Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 33
Текст из файла (страница 33)
дк ' др / Очевидно, что если ~~Ко и бесконечно дифференцируемо в )д„то д д Р; (х,—, р,— ) 1(х) ен )св и бесконечно дифференцируемы в )с„. дх ' ' др ) дЕ ! Далее, поскольку ехр (д — ~ Г ~ отображает В" в В", то дЛ )в=о сушествует решение уравнения Ао(Е) =О, (3.24) удовлетворяющее при !=О начальному условию о[, о=ооенР», бесконечно дифференцируемому в ЕЕ», и оенЯ» и бесконечно дифферен цируемое в Ет».
То же замечание справедливо и относительно опе ратора Л-'. Поэтому действительно (Х 'В) "о(Е) е=Я» для любого 11Е и при этом бесконечно дифференцируемо в Ял. Пусть о*'(Е) — реше ння уравнения (3.24), удовлетворяющие начальным условиям бес конечно дифференцируемым в Я». Аналогично тому, как это было сделано в лемме 5.5, можно доказать, что выражение им=",ь, '( — Ел)"'Я (А »В)'си о(Е) о=о удовлетворяет уравнению Аи +ЕлВи =Ел«»'гл, где г»~Ял.
Отсюда следует, что уу (ь = — л)онооФР»""Рл=ехр ) — 'Б (р, х))-го+ Ел""г»(х, Е,Ел) = Р'У (ь =Ел +'г,,(х, Е), гл(х, Е)<н! Я», (3.25) в силу того, что оператор ФР""'Рл отображает Я» на Я». По условию существует решение 1е~К. уравнения Ел'Е.ш = гл (х, Е, и). Поэтому Е. (ФР»'"~~=е'~м~~ — Ь~"' '1е) =О. (3. 26) РЕ- ' Поскольку 6Е сколь угодно велико, то отсюда следует Те о р е м а 6.1. При высказанных предположениях существует решение уравнения Елр(х, Е) =О, представимое в виде Г Е е«Р ~( Я Ерл ° ' Рл, хлои ..., х„, Е)~ х »р(х, Е) =ФР""Рл Е»(Р».
° - ° Рл.«лол, - ° "«»1 ~. I дЕо В(р„, ...,Р,„.х„„....,х ) аХ х ~~~„'Ел'фт (Рл,.... Рл, хл,л,..., х», Е) + Еч "г» (х, Е. Ел) 210 аЕо дЧ.о дХ ~ Здесь —, —, — ~ — функции х=х(х„р„Е), р=р,(х„Р„Е), дХ дх др. да а З(рч, ° ° °, Рл, х»о-,„..., х„. Е) =З(хо(Р, хо Е)1 Ро(Р1 х, Е)о Е) э а Х+„..., Х,' — нормированная система собственных векторов оператора (Е'): (3.28) (Е ) Хло=)лХГ, Е = 1,..., г, при том же значении Х=Х( х„...., х„, Е, р„..., Р,). Докажем следующие равенства: / о дЕ,о 1 дх а) 1!Хе, — Х»1= — 6„", др„, др д л'Е, беь би=(ХЕ Х). Продифференцировав (3.27) по Р„получим дЕ,» дхо дХ дХ, — Х +С' — '= — Хл+Х вЂ”. ар„ ар» ар» др, (3.29) Умножая скалярное это тождество на Х,' и учитывая (3.28), получаем равенство а).
Аналогично, из дЕо о дХЕ аХ дХо — Хе+ ~' — ' = — Хе+ Х— дх, дл„ дх дх, получаем б). 211 и;(Р ° ° ° ° Рь хл+ ° ° °, х„, Е) — некоторые бесконечно дифференциРуемые функции, финитные по р и х, со значениями в В", гленетл, причем и, (Р„..., Рл, х»+„..., х„, Е) =ЯР„,..., Реь х,л „..., х,„), где Е' — произвольная финитная функция. 4. Случай конечнократных термов. Теперь мы предположим, что выполнено условие 1) теоремы 4.1, причем точка Х(р, р„+„х, Е) (терм) конечнократна. Мы сохраним обозначения и предположения 1), 2) п. 1 и предположение 1) гл.
4, 3 2, О с повн ые тождеств а. Пусть Х„..., Х,— нормированная ! система собственных векторов Е ~л »Хо=В Хо=а.Хь Е»» 1,..., г, (3.27) Х =Хо(х„, х., Е, Р„...,,Р.„), Ел — )" (хо ° ° ° х»о Е Р» ° ° ° Р ы) мильтона — Якоби Л ~ —,х,р,— ) =О. (3.30) По условию 4'=А (1 — Рл) / д«Е« '«д«Л др.д» 1 др д» и аналогично с д«Е« «) д«Л дР,дР~ /« дР,дР„ Рли,Х = О где Ах=О Продифференцируем (3.29) по х„.
Мы получим дЛЕ«д/«дХ«дЕ«дк«О д /О д«Л др,д» д» др до д» др д» др д» дЛ дХ; дЛ дт, дХ; д/л„д», д»я др д'«др Умножая это равенство скалярно на Х/, получаем Обозначим, как и ранее, через й оператор, стоящий в правой части равенства (3.1) в фигурных скобках, так что равенство (3.1) переписывается в виде ЕАР"" "Рлф = «)У'"" '~л ехР ~ — 'В (Р, х)~ /««ф + /гк"гл (х, /). ~. /« В этом случае мы представим /«в виде к /л = А + '~ /«'иь А= 1. («)', х, р, $', 0) = 1.'„ д/«д "+ дЕ«д и, = /, ',~~ — — — '5', ,дпх х э ~„д$ а др «д» ! / д«Я д«Е« + д«5 д«Е« 2 ~ дР«дрх дчодчо д»д» д1«д1 Очевидно, что уравнению удовлетворяет х, принадлежащая подпространству собственных векторов оператора Ь', т. е. В(р, х) удовлетворяет уравнению Га- 212 имеет обратный в В" и оператор (А (1 — Рл)Г~ (1 — Рл) определен на всем В"; .Х есть сужение оператора А на подпространстве (1 — рл)В", имеющее обратный. Для того чтобы можно было применить лемму 5.5 (ч.
П) теории возмущений н найти такое «р, чтобы /сф=/лк+«х„, нам нужно существование /«/ членов теории возмущений. Так, для определения первого члена асимптотики в этой лемме требуется су- ществование выражения вида А-'и,Х. Это означает, что и,Хев еп1/(Х '), т. е. Предположим вначале, что размерность г подпространства собственных функций оператора 1,' равна 1, т.
е. точка Л вЂ” простая. Тогда условие (3.30) примет вид (х, и х) =О. (3.31) Скалярное произведение понимается здесь в объемлющем пространстве В'. Поскольку Х=Х,«р„где !!Х«1=1, а ф«ф«(Р« ° ° ° р. х, „..., х„„,) — скалярная функция, а с другой стороны, оператор и, есть оператор в //«, включающий дифференцирование по аргументам р„..., р„, х, „..., х„„то уравнение (3.31), которое, очевидно, мы можем переписать в виде (Х', и,Х.) ф.= О, (3.31а) есть дифференциальное уравнение для определения функции ф,(р„..., р„, х,„„..., х„„). Совершенно аналогично в случае г-кратного собственного значения Л, если х„..., х,— нормированная система собственных векторов, то уравнение (З.З! а) можно переписать в виде системы дифференцированных уравнений для определения скалярных коэффициентов «р„, ..., ф,„прн Х„..., Х,. (Напомним снова, что хотя х ..
х ф«. ф««(Р«, . Рь ««.««-«) являются функциями параметров р„..., р„х, „..., х„„, но являются функциями со значениями на прямой, т. е. скалярами в пространстве В'. Векторы же Х„..., у, являются функциями р„... ..., Р„х,„„..., х„, „но со значениями в В', причем эти векторы по норме в В' равны единице.) Таким образом, д=д /о=хо+А д ~их/ь з Хор=О, д=д дЕо дХ» д х=оод йд доо дх ) д=д Таким образом, Х (Х' идХх)ф =Р ,г=д (3.32) /~х = (Хо.
/~дХа), 215 214 Система уравнений, эквивалентная (3.31а), имеет вид ~~Р (Хд',идХг)ф г=О, 1=1,...,г. В силу леммы 5.5 для вычисления следующего члена нужно, чтобы элемент / г г г ид~ А дид,'Я ф дХг+ ~~~ РфддХд)+и: ~ч„Рф ~Хг .г=д У=д х=д принадлежал области определения оператора Х-', т.
е. г рд и, А 'и, 'Яфодхд+,',~~„фддХг~ +из ',Я фодХд =О. 1=1 .д=д х=д / 'г 'Я, (Хд,идХд) фи= — 1Хд. (идЛ 'ид+и ] 'Я фодхг к=1 х=д н мы получаем систему уравнений для определения др,,=ф„(р„..., рдо х„„..., х„,). Аналогично, для /д-го члена мы должны потребовать, чтобы *+д ид/ход-д е: ~-~ (А ). где Р зависит лишь от «ро, при д с./д, и мы получим уравнение для фог=оРог(Р» ° ° °, Рм хооо ° °, Хо+1) ° Итак, задача сводится к отысканию дифференциального оператора В= (Хд,идХд) в пространстве С" и доказательству существования решений ф уравнений Еф=О и Еф=Р, где фен С" и Рея С". Заметим, что оператор и, состоит из суммы вида дЕо д "+ дЕо д — — — — — + Ь'дг о=д дпо Ро а=ход дов о д о дх „де оператор яд не содержит операторов дифференцирования, а является оператором в В", зависящим от параметров р„, Р,, х, х „., Поэтому г ,~г~~ ~(Хз идХа) фда = ! а д =;Я' ""„Хз,— ', Х вЂ” ' —,'К Хз —,Х вЂ” „' +Х идзфдд где ав — известные функции параметров Р„, Р хо ..
х + . В силу тождеств а„б) ./ дх д дх д Х (Х"' дХа) а ( ~~.д д д ~х-' д дк а=д дх, др„ др дк„ г дф г + ~ адзфдд = — д — 'з + ~ч~', адздри, (3.34) Ых где д1/д1т — производная вдоль траекторий системы Гамильтона, от- вечающей (3.30). Отсюда следует, что решения уравнений (3.32), (3.33) существуют. Далее, применяя рассуждения (3.25), (3.26), мы приходим к асимптотике решения уравнения Нам, однако, еще нужно получить решение уравнения (3.33) в «яв- ном виде», т. е. выписать матрицу ав в (3.34), Для этого мы вос- пользуемся тождествами а) — г). Заметим прежде всего, что где 6/бР, и 5/бх, обозначают полные частные производные по независимым переменным Р„..., Р„х„„..., х„„т. е.
д д до ~о~ д дно дх дха до.ч "+' дха дод др дно др др ' дно дхддрд Аналогично, дх„ дх„ дх„ дх дх д )о равенства вида дто 1 дхс ~У~8 хс — = хс дхдх, дЛ дй; " д~', дхс дт ~~ дрс ~и-1 дооо р' +,'Я вЂ” хс с=о+с /=1, ..., и-)-1, х„„,=й — + ба=О, с)и с)т "с ори = = где (3. 36) Подставляя сс'Рог 1 / оси г ! — == ~ — — — иг — 1и./) сст Уу дт 2 с)т 216 дхг дооо дк дхсс дхсо дод дХз до о Подобно тому, как зто было сделано в предыдущем пункте, по ложим (Рс.. ' ссо,хо , ...,к , 1) У(р, х, 1) оС 1пос, - . - )о,о, хо омо ..., х,„, т) (Р, . Р, хо+и ° - х, с) — решение системы Гамильтона р = — дЛ/дх, х = дЛ/др, Г = дЛ/др„„, причем 1(О) =О, а р и х удовлетворяют условиям (3,18), (3.19), в силу леммы А.
С. Соболева удовлетворяют уравнению * доЛ доЛ доЯ доЛ д~Я с1т ' дподр дп~дп~~ дРда, дйодф дх,дх ь о+с ~"' „' д осдоо дРсдх ' д дйо в выражение для оператора и, (см. (3.35)) и учитывая тождества в), г) вида ° ((: — ""') —.' -(- Х Х~ о о о Х о о о = 2 ~~', Хо,хс —" — Хр,— и аналогичные им, получим, используя аналогичные им, следующие уравнения для вектора и= = (и„..., и,): где 1/ — матрица вида '= ("Ф'х'(": ( — "; —..
))' —.':- ! д Оператор 1/,/(Х',и,х ) = соответственно имеет вид — + 6. м сс сгт Отсюда следует Т еор е м а 6.2. При высказанных предположениях существует решение уравнения АР=О, представимое в виде ехр~ — я(р,х, С))- ( 1(х,/)=6)""' " ' " ' Т Х й)Рсо(р,х,/)Х.(р,тоо, )',х,/)+ /СР о ~) о — сс=о +инна,(х, Г,/с), где сРс(р, х, 1) — векторные бесконечно дифференцируемые функ- ции, финитньсе по р и х, со значениями в В", гое=/(с„, причем Р,„(р, х, /) удовлетворяет уравнению + сссРо = 1)о 'Ро = ('Ром - ° сРо~). ссфо ет (Напомним„что функция 5(р, х, 1) — действие — удовлетворяет уравнению (3.10), а производная с(/с/т берется вдоль траекторий си- стемы Гамильтона, отвечающей 5(р, х, 1).) и ду (о) /дау(сс') = О при =!!д(уо)с/дау1су»„, где (рс(сс) при с'(й, ( а),= (цу(а) при с >й, (1.2) у=с до дх~ дР~ О ру(а) ~~~~~ р,у( о), у(,) у=с л А дй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
