Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Мы видели, что для асимптотики решений уравнений квантовой механики роль таких отражающих зеркал играют огибающие семейства (пучка) траекторий классических частиц. При этом, как указывалось в гл. 2, величина т, оказывается равной так называемому индексу Морса /-й траектории, Этот индекс был введен М. Морсом при изучении вариационной задачи для функционала и определен как число отрицательных собственных значений второй вариации функционала [64). Теория Морса сыграла существенную роль в развитии топологии дифференцируемых многообразий [31) и в изучении задачи о числе геодезических, соединяющих две точки (вариациоиное исчисление в целом) [16). Здесь мы видим, что индекс Морса имеет конкретное физическое содержание. В предыдущей главе мы уже получили значение Ть однако еще не доказали, что значение (; совпадает с индексом Морса.
Кроме того, мы и требовали, чтобы коэффициенты уравнения были бесконечно дифференцируемы. Большая гладкость коэффициентов существенна даже для получения первого члена квазиклассической асимптотики с помощью метода, который был дан выше. Но вопрос об установлении такой минимальной гладкости коэффициентов при такой Ть равной индексу Морса, является принципиальным. Легко 233 й 1. Метод шагов для построения асимптотики в целом Асимптотика функции Грина б(х, ф, г) уравнения Шредингера й — = — — Ьф+ У(х) $ дф ЛР др 2 (1 1) прн й- 0 может быть представлена в виде б (х, $, 1) = С 1 / с1е11 — ~ 1 ехр — 5 (х, $, Г), б (х, й, г ) = Ь (х — В) (1.2) в том случае, когда через точки $ и х за время 1 — г, проходит только одна траектория х=Х(х, $, г Г,), являющаяся решением задачи длх дУ вЂ” = — — (х), д«Р дх х(г,) =$, х(1) =х.
(1. 3) 234 проверить на конкретных примерах в одномерном случае, что для разрывных коэффициентов величина Ъ отлична от индекса Морса, Мы даем в этой главе вывод формулы квазнклассической асими тотикн, существенно отличный от вывода, данного в предыдущей главе. Требование на гладкость коэффициентов уравнения оказывается зависящим от степени гладкости функций в интеграле вида У(Ь)= ~ф(х,у)ехр ( '"("'"1 ) е(х, достаточной для утверждения: «Если уравнение НР=О имеет единственное решение х=х„форма Ы*Р при х=х, невырождена и имеет индекс инерции т, то справедливо соотношение ~ ф (х, у) ехр ( ' ~ ~)- Их = = (2яй)"'* ~Р! "'ЕХР ( — — ' У~ Енплпф(Х ) + гр (У), где х,(у) сильно сходится к нулю в 1., при Ь- О, а  — дискримннант формы е('Р в точке х,». В методе, который дан в предыдущей главе, требование на гладкость коэффициентов уравнения зависит от степени гладкости функций ф(х, у) и Р(х, у), которая достаточна для получения второго члена асимптотики в методе стационарной фазы.
По-видимому, утверждение, взятое в кавычки и доказанное в гл. 6, может быть улучшено. Вероятно, можно требовать, чтобы функции ф(х, у) и Р(х, у) принадлежали пространствам )Р4"~М (вместо С' "'+') и Ц~л""'" (вместо С'"""") ссютветственно. Это улучшение теоремы о методе стационарной фазы немедленно повлечет за собой уточнение теорем, которые будут доказаны в этой главе. При этом 3(х, $, 1) является решением соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби и определяется формулой р 5 (х, ь, г) = " / — Х' (х, з, г 1р т) — У (Х (х, з), 1, 1, т) ) пт. (1.4) ,) (2 Однако физический интерес представляет как раз случай, когда существует «отраженне», а следовательно, через две точки проходит более одного пути.
Можно предполагать, что в этом общем случае асимптотнка будет состоять нз суммы выражений (1.2), соответствующих различным траекториям. Основная идея вывода общей асимптотической формулы заключается в следующем. Формула (1.2) оказывается верной для малого времени 1(1/)/2л((я+1), где поскольку для такого времени через две точки $ н х может пройти лишь одна классическая траектория (1.3). На большой, и притом произвольный, отрезок времени формула (1.2) может быть продолжена с помощью свертки: лл о С Й Л„Г.— /р) = ~ ...
~ Ц 66с, Ь-ь 6 — Гр-1)е6 ... д$-ь лр -Ос р =1 (1.5) 1 $,=х,$»=~В=(Вью,...Вы), !6 — 1~-~~~ —,„ причем асимптогика последнего интеграла вычисляется по методу стационарной фазы. Пусть ф(р, 1) — преобразование Фурье решения ф(х, 1): ф(р,/)= ~ еь 1лф(х,г)пх, р=(р„...„рл). (1.6) (2аЛО"м д Рассмотрим решение ф(х, г) уравнения Шредингера (1.1), удовле- творяющее или начальным условиям вида ф (х, О) = ф (х) ехр ( — ' / (х)), (1.7) где ф(х) н /(х) не зависят от Й, нли условию вида ф1(х, 0) = ~ е-'~' ~л4ь (р,О) бр, ~л1лм |р (р,О) =ф (р)е'~<ли", (1.8) где ф, (р) н /, (р) не зависят от Ь. (При ф, (р) =1/(2п(й)"", /, (р) = рй имеем ф(х, О) =б(х — 3).) Начальными условиями вида (1.8), (1.7) исчерпываются в основном встречающиеся в физике случаи.
При этом оказывается, что задача (1.1), (1.7) связана с решением уравнений Ньютона Х= — угада(Х), Х=(Х„,...,Х„), (1.9) удовлетворяющим начальным условиям Х ~~=~> хе~ Х ~у р йтаб /(хе) ° (1.10) а задача (1.1), (1.8) — с решением уравнений'Ньютона (1.9), удовлетворяющим начальным условиям Х~~=,=йгаб/,ф,), Х~~,=р,. (1.!1) Предположим, что функции (йтас$ У(х) ~, (йтаб/(х) ~, (йтаб/,(р) ( при всех действительных значениях х и р ограничены, а У(х) = О, /(х), /, (х) — голоморфные функции в каждой точке. Отсюда, в частности, будет следовать существование в целом решения Х(х„г) за. дачи (1.9), (1.10) и решения Х,(р„г) задачи (1.9), (1 11). Пусть М„(х) — множество точек х„для которых Х(х„г).=х'. Соответственно, М„(х) — 'множество точек р„, для которых Х,(р„() =х. 1.
Основные результаты. Сформулируем' ряд определений, связанных с задачей (1.9), (1.10). На задачу (1.9), (1.11) они переносятся дословно, если заменить всюду'х, на р„Х(х„() на Х,(р„г) и М.,(х) на М„(х). Если обращается в нуль в какой-либо точке х, множества М„,(х), то со-, твезсгвующая точка х, г называется фокусом задачи (1 10), (1.11). Точка 1' называется фокусом на траектории Х(х„г), если ГдХ (хе В)1 (1.12) Заметим, что этот якобиан обращается в нуль, если две «бесконечно близкие» траектории пересекаются в точке Х(х„~ ), У.
, Ниже будет доказано, что если х, ( не является фокусом задачи (1.9), (1.10), то множество М (х) состоит не более чем из конечного числа точек х',") (х, () (к=1, 2,..., й,),' для которых Х (х(") (х, 1), () = х. (1.13) Если матрица дХр(хе.() дхрг в фокусе 1' имеет ранг и — 1,,то будем говорить, что фокус простой 236 Сигнатурой фокуса назовем сигнатуру о квадратичной формы с ма- трицей дХ; (хр, К + е) Ф 1 дХр (х„и — е) 1Н Нгп (1.14) И р индексом т фокуса назовем число отрицательных коэффициентов при квадратах координат в каноническом виде квадратичной формы с данной матрицей: т= (п — а)/2. Очевидно, что в случае простого фокуса индекс фокуса равен числу (нулю илн единице) перемен знака беЦ~дХ,(х„г)/дх,Д при переходе вдоль траектории через фокус.
Индексом т, классического пути Х(х„т) (О~т -1) назовем сумму индексов всех фокусов, которые лежат на этом пути. Если все фокусы, лежащие на данном пути, простые, то индекс пути равен числу перемен знаков бе1 (дХ,(х„г)/дхи] при т, меняющемся от нуля до й Пусть ~р(х) и соответственно <р,(р) при )х)-р-рь, (р~- оь стремятся.к нулю, так же как и их производные любого порядка, быстрее любой степени 1/~х~ и 1/(р~ (т. е. принадлежат пространству основных функций). Пусть Я,— область, состоящая нз всех е-окрестностей фокусов задачи. (1.9), (1.10) (илн задачи (1.9); (1.11) ) .
Теорема 8.1. Решение ф(х, 1) задачи (1.1), (1.7) может быть' представлено в виде ф(х,Ю) = ф (х( ), 0) ехр ~ — ~ ~ — Хе (х~~~, т) — У (Х (х~~~, т)) 3 е(т — — т„(е), х 2 Кр р Г дХе(х~~),Ю) Ч( М*/ ~ 1, <е> х бе!~ ' ' ' ~1 ~1+ 'Я((й)ек,(х'~',1)+/е С,ге(х,гДй), (1.15) дхе) где х, 1 ч=йе, хе~=хе"~ (х, 1)евМ (х), г„ев5„, С,— константа, У любое целое.
число, а гр(хе~~~, г) определяется из рекуррентных соотношений гр(х,', 1) <р(х( )) = Ф) (р) =~)рс~ ' ' () е.в(/а ~) " ~/ ~ю( Г~)е, д.и> е оператор р7апласа в, «криволинеиных» координце тах х,). ' 'в) (Р,(х, р„1, г,) — некоторые ограниченные вместе со всеми своими производными функции). При этом А,=] В„ехр ~ — — 'Й(1 — 1')1Ш', Й= — — А+У(х). Ь ) 2 В гл.
б мы показали, что й"ехр ~ — — 'Й1)-: 5»-~.5» и В„: 5;».5». Ь Отсюда Й",А,;, 5;»5». Очевидно, что Ф: 5»-»-5». Как известно, б (х, $, 1, 1») = — »1 ехр — — рх) ф Я, р, 1, 1»)»(р. Фшлу.] ) Й В силу (1.8) решение ф(х, 1) можно записать в виде ф6.1)= »» Г- » 1 Г Г ] ф (2„0) ехр ~ — '5' (5 ($и рг„, 1», 1~„,) — рк„$~»»] х 12леи" ~ а ) »» Ц 3»- 2»»ч„р, .»»„) ) ' "' ' '" ~ »»»р„4; г=» »=» щр +Й""Ьр(8„0).
(1.38) Оператор Р является'линейной комбинацией произведений операторов й"А„В„и Ф. Отсюда следует, что 1с: 5»~-5» и ЯфЯ„О) ~5». Чтобы из (1.38) получить (1.18), нужно применить метод стационарной фазы. Докажем предварительно вспомог ательную лемму. Лемма 8.2. Пусть 1(х, р, ~, й) бесконечно дифференцируема по р и аналитична по й при 0(й =Й, и пусть ф($, Й) ~5»,.] 1 — »»] < <11у2М(п+1), р,=р,(х, 2„1, 1,) — реп»ение уравнения угад„5(х, р„1, 1,) =$. (1.39) Наконец, пусть»1,ы5 отлично от нуля 'в в-окрестности точки р;, тогда 1=] ехр] — 5(х,р,г,гв) — р$~~(х,р,$,Й)фЯ,Й)11 — »)в(р))айар = =Й г(х,Е,Й), (1.40) где хен5„У вЂ” любое целое число.
Д оказ ательство. В силу теоремы 83 в интервале ]1 — 1.((~ (11у2М(п+1) решение (1.39) р,(х, $, 1, 1,) =Х(х, $, 1, 1», т) ], ь единственно. Из (1.9) следует, что х — $ — р,(1 — 1)]~С(1 — 1»)в, С)]йгаоУ1, ] р,] <с(1 — г,) + ~ —" 246 поэтому в силу непрерывности, если ]йтад,5(х, р, 1, 1,) — $] <6, то 1р — р.]<в». Отсюда следует, что в области ]р — р»]>в» в любом круге радиуса в» хотя бы одна из производных д5/др, удовлетворяет условию ] д5~др~ — $»] >б,. Пусть 1= ~ »1,(р) — разложение еди1=» ницы, причем при 1>0 функция ~,ы5 обращается в нуль вне области Й„границу которой можно заключить между концентрическими сферами радиусов в, и в,<в,.
Число областей 4)ь с которыми пересекается каждая фиксированная область»1», ограничено некоторой постоянной величиной д (одной и той же для всех й,). В силу сказанного в области й, для одной из производных справедливо нера- венство — (5 (х, р, ~, ~») — рВ) ) б, д рй Интеграл 1 в (1.40) будет равен 1 = ] ф Я, Й) г(а ~ ехр ~ — (5 — р$)) 1 (х, р, $, Й) 'Я»у (р) с(р = »=» = (рй) 'Я ~ ф($, й) ас ~ ехр ~ — '(5 — р$)~ х »» Я вЂ” тс (р) 1 — »( . (1,41) Очевидно, что 3 —,' ] ом~'"„"] ]~», —,'„] ом~' — ", "] ]~ с ь»»нвн» Так как 1-й член суммы равен нулю вне (2ь а производные выше первой от 5(х, р, 1, 1,) ограничены равномерно по р, отсюда и из гл. б следует (1.40). Лемма доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
