Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 34
Текст из файла (страница 34)
равенство сс — ае доь (ссо) = О дну с=о»с 218 219 ГЛАВА 7 АСИМПТОТИКА В БОЛЬШОМ РЕШЕНИЙ АБСТРАКТНЫХ УРАВНЕНИЙ В этой главе мы докажем теоремы, сформулированные в гл. 2— 4. При этом в основном мы повторять эти формулировки не будем.
$1. Лемма о локальных координатах Прежде всего мы докажем лемму о локальных координатах (лемма 2.1), которая использовалась прн конструкции канонического оператора. Лемму о локальных координатах мы сформулируем в виде двух лемм 7.1,а и 7.1,б. дчу Л ем ма 7.1,а. Пусть в точке сс=сс' матрицав= — ~ имгдау»л ужл гт ранг Г»:и. Гогда существует такая ортогональная п'уСп-матрица ~фв(ссо) ~1, что при каноническом преобразовании л уу(а) ="1', руу(ао)ду(сс), вьсиолняггся для всех 1(о~у, 1 ~уе-.п, где 'н=п — г. Д о к а з а т е л ь с т в о. Существуют такие ортогональные матрицы С,=С,(ссо) и С,=С,(сс'), что матрица В,=С,ВС, диагональна при сс=ссо (см. (81), причем ее первые ус строк состоят из нулей.
Очевидно, что первые й строк матрицы В,=В,С,=Сов тоже равны нулю. Докажем, что С,=Со(а") и есть искомая ортогональная матрица ~1Р„(а') !1. Положив у(сс) =С,д(сс), получим д'у =С, дч =С,В=В,. да дсс Отсюда следует, что (дд./дсс) =О (о=1, ..., я). Преобразование (1.1) оставляет инвариантными скобки Лагранжа. Лемма доказана. Лемма 7.1,б. Если ранг матрицьс равен г, й=и — г д'ус =со' ос- Ус, 1 ~У'(п, то матРица По= невы ождена. Д' о к а з а т е л ь с т в о.
Умножение матрицы В, справа на Сс эквивалентно ортогональному преобразованию координат сс„..., сс. вида а =Сса. Поэтому В,=В,Со= ~!дсус/даД. Поскольку в матрице В, при со= х' отличны от нуля лишь члены (ддс/да,)„° при с)й, то из условия (2.2) гл. 1 следует, что (дрс/дсау) .=О при У) й н у Ус. (1.3) ~ др, 1 Докажем, что де1 — ~ О. Предположим противное, тог- ~ дсс да в силу (1.3) ранг прямоугольной матрицы А=)дру/дау)ум„при 'у о а=сс' меньше Ус.
Прямоугольная же матрица 1дд„/дау~)с р (1»..о (и) равна нулю. Отсюда следует, что ранг прямоугольной матрицы вида меньше и, что невозможно, поскольку (д(а), р(сс)) — и-мерное подмногообразие. Полученное противоречие доказывает, что де1 0а! = 1( (дд;/дос)„=„.де1А1сс=„.чьО, что и требовалось. Координаты точки а' вида у= (р„ ..., р„ у,~„ ..., д.) (ус= =и — г) будем называть фокальными координатами точки а', а соответствующую плоскость — фокальной плоскостью. в 2.
Доказательство теорем об инвариантности 1. Мы докажем теперь инвариантность индексов по модулю 4 поскольку для определения канонического оператора достаточно знать лишь такие индексы. Если некоторая область йс:Г взаимно однозначно проектнру ется на плоскость д» = д» = ° ° = д»1 = Р»вч = ° .. = Рь = О, то будем писать йс:'Й»„а если одновременно проектируется вза имно однозначно и на плоскость д»=д»= ° ° =д».=,о» '=... =р =О, то будем сокращенно писать й~Й»,ПЙн. Если точка х принадле жит карте й„атласа М, то будем писать аенй». Точки аевй„поставлены во взаимно однозначное соответствие со своими проекциями у„на плоскость д,=д,=...
=д„=р„,= . ... =Р„=О; при атом будем писать у»=у»(а) и а=а(у„). Последняя функция определена лишь на проекции области й, отвечающей Й,, на указанную плоскость. Обозначим У» = Г)а (а)(йу», у» = 1пб В». Пусть 5(а) — некоторая функция, удовлетворяющая уравнению д5(сс)!да;=рдд(даь Обозначим 7»=(»(У») = [.7»1'пехР 7А 5(а) — ~ Р)д)(а)11Ф(а) ~ )=л 1) .) = ь»> где ~р(а) — некоторая гладкая функция с носителем йс:Й„.
Соответствующие величины, отвечающие й„будем обозначать двумя волнами. Обозначим через Ф~» обратное преобразование Фурье: -ьаМЛ»7» р (2.1) В случае, когда носитель функции ф(д„..., д„) равен 77, интеграл нужно брать по )с. Доказательству трех сформулированных теорем мы предпошлем несколько лемм. Заранее условимся, что все равенства в леммах 7.2 — 7.5 и доказательстве теоремы 2.3 мы будем понимать в фактор-пространстве 5 (см. гл. 2, Я 1, 2). Лемма 7.2.
Пусть носитель й финитной функции ~р(а) принадлежит лагранжеву многообразию Г=(д(а), р(а)) и проектируется взаимно однозначно на координатную плоскость д и на 220 Положим в (2.2) Р) = Р~(сс) Ж = д (а) » = (г + 1 и 7 = 1 (г (2 3) Поскольку = р (а (д)) и а (д (а)) = а при а ~ И», дд о то система (2.2) удовлетворяется при д~ = д;(а) (~=1, ..., (г) Положим в системе (2.3) а=а(у,) (у»=Р„, Р», ..., д».ь ..., 17л). Получим, что д,'=д;[а(у»)) (1=1, ..., й) являются решениями системы (2.2) прн произвольных у,~й„поскольку р [а(у,) ) =р, (7=1,..., й) и д; [а(у»)) =д;, 1=(г+ 1, ..., и. Если у»ай„, то стационарные точки д' (1=1, ..., й) не принадлежат области, в которой подынтегральная функция отлична от нуля. Единственность решения системы (2.2) в области у„о, следует из того факта, что д»д (а (д)) бе1 д~,.де) =с1е1В~' = ( ) ') ~О, Вв (а)/Оу» (2.
4) д= д1(а). Условия применимости метода стационарной фазы выполнены, откуда следует утверждение леммы. Л е м м а 7.3. Пусть носитель функции Ф(а) принадлежит пересечению Й», ()Й»,, тогда в точках у», е=. й»„таких, что а(у») является неособой, имеет .чесго равенство *) Ф 'Ф 'Т», = ехр ~ — '" (.р, — у»,)1(»,. (2.3) ') Здесь Ф»*Ф 'Г» ' »=И7) 221 плоскость д,— д.—...— д — р„,= ..=р„=-О, а й„— его проекция ни плоскость д, — д, — " . — д,=р...=...=р.=О. Тогда вьчр ение Ф»»( (д) равно Т»ехр ~ — — 'у„~при у„енй» и равно нулю при у»Я=й„. » 2 До к аз а тел ь ство. Для вычисления интеграла Ф 7 (д) применяем метод стационарной фазы. Стационарные точки д; = д» (1=1, ..., й) определяются из системы =р;, 1=1, ...,(г.
(2.2) дд; Как известно, Ф '7о — — ехр ' 7»,. », ~5(а) — '»; рсд((а) др. ) (=1 Я (а) — ~~", рсу;(сс) 1 (2.6) Отсюда 1 — т»п ) Те=ехр ~ — ') Ф 7». (2.7) Из (2.13) следует, что (2.8) (2.! 4) где (2.15) 222 Доказательство. В силу леммы 7.2 в неособых точках Поэтому в силу леммы 7.2 !'», = ехр ~~ — 7», ! Ф 'У» = ехр ~ — (у», — у»,) ~ 7»„ что н требовалось. Л ем ма 7.4. Пусть носитель ф(а) принадлежит Й», () Йк, тоеда имеет место соотношение е»» Р», Ф *Ф '7», = е-!" !»7»„ где т — некоторое целое число, не зависящее от у .
»» Доказательство. Рассмотрим интеграл 7(у»,) = Ф *Ф '7»„ имеющий вид 1 сп ехР ~ — 1» — )1,) 1 А»»"»» », (» (»"" * )» ( '" (» ( ! — Х»» (»1 ( 1 — » (]) !'=1 х ехр — сА ~ рг()!(( ! л ч! =,»', р((ч)(-, с)е11р(; ~~ = 1, !'=1 а=а (у»,)=а р, р» у я»,, ~ч,-( р, !'=1 !'=1 Для вычисления интеграла (2.9) применяем метод стационар- ной фазы. Стационарные точки (),', р,' ((=1, ..., й„)=1, ..., й,) определяются из системы ~3(а) — Я„р,ц(а)~= у,, 1=1, ...,й„(2.10) др ~ д »» — З(а) — Д р(у'(а))+ ' р(р — р,=О, =1, ..., й».
(2.1ц рч !'=1 !'=1 = — д;(а), 7=1, ..., й1, (2.12) — р„(сс), ч=йс+1, ..., и. (2.13) *, — ~ 3(а) — Я р((1!.(а) д,~„1 ! 1 ! » Р»» » ~5 (а) — 'Я Р!(1((а)~Я = ~ Р(()!е. (=»»»1 д% !»+1 В силу (2.12), (2.14) систему (2.10) — (2.11) можно переписать в виде ()! (а) =(1,:, 1= 1, ..., нс, (2.10 ) л ,'~ р!'1)!.
= р., " = 1, (2.11') Можно убедиться, что система (2.10) — (2.11) имеет решение о о р;=р;=р;(а), Ф=д; =ус(а), где а=сс(у,,) — решение системы р,(а)=р;, у=1, ..., Й», д((а)='дс, с=й + 1, ..., п. Пусть, далее, П»,„(а) — определитель матрицы А (а) вторых производных фазы и»йтеграла (2.9). Из формулы (2.8) следует, что при ум таком, что а (у»,) — неособая точка, 1пп Ф "'Ф»*Х», к" со. » о Следовательно (см.
утверждение 8 2 гл. 6), 17»»»,(афь)) ~0, и метод стационарной фазы применим. Отсюда и из соотношения (2.8) следует, что в неособых точках сс ~ В», », (сс) ~ = У» (а) откуда по непрерывности получаем, что это равенство сохраняется и в особых точках аен11»,П»1»,. Значит, 1),„»,(а) ~0 при аенй„()»1»,. 22З *г По определению, карт ьг», я»г 224 !псг С 1а», а» 1 = аг, где а» „ас, — пентРальные точки г»1 С помощью метода стационарной фазы получаем У (у»„) = ехр ~ — — т) 7»„ 2 где т=1пс) А (а) — йа. Из (2.15) следует, что Па,м(а) не обращается в нуль на пересе- чении карт Ы„, н Ыь.
Следовательно, 1пс)А(а) не меняется при а~ ен(2ьПйм Лемма доказана, Следствие. Разность тв,— тм равна т для всех неособых аен е=сгв,ПЙ~ . Отсюда, поскольку т не зависит от аенй»,()ьс„, (Ъ,— уса]( д)=[у,— 7,1( .) для любых неособых точек а, и а, принадлежащих пересечению Й„, и Й„. Следовательно, у», (а') — 7», (аа) = у», (а') — у», (а') = 1пгс. Мы доказали, что индекс пути из а' в а' является инвариантом, не зависящим от того, в какую карту попали точки а' и а*. Отсюда следует теорема 2.1 о гомотопической инвариантности индекса пути а). 2. Доказательство теоремы 23.
Обозначим через Кл',г [гс, еь, (е'), (У)] канонический оператор вида (2.3) гл. 2, зависящий от атласа Ж, совокупности центров сВ', разбиения единицы (е') и путей (У). Нетрудно убедиться, что в силу гомотопической чпвариантности в малом ) рс(ср и 1пд1[а', а]- выполнение условий (2.5) гл. 2 необходимо и достаточно для того, чтобы (в факторппостранстве о) оператор Ктл',"г однозначным образом определялся данным атласом М, центрами гс и данным разбиением единицы. Таким образом, Кл' г' [СВ', М, (е'], (1С)] Клл.,гг' [У, ЗУ (ес) (1С)] и мы можем оператор (2.3) гл. 2 обозначить через Кл' г [Сю,,Рв, (ес)1.
Прежде чем переходить к доказательству независимости канонического оператора от разбиения единицы, докажем лемму, Лемма 7.5, Пусть области асс=»)с(В) (с=1, ..., с)С) — элементьс покрытия осе(В) с совокупностью центров ю'(Р) и ес(а) =е'(а, Р) (элементы разложения единицы) зависят от некоторого параметра Реп[0, в], так что каждая область ьас(Р) при всех Раси[0, е] взаимно однозначно проектируется на одну и ту же плоскость р„..., р„ у»+о ..., у„, а е'(а, В) дважды дифференцируема по В. Тогда — Клг (сю' (Р) Ж(Р). (ес(а. Р)))'р(а) =О. дВ Д о к а з а т е л ь с т в о.
Достаточно доказать утверждение леммы для точки Р О. Пусть е»(а, Р) — элемент разложения единицы, отвечающий некоторой карте Я (Р), и пусть карта ь1»с(Р) пересекается только с 1 картами ьа»с(Р) (»=1, ..., 1). Рассмотрим Ктл;"г ср (а) = Ктл.г ~к~~ е» (а, 0), ср (а). (2.16) с =1 Докажем, что — Кл',гг е» (а, О) ср (а) ~ = О. 1 Имеем — Кл ге» (а, 0) ~р (а)~ =.(Ф ехр -[ — — г 1»» ' + д т, .-С [ стсл1 де»с (а, В) + '5', Ф "ехр ] — — '")~-Т», ' "' -гг е»с(а, 0). (2.17) ч т Здесь е" и !», отвечают картам Й»,(Р),а Ф "Т'(а)= — Ф ([а(у» )]. (2.18) т =1, ...,1 при ая=й»~(Р) Д )с, Поскольку с е1(сс, Р) + ~»„, ес(а, Р) = 1, г(аз В. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
