Асимптотическое разложение этого решения по степеням малого параметра определяется методом, изложенным в работе В.
П. Маслова, В. А. Цупина (ВИНИТИ.— 1978.— Т. 8.— Совр. проблемы математики). В той части этой области, где ~з~ )г, для любого сколь угодно малого г>0 решение можно представить в виде (2.33) и и+и«, где и« ='«з (х, й и) ехр( — Ь-«Я (х, Е))(1+0(п")), и определяется из системы уравнений (2.32) перед и за фронтом ударной волны х>ф(1, й) и х<ф(1, Ь) соответственно и из условий Гюгонио на фронте х=«р 1 Р=И[Р(р)1, — ф-= — '"'. д/ м«м (р1 Функция и«~= (Я, ш ) в соответствующих областях удовлетворяет лииеаризованной системе уравнений, в которой для упрощения 301 записи мы опустили знак (+) н ( — ) прн га н/т' — + о — + — /т' (р) — — — — /( = /!в дю дю 1, д/1 1 дР (Р) дэю дг д» р дх р дх д д!1 д — + — (гго+ ргв) =О. д/ дх ф ! = +-[и), з ~,=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
