Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Рассмотрим преобразование матрицы которое не меняет ее детерминанта: умножим ее справа на матрицу в результате чего получим матрицу [о ВА — Е~ детерминант которой равен бе1(ВА — Е). Следовательно, бе( ~ !) = бе1 (ВА — Е). (2.41) Из (2.41) и (2.40) получаем (2.34). Рассмотрим промежуток ((ь Я, столь малый, что внутри него лежит один фокус х„(* траектории Х(х„(), и, кроме того, в этом промежутке б1 +О др; дх.
Лемм а 8.10. Сигнатура матрицы ~дВ(х, р, („(,1 Л((„(,)= ~~ д'Ю (ха (э. (й дд, дй, и х(а т) Чаг У. 11ш н~х~~.',~ х в 1 Х, (е. т) 1 Доказательство. Обозначим сигнатуру матрицы 1г((ь(,) через ((1„(,). 262 Докажем вначале, что (((„(,)="(((,', (,'), если (,<(,'<у<(,'<(~ ((' — фокус) . Будем непрерывно менять 1 от (, до 1,'. Бели число (((, (,) изменяется, то, следовательно, должен обратиться в нуль в некоторой точке (р=(,в((,' в силу не- прерывной зависимости от Е Но это невозможно, поскольку бе1Я((м (з) = Первый детерминант правой части равенства (2.43) отличен от нуля в силу выбора промежутка [(„(,), а не обращается ни в нуль, ни в оо, если ( не является точкой фокуса. Аналогично, (((„(з)=(((,',(,'), если г,<(,'<р<(,'<(,. Поэтому нам достаточно доказать утверждение леммы для промежутка 11,', (,'1, где (,' и 1; сколь угодно близки к У.
Для этого промежутка мы будем обозначать ~ (ха Йг (1)~ (1)' Возьмем промежуток 1(,', (,') столь малым, чтобы все диагональные миноры матрицы д*ю 1 1 01 Ва((', (') 1+Р10 были положительны. Это можно сделать в силу леммы 8.8. Обозначим В=~ — ~, А ) — ~, Яр=) Индекс инерции квадратичной формы с данной матрицей Р~ сов- падает с индексом инерции квадратичной формы с матрицей Яр', поскольку это та же квадратичная форма, но в другом базисе. 263 В результате умножения матриц получим А — ВЬ Поскольку В, положительно определена, то индекс инерции Я; совпадает с индексом инерции матрицы Р(/,', /а')=А — В .
Таким образом, т(/„/,) равно индексу инерции матрицы Р(/,', /а'). Но в силу (2.39) Р(/о /а) = А ВЬ' Вь~ ((ВА Е) (В Вв) А) =Вь' — ' ' ' ' ' ' +(Вв — В)А Домножим Р(/,',/,') слева и справа на Вв~; в силу самосопряженности Вьл сигнатура полученной матрицы равна сигнатуре матрицы Р (/,', 1;). Следовательно, число т(/,', /,') равно з)пп В~~ Р(/,',/,') Ве/', т. е.
разнице между числом положительных и отрицательных собственных значений матрицы ВемР (/,', /,') Вй'*. Но собственные значения этой матрицы совпадают с собственными значениями матрицы В'д'(В„Р(/„ /,) В,) В- . Окончательно можно сказать, что т(/,', /,) равно разности между числом положительных и числом отрицательных собственных значений матрицы ~ даЬ- 1[ дХ/(х,, /,') ~[~ дХ, ВсР(/,', /,') = — 1 — ~ ~ ' ' ~ ~ — (х„ /,') +/ЬА, ~др дх/~~ дх/ ~~дх/ где /о ... о; /„=В,— В=8[: О ...
1 / Матрица А в силу равенства (2.38) ограничена, поскольку точка /,,' не является фокусом. Поэтому матрица /,А стремится по норме к нулю при р — ь0 и Ф, 1пп ВьР (/„ /,) = ВА + Е. 6-м Детерминант предельной матрицы отличен от нуля, а потому знаки собственных значений матриц 1ппВЬР(/т,/,) и ВаР(/„ /,) при 6-ю достаточно малом р совпадают. Сигнатуры матриц Ра(/„ /,) н Е (/„1,) равны, поскольку бе1Я К, 1,)-м0.
264 Следовательно, сигнатура матрицы )[(1„ /,) (равная сигнатуре матрицы Я(/„ /,)) равна разности между числом положительных н числом отрицательных собственных значений матрицы Обозначим /,=/' — в, /, =/'+в; будем иметь в силу леммы 8.8 С(/т, /а) = [ — Е+ Р(е)) где Р (е) — некоторая стремящаяся к нулю при е-ьО матрица. Пусть Х,(е) (1 1,..., а) — собственные значения и ~рг(в) (/=1,...
..., и) — нормированные собственные функции матрицы С(/', в), где С(/', е) = дХт(ха, 1'+ е) $ Я дХт(ха, П вЂ” в) дхо/ 1/1 дха! Следовательно, $ С (/„ /,) ър(е) — ).г(е) ф(е) [=[)ч(е) Р(е) зр(е) [~ [Х,(е) [ ЦР(е)Ц. Отсюда следует (лемма 1.3 ч. 1), что Ла (е) — )та ка (е) (2.44) при е-ь0, где )т,(е)=)т,(/„ /,) — собственное значение матрицы С (гг /а). Пусть Х,(е) =аа(е)-)-(да(е); тогда а(ин а„(е) 51яп Ьа (е) + 1 1+ — 1+ / аа(е) ~а', В силу (2.44) 1+ ~ — ~ ) — О, поскольку )ьа(е) действнтель(Ьа(е) ) ) ны в силу самосопряженностн Р(/„ /,), т.
е. — — О. Значит, Ь (е) а(в) е Ха (е) . ра (в) . р (в) 11пт =!пп =1нп = з(пп )/а (е), а а [ ) а (е) [ а а [ р,1 (е) [ а а [ка (е) [ поскольку з(дп )га(е) не зависит от е *). 265 ч) Так как (г„(е) не может обращаться в нуль нри е О в силу того, что дат )с (/„ / ) + О. [1 + еь) (1)) + гав (г) — Е о (! +~!), (1)), ГЛАВА 9 ди т д й — =Е~ — й —, х, г)и, дг 1 дх' 269 Собственные значения матрицы С(е, 1,) =А((,— е) [А((,+е) ) совпадают с собственными значениями матрицы 8»А(1 — е) [А(1»+ е)! 'У,~ =5»А(-' — е) 5» [Я»А((ю+ е) Зю) '= ев)» о О 9)»+ »О,(0111 О я-' «-ю)З"-» (г) где Е; — единичная матрица Т-го порядка. При е-ю-0 число отрицаХс (е, (ю) тельныхчленов последовательности 1(ш (1 1,...,п) ревю ю (Х, (е, Гю)) но й, что и требовалось доказать.
Из лемм 8.10 и 8.11 следует в силу теоремы Морса, что фазовый множитель ехр [дпб/4) в формуле (1.15) равен ехр((пп/4) х х ехр( — (пт/2), где т — индекс Морса траектории Х(х,; О, Т). АСИМПТОТИКА РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ ТУННЕЛЬНОГО ТИПА Для широкого круга задач теории вероятностей был получен первый член логарифмической асимптотики семейства вероятностей, зависящего от малого параметра. Оказывается, что аналогичная асимптотика имеет место и в некоторых других задачах математической физики, представляющих исключительный интерес. Это, прежде всего, задачи квантовой механики, связанные с туннельным эффектом, асимптотика уравнений магнитной гндродинамики и теории плазмы при малой вязкости и теплопроводностидалеко впереди ударной волны.
Подобная асимптотика возникает в современной квантовой теории поля и тесно связана с теорией инстантонов. Уравнения, описывающие перечисленные выше задачи, содержатся в классе уравнений туннельного типа. % 1. Системы туннельиых гамильтонианов Рассмотрим систему псевдодифференциальных уравнений с малым параметром й)0: (1.1) й ~ — й —, х, () и = ~ ехр ~ ' ср' ~~ ) Е ( — (р, х, 1) и ($, 1) гЦ с(р, кзю где и=и(х, () — М-вектор (столбец), (,) — вещественное скалярное произведение, й(р, х, () — (2п+1)-параметрическая Ф.н,Ф-матрица, элементы которой — целые функции аргумента р, бесконечно дифференцируемые по х и 1 и равйомерно ограниченные по х вместе со всеми производными.
Собственные значения матрицы Е(р, х, 1) назовем гамильтонианали системы (1.1). Гамильтониан Н(р, х, 1) назовем гамильтонианом туннельного типа при 16= [0, Т ), Т'-~0» если ю 1) При хевй", ревС"'~~() Верю=О~ функция Н(р, х, 1) глад,=1 ко зависит от аргументов х, 1 н регулярно от аргумента р. [1 + Е), (Г)]+ е*Е), (Г) = (1 + аЦ' (Ф)), ГЛАВА 9 й — =Е~ — й —,х,Г)и, -ди .' д д» д»' 269 Собственные значения матрицы С(е, Го) А(1о — е) [А(1,+е)] совпадают с собственными значениями матрицы Ю«А(» — е)[А((а+е)] «Я«' Е«А(» — е)Ее[5«А((е+е)Ю«] «= ео)ь о 1 ~ е-«о) ~' о О О«„е+ев Р)~~ О 9)- (О «(») где Е,— единичная матрица (-го порядка.
При е-«.О число отрицай» (е, »«) тельных членов последовательности 1]ш (1 1,..., и) рав- « « (Х» (е, »е)) но й, что и требовалось доказать. Из лемм 8.10 и 8.11 следует в силу теоремы Морса, что фазовый множитель ехр((пб/4) в формуле (1.15) равен ехр((пп/4) х х ехр( — (пТ/2), где т — индекс Морса траектории Х(х„О, Т). АСИМПТОТИКА РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ТУННЕЛЬНОГО ТИПА Для широкого круга задач теории вероятностей был получен первый член логарифмической асимптотики семейства вероятностей, зависящего от малого параметра.
Оказывается, что аналогичная асимптотика имеет место и в некоторых других задачах математической физики, представляющих исключительный интерес. Это, прежде всего, задачи квантовой механики, связанные с туннельным эффектом, аснмптотика уравнений магнитной гидродинамики и теории плазмы при малой вязкости н теплопроводности далеко впереди ударной волны. Подобная асимптотика возникает в современной квантовой теории поля и тесно связана с теорией инстантонов. Уравнения, описываю|цие перечисленные выше задачи, содержатся в классе уравнений туннельного типа. 9 1. Системы туннельных гамильтониаиов Рассмотрим систему псевдодифференцнальных уравнений с малым параметром й'= О: (1.1) Е ~ — й д „х, Г)и= ~ ехр ~ ~р' ~~~Е( — (р,х, г)и(%,()»Ц»(р, к«" где и=и(х, г) — )Ч-вектор (столбец), (,) — вещественное скалярное произведение, Е(р, х, Г) — (2п+1)-параметрическая ))»ХФ-матрица, элементы которой — целые функции аргумента р, бесконечно дифференцируемые по х н Г н равномерно ограниченные по х вместе со всеми производными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
