Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Х» (к, 1)) « /»(тх 1) ° » ' О '$/1 (Х» (к,1),1) 1" с(Х» (к, 1)) где ф (т, х) — произвольные быстроубывающие функции. Таким образом„главный член «самоподобного» асимптотического решения имеет вид «о» ' )= ф [ —, Х» (»,0) е /о с (к) / 1/ 1» (Х вЂ” (к, 1), 1) с(Х» (к, 1)) Аналогичным образом строится первая поправка /'. уравнение для нее получается приравниванием к нулю коэффициента при Ь' и д» '1 П» = — [ — — с»(х,() — ) /«.
дт [, дР д»к) Ф( )у () Ф ( — ) Ус(х) ! и— (1.5) и~» с — Ф( — ). где (1.6) этого уравнения приводит к определению ~~ Полученная функция » й~ =1' + Ьг' удовлетворяет уравнению (1.2) с точностью до 0(Ь). Подбирая функции р нз начальных условий, нспользуя принцип суперпознцнн н применяя затем результаты об оценках решения неоднородного волнового уравнения, легко приходим к следующему утверждению: Т е о р е м а 1.1.
При (ее[0, Т") (Т не зависит от Ь) для решения и(х,(, Ь) задачи (1.2), (1.3) справедлива формула '$/,(+(Х~+(х,»),бс(Х" (х, О) ')Г.» (Х (х,г),бс(Хр (х,()) Замечание. Выбирая различные функции Ф(т), можно получать различную зависимость решения от «быстрой» переменной З вЂ” прн (>О. Это свойство характерно для уравнений без днс- ь персии. 2. Уравнения с днсперсней. Прогрессивные волны. Рассмотрим задачу Коши Здесь хенй"; Е(х, р), Ф(т) — гладкие функции, функция Ф финитна, а для Е выполнена оценка ! — — Е.
(х, р) ~(сев(1+[х~) (1+ ~р[) д(®» д»З» дхи 'дха прн некотором и»>'0 для любых мультннндексов и, 5. Покажем, действуя по той же схеме, что н в предыдущем пункте, что само- подобные решения для таких уравнений нмеют внд ВКБ-аснмптотнк. Для простоты ограничимся случаем, когда Е=р'а(х), п=1 (тогда уравнение (1.5) будет лннеарнзованным уравнением Кортевега-де Фриза). Элементарное вычисление приводит к сле.дующему уравнению для ('. Я»(«+3',а(х)~'„, =О. Его решения, ч»граннченные прн тенй вместе с производными,— это функции чр(х, ()ехр(-~(т), причем фаза 3 должна удовлетворять уравнению Гамильтона — Якоби: 3,— а(х) Зх=О.
Это, очевидно, означает, что «самоподобные» решения в данном случае — ВКБ-аснмптотнкн. Покажем, что прн некоторых условиях аснмптотнка решения задачи Кошй для уравнений с дисперсией превращается прн (>, >з>0 в самоподобное решенне. х»о Рассмотрим задачу Коши для системы Гамильтона х=Е „'р= — Ех; х[» =0; р(»= =р (-"=м'. (1.7) Предположнм, что эта задача имеет прн (на[0, Т1 единственное решенне [Х((, р,), Р(1, р,)) ~С" ([О, Т) Х 11 ).
Рассмотрим в фазовом пространстве Й~р семейство лагранжевых многообразий Л~с, полученных нз плоскости х=О сдвигом вдоль траекторий системы (1.7). Т е о р е м а 1.2. 1) В сформулированных предположениях решение и(х, (, Ь) задачи (1.5), (1.6) имеет вид и = (2яЬ) ' ехр ((5(Ь) К,, (Ф) + (У (х, (, Ь), где 1вт[( (сопз1 Ь' . Здесь 6= ) (рс(х — Е Ж) — »' ("), где 7 — дуга траектории, соединяющая некоторую фиксированную точку плоскости х=О с многообразием Лс,(з(Т) — ее индекс Морса. 2) Пусть при (а= [а, Т11, г>0, многообразия Л»" диффеоморфно проектируются на плоскость р=О. Тогда при таких 1 функц»ся и (х, (, Ь) имеет вид а л и=ф(х,()(2яЬ)* ехр( ' )+0(Ь* ), 3 (х, () = ~ [Р (в, »( ) Х ($, р,) — Е (Х, Р)1»(5 [~= » о, ~р (х, () = Ф (р (х, 1))/у",) (р (х, (), (), Х = р,(х, г) — решение уравнения Х(р„() х.
Доказательство. Достаточно заметить, что прн (=О начальное условие (1.6) представляется в внде канонического оператора на плоскости х=О, примененного к функции Ф: с и'(» =$ ехр(1(р,х)[Ь)Ф(р)др=(2яЬ)'К (Ф). ах ~е После этого доказательство следует нз результатов соответствующнх глав части 11.
3 амеча вне. 1) Условие и. 2) теоремы заведомо не выполнено, если Е, не зависит от р, т. е. для уравнений без дисперсии. Именно этот факт н приводит к аснмптотнке, рассмотренной в предыдущем пункте. 2) В физической литературе решения, приведенные в ц. 2 2) теоремы, часто называют прогрессивными волнаМи. 291 //» =РСс, (2.3) где Е=(5; — с»5,') ~ -( Ф (/ х /). р~ Ф„, /', ..., /""с и их производных. Главный член асимптотики— функция /! — определяется из уравнения (2.2) н условий разрешимости уравнений (2.3) при»=1, 2; уравнение (2.!) — обыкновенное по переменной т.
Его интегрирование и условие ограниченности /"-(т) вместе с производными приводит к утверждению о том, что /с — 2н-периодическая функция, имеющая вид /'(т, х, /) = /(т+с,(х, /), Е(х, /), х, /), где / определяется из уравнения т = '1/5с — с»5' ,! У 2(Š— Ф(«,х, С)) с+сел«с) (2.4) 292 $2. Нелинейные задачи Этот параграф посвящен изложению нелинейных аналогов результатов 2 1. Именно, рассматриваются самоподобные решения нелинейных уравнений, изучается вопрос о выходе на них решения задачи Коши. Оказывается, что асимптотика по-прежнему имеет вид (1.4), но, в отличие от линейного случая, для полного описания главного члена /' требуется исследование уравнений для двух младших членов разложения.
В нелинейных уравнениях тип «самоподобного» асимптотического решения определяется типом начальной функции, т. е. главный член асимптотнки быстро осциллирует или быстро убывает вместе с функцией Ф. Рассмотрим в качестве примера нелинейное волновое уравнение: /сисс — /с'с'(х, 1)Аи+Ф„(и, х, /)=О. хеир . / р (21) Здесь с)0, Ф (и, х, /) — гладкие функции. Предположим, что функция Ф обладает следующим свойством: существуют гладкие функции Е,(х, /), Е,(х, /) такие, что при любых фиксированных х, 1 на интервале Е,,(Е, =Е, уравнение Ф(г, х, /) =Е имеет по крайней мере два решения г' (х, /, Е), г-«=г+, гладко зависящих от х, /, Е и таких, что Ф,(г", х, /) МО и Ф(г, х, /),<Е при г (г<г+.
Такое условие гарантирует существование «самоподобных» аснмптотических вещественных решений уравнения (2,1). Как и в предыдущих пунктах, самоподобное решение (согласно методу Уизема) ищем в виде (1.4). Будем считать, что /» периодичны по т с периодами, не зависящими от х, /, и период /' равен 2ст. Подставляя (1.4) в (2.1) и приравнивая к нулю коэффициенты прн всех степенях», получим соотношения (5',— с'(х,/)5»») / +Ф.(/',х,/) =О, (2.2) Е(х /) с (к /) — «константы интегрирования». При этом Е(х, /) х, „сс,х, и 5(х, /) связаны соотношением (5с с (х>/)5к) =(/е(Е~х,г)) 1 (2.6) где р(х,/,Е) =(2я)-' [ 1 с Оь "'' ) с(т =/(Е,х,/)/1/5с' — с*5»л! дт а й, = Ж вЂ” сз (х, О (Ч5, Ч) .
» дС Аналогично предыдущим пунктам, приходим к следующему утверждению: Теорем а 2.1. Пусть функции /(т, с„Е, х, 1), 5(х, /), Е(х, /), с, (х, /) удовлетворяют уравнениям (2.4) — (2.7) . То! да функция и =/» / —, х, ) является главным членом некоторого формального ' ~»' асимптотическоео решения уравнения (2.1). Вывод уравнений (2.4) — (2.7) можно найти, например, в [31. Уравнения (2.4) — (2.6) получаются элементарно. Уравнение (2.7) следует из условия разрешимости (2.3) при 2=2, которое содержит функцию /', и ее исключение требует известных усилий.
К сожален ю, в [3') уравнение (2.7) написано неверно — при преобразовании условия ортогональности к виду (2.7) пропущены слагае ые м с„р и рЧс, (на эту ошибку указано в статье [13*!). Учет этих слагаемых оказывается вполне элементарным и не требует привлечения новых в сравнении с [3*1 идейных соображений. 3 а м е ч а и и е. Уравнение (2.7) — второго порядка. Поэтому для выделения единственного решения необходимо поставить два на- 293 /(Е,х,/)=д-' ~ .1/2(Š— Ф(г,х,/))с(к « Недостающие соотношения для определения 5, Е и с, находятся из условий ортогональности в пространстве /.,(5') правых частей в (2.3) при»=1, 2 ядру оператора /. [это каро состоит из одной функции — 1 .
Эти соотношения имеют вид д« / — с р (х,/,Е)' — ~1 — с»(х,/) (Ч, р(х,/,Е) Ч5) ==О, (2.6) дС 1, дС / — (5с/Щврв (й с ) — с»ср) — сз (х, /) ( Ч, (2.7) дС (/яйарв ф,е~ Ч5 — рЧс,)) =',О, чальных условия. Это означает сасимптотическую неустойчивость» главного члена. Именно, запишем уравнение (2.1) в виде системы Ьи,=о; Ьо,=Ь'с*(х, г)Ьи — Ф„(и, х, г). Изменение производной с„),, нндуцируется изменением о],, на функцию порядка 0(Ь). Таким образом, изменение начального условия на малую ( — Ь) величину изменяет аснмптотику на величину 0(1). Нелинейные уравнения могут иметь не только периодические самоподобные решения„но и решения, имеющие вид «пиков» ширины Ь или сглаженных ударных волн с шириной сглаживания Ь. Например, уравнение (2.1) в частном случае Ф=а'(х, г)сози, п 1, с=1 (уравненне з(пе — Гордон) обладает решениями типа ударной волны (при а=1 это хорошо известные кинки — точные решения уравнения зше — Гордон).
Именно, имеет место следующее утверждение: Теорема 2.2. Пусть п=1, с=1, Ф=а'сози, и ф(г), р(г), д(г) — гладкие функции, удовлетворяющие при ген[0, Т] уравнениям ф = —; р = — —; и= 1/а*(ф,г)+ р*; дгг .. дн др др р1а + р»а + гг«В = 0; рг = (1 — фг) ~; р« = — — а (ф, г) — (ф, г); рь = а (ав — а „) + а * (а~ — а') ]„чв>. егер да д Я дг дг Тогда для любого целого Х,.»0 существует асимптотическое по гпоб 0(Ьи) решение уравнения (2.1), главный член которого имеет вид и«=2я+4агс(й(ехр ~ — ( ~ — д)), где р=а(ф,г)г'У1 ф] Метод построения таких решений изложен в работе [7*]. Заметим, что при построении и, возникает тот же вопрос о вычислении поправки к фазе д. Это вычисление проводится в [7'] с помощью соображений, близких к изложенным в [3«].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
