Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Тогда при —, Т~ число решений либо нечетно, либо беско- 1 с, сз+ с,сзв печно (с учетом их кратности) зз), причем шах!хс(1) — х,'~.-.=Ь, шах!у((1) — у,'~<(п+1)а. (2.5) Доказательство*"). Задача (2.1) — (22) приводится с помощью замены г=х — х, з (2.6) (7 — у уз (х) = у — уз (г+ х ) к задаче — '=г((а+ ха, У+уз, 1), дг (2.7) в — 7((к+ Хь и+у 1) — ~ — (г+ Х ) с а(г+ Х у + иэ 1)г (2.8) г(0)=0, и(1,)=0, у'=у" (г+х'). Рассмотрим сначала решение задачи Коши для уравнений (2.7) с начальными условиями г(0) =О, и (О) =-и'.
(2.9) *) Вместо условия (2.4) можно потребовать, чтобы иа решениях х(Г), у(Г) имели место априорные оценки (2.3). Тогда для любого конечного Г будет суще. ствовать нечетное (с учетом кратности) или бесконечное число решений задачи (2.1) — (2.2). Для уравнений Гамильтона при весьма широких ограничениях (см. дополнение) могут быть получены априорные оценки для импульсов, а отсюда и для правых частей системы (2.!).
Такая задача отвечает задаче об зкстремалях для интеграла от соответствующей функции Дирака с одним закрепленным концом и другим концом, удовлетворяющим условию трансверсальности (см. 1641). *') Положив с(=Ь(-з (1>б>0), се=с(Ь), а=Ь(с(Ь)+1), Ь=(,'гь, придем к следствию. Следствие. Пусть р((х, у, г), 1((к, у, г) непрерывны, !р((х, у, г) !( (с ! х()-з, ((((х, у, г) ! «с(у), а ! дус/дх! ! ~ сз. где с (у) непрерывно. Голда число рви(гний задачи (2.1) — (2,2) либо нечетно, либо бесконечно (для любого конечкого 0). дХ( ьь") Если де! — +О, то кратность решения Х(хз, 1) равна 1. д;.
254 Кроме того, будем считать, что ! гч ! л- Ь, ~ ис — ис ~ < О, (2.10) ~/ и)', ! ис !з ( па (отсюда !и,(((п+1)а). Из теоремы существования следует, что для а сз си+ с,сзп задача (2.7), (2.9) имеет решение, удовлетворяющее условиям (2.10) и непрерывно зависящее от й. Покажем далее, что существует (не обязательно одна) такая точка й', принадлежащая шару л 'Я (и,')з (па, что если и(0) =й', то и(1,) =и(й', 1,)=0. Для зтоГьм го рассмотрим два отображения шара.
В качестве первого — обозначим его через С вЂ” возьмем отображение шара в нуль. Второе отображение С' зададим функцией и' — и(и', 1,). Обозначим через р(р„р,), как обычно, расстояние между точками р, и р,. Пусть р принадлежит границе шара. Очевидно, что С(р)=0 и р(С(р), р)=па. Кроме того, в силу (2.10) Р(С'(Р),С(Р)) РЬ(С'Ь),0)=ф г (Л ( (з ( =Р( (Р),Р) Так как С имеет одну неподвижную точку, то либо число неподвижных точек С' равно о, либо их алгебраическое число равно 1, т.
е. существует нечетное (считая кратность точек и") число точек й', принадлежащих шару, для которых иа (йз ! ) йь Следовательно, и(й', 1,) =О, что и требовалось. 3. Оценки решений. Лемм а 8.6. Пусть Н- (х, р, г) = — Ф (х, ',1) ~ с (х, 1) 1/[А (х, 1) — р)*+. т'с* (х, 1); тогда матрица положительно определена при ттьО и неотрицагельно определена ь) при т=О. ь) То есть ее определитель равен нулю, а все остальные диагональные миноры положительны.
Доказа да(х, р. О тогда ВР(Н, р... б ар аН ар д (2.11) — — — + —— дН др; дрг при условии Отсюда т. е. дН др!др (2.12) дЮ дхь — =хи+;Я рь— ар,. " др, др; ар;/ дН далее, Но так как да(х, Р,К) = хм ар, (2.14) значит, дх ь ~~, Рь — =О У матрицы Р1рь " р Р Рьр~ Р~ ~° ° ° Рьр„ !!Р'Рт!!= Р„ри Рхрх ° ° ° Рп — + Н+(х, т5,1, 0) =0 дг и условию 5!, Р=рх„то 1~ ! уя ~ . рг. ~и ар,.
ар,. (2.13) (2.16) х56 Дока з а тельство. Пусть Р(Н, р, к, 1)-(Н+Ф(к, Г) )' — с'(х, 1) (р — А(к, г))' — т с'(х,1); дт" дгр дН дН др аэн дьр ар,.ар, аН др,. ар, аН ар,ар, ар,.ар, Подставляя (2.12), получим '" '" ( д" 1'+ '" "" 2С (к, 1) би = О др; ар) ~, дн / дН др;др) Отсюда, обозначая Р=р — А(х, 1), получим -Ь ()Гсг(к, г) !Р!а+ тьс'(х, 1))3 ар, ар, =с~(х, 1) !)3 — 'РР) — [Р'+ т'сг! би~~ .
все строчки линейно зависимы, н, следовательно, ее ранг равен 1. Значит, а — 1 ее собственных значений равны нулю, н характеристический многочлен имеет вид ). — аА" '=О. Очевидно, что а= !Р!'. Следовательно, после вычитания из !)РР;)! матрицы (!Р!*+т'с'Х Х (х, 1))Е мы получаем при тМО положительно определенную матрицу, а прн т=Π— неотрицательно определенную.
Отсюда вытекает утверждение леммы. Лемма 8.7. Пусть в гамильтониане Н+(х, р,1, т) т=О, Ф=О, А=О. Тогда, если 5(х, р) удовлетворяет уравнению Гамильтона— Якоби тельство. Для действия 5(х, р,1) имеем дН+ = — Н' + ~~ р; — = ! р ! с (х, г) — 'Я вЂ” ' с (х, г) = 0 др; )р! х 5!,=,=Рх.
Следовательно, 5(р, х,г)= ~~~ Р„» „(» р г) при всех 1'=1,..., п. Поскольку Р~О, то бе1 — ' = О, что в силу дру (2.4) дает (2.13). Мы будем теперь рассматривать два случая: либо А) гамильтониан Н(х, р, 1), удовлетворяет условию (2.0), либо В) гамильтониан имеет вид -~С(х 1) !р! Все дальнейшие результаты будут относиться к случаям А), В), если не будет сделано специальных оговорок. Будем обозначать через 5(х, р'., го1,) решение задачи — +Н(х, 75, 1).— --О, аг 5 !, =рьк, а через 5(»„Ю), Х(»„1), Р(х„г) — решение задачи дН дн — Рг= — —, 5 =Н вЂ”,", ТаН вЂ” — Рь х(0) =х„р (0) =йтас$,'(х,), 5 (0) =1(х,), Через х,=х, (х, 1) будем обозначать решение уравнения Х(х„г)=х.
Через Е будем обозначать единичную матрицу. Л е м м а 8.8. Пусть !к~!~(а, !Ро!~(Ь; (2.18) тогда при !1,— т ! <е имеет место соотношение с условиями с-с, др« (2.26) Отсюда Положив аая' ачс ( а».ч аР, с тын — (е, —,— 6»с «е, (2.19) (2.27) (2.20) х )'[„;;„ д«н дру ( дсу»дру дрс агу дан др. арс ар» ару др,' ~ (2.21) дрс ар « » ар' у ан аеу1 + — — — — '- с(т+ бс» ад» аду ар,' ~ (2.22) (2.23) ~р)=цЬ+и+1, ~ц(~а+1, т=цТ, (2.24) ан ан1 дрсдр»дру дсуу ~ где у,<т'<у,.
гбд где Е) (е) — матрица, стремящаяся по норме к нулю при е~-О. Если, кроме того, в случае В) выполняется условие р«„~0 *), то при 1,— уе<е матрица Ва= — (р ' ' " ') + о ... о ... о (2.17) ар~аду о ... о ... р отрицательно определена при достаточно малом р) О. Доказательство. Из теоремы Гамильтона — Якоби следует, что (2.18) где су(т), р(т) — решения системы Гамильтона 'Урс дН(р, е, т) дчс дН(р, е, т) с(т ддс ' д с дрс и су=(ц * ° ° су ) р=(р ° р") удовлетворяющие условиям рс(у») = рсь дс(у.) = хс. Краевые условия (2.21) удовлетворяют оценкам -- ! рс(<Ь, -1хс1~ Отсюда следует в силу леммы 8.5, что при (дН дН1 уа — у, = шахс( —, — с (дрс ' дес) выполняются неравенства '(су(т) )~а+1.
(р(т) )~а+и+1. Обозначим через М, константу, которой не превосходят первые, вторые н третьи производные от Н по р и су при т<То (р~ (а+и+1, ~ д ~ (а+ 1. «) Поскольку одно ва р' (с 1...„л) ке равна пулю, можно полагать, ие уменьшая общности, ре, чь О. Продифференцируем уравнения (2.20) и условия (2.21) по р;, тогда для дд»/др~( и др»удр; получим систему су уде»~ "~ д'Н де; а'Н ар, (2.25) д (' др» '| " ~ д*Н дчу а н дру + ат 1 дрс! (ад» ассу дру дд»дру др,' мы получим существование решения задачи (2.25) — (2.26) при условиях (2.27) в силу леммы 8.5 для (2.28) ( гси,((+О(е)) * '! ЗМ при достаточно малом е. Проинтегрировав по т уравнения (2.25), получим Отсюда в силу (2.27), (2.28) де» 1 г д'Н др» ~ — — с(т+ 0(еа) — ~ =Ьм+ О (е).
дра ~ ц Из формул (2.19) и (2.31) следует первая часть утверждения леммы. По формуле Лагранжа, учитывая (2.20), имеем с. — с(т = (уа — уь) + а«н ан ар,др, ' ар,ар, 1 (Уе — Сда Г д»Н дН + 2 ~ др» дрс деу дру (2.33) «Х(«о,(>1 д«8 (х, р, (д, (а) др( др( — Е д~(да( ((е( дХ(,. 0 — ()е( «=Х(«>Х>) р — (« .(д а х(«д.(в (2.34) (2.35) дд (,(2, (О, ай д$,. — Р,=О ((ег — = О. Поэтому ()е(Ва=($()е( — » 0 Г дч( ~»о др! ъ (,/.ко-« 261 Из (2.27), (2.28), (2.30), (2.32) следует — = (г, — га) + 0 (еа). д((а ( д«Н В оценку 0(е') войдут константы а, Ь, Т. Отсюда вытекает, что знаки диагональных миноров матрицы совпадают со знаками диагональных миноров матрицы если е достаточно мало по сравнению с ними. д«Н Пусть все диагональные миноры матрицы — 1 — 1 ~ др др ~) стРого положительны. Отсюда и из (2.33) вытекает, что матрица ~Ф~ положительно определена, а следовательно, и матрица — Во при достаточно малом р 0(е') также будет положительно определена.
Пусть теперь И=с(х, 1) ~)р~). В силу условия леммы р' эаО, а следовательно, в силу леммы 8.6 все диагональные миноры мат- ~ дН1 д' 1 д«Н рицы — 1 —, за исключением п-го порядка ~~ бе(" — ~~, (др,др,~' ~др( др(~)' больше нуля. Отсюда в силу (2.33) следует, что п и достаточно меч( 1 д лом е все диагональные миноры матрицы 1 , > за исключед о пнем детерминанта этой матрицы, строго положительны.
В силу леммы 8.7 в этом случае при всех р>0. Остальные же диагональные миноры матрицы — Во прн достаточно малом ))<0(е') будут иметь тот же знак, что и 1 дч(1 соответствуюшие миноры матрицы ~ о т е. при достаточно др( малом е будут положительны, что и требовалось доказать. 260 4. Основные тождества. Лемма 8.9. Имеет место равенство д д)Ф>О, д,>> ~ д ддд«д д> Р(«д,(>1 Д о к аз а тельство.
Рассмотрим систему уравнений дд (х, р, Сь >а) =5(, др, пои х=Х(х„(,). Этой системе удовлетворяют точки Р,=Р,(х„(,), ~,-=Х>(х„(,). (2.36) Продифференцируем систему (2.35) по хоа с учетом (2.36). Мы получим д.У дрг(х„(О " дз дх,(х„(,) дх,(х,, (О + др(др дх х( дР(дх(' дх дх а до.ч дХ1 (хо, й) дР, (хо, («) доо( д5( дхоа дхоа Запишем эти равенства в матричной форме ~ —.",:„Г'-' 1- 1=":.,11'"-';"' Н"";""~ ""' до о дХГ (хо, (д) дР( (хо, (д) Здесь индекс «0» при матрице означает, что х=Х(х„е«), ф=Х(х„(,), р Р(х„~д). Подставив (2.38) в (2.37), получим — — ~ — « — ~ — ) ) ' ' (( ' ' ) .(2.'дд( Следовательно Й ! () — ~ ~ — * ( — е )1 Обозначим 5 = Е (х, р, (~, (;), ! ц) (2.42) к=х(х„гв х~р",ы Рассмотрим матрицу равна В силу равенства (2.40) бе1(ВА — Е) отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
